Константа распространения

Постоянная распространения синусоидальной электромагнитной волны является мерой произошедшего изменения по амплитуде и фазе волны, когда она распространяется в заданном направлении. Измеряемая величина может быть напряжением, током в цепи или вектором поля, таким как напряженность электрического поля или плотность потока. Константа распространения сама по себе измеряет изменение на единицу длины, но в остальном она безразмерна. В контексте двухпортовых сетей и их каскадов, константа распространения измеряет изменение, которому подвергается исходная величина при ее распространении от одного порта к другому.

Значение константы распространения выражается логарифмически, почти всегда с основанием e, а не с более обычным основанием 10, которое используется в телекоммуникациях в других ситуациях. Измеряемая величина, например напряжение, выражается синусоидальным вектором . Фаза синусоиды изменяется с расстоянием, в результате чего постоянная распространения представляет собой комплексное число , причем часть мнимой является результатом изменения фазы.

• 1 Альтернативные названия
• 2 Определение
• 3 Константа затухания
  • 3.1 Медные линии
  • 3.2 Оптоволокно
• 4 Фазовая постоянная
• 5 Фильтры и двухпортовые сети
  • 5.1 Каскадные сети
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Термин «константа распространения» в некоторой степени неверен как обычно она сильно меняется с изменением ω. Это, вероятно, наиболее широко используемый термин, но существует множество альтернативных названий, используемых разными авторами для этого количества. К ним относятся параметр передачи, функция передачи, параметр распространения, коэффициент распространения и константа передачи . Если используется множественное число, это предполагает, что α и β упоминаются отдельно, но вместе, как в параметрах передачи, параметрах распространения и т.д. В теории линий передачи учитываются α и β. среди «вторичных коэффициентов» термин вторичный используется для контраста с коэффициентами основной линии. Первичные коэффициенты - это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть получены с использованием телеграфного уравнения . Обратите внимание, что в области линий передачи термин коэффициент передачи имеет другое значение, несмотря на схожесть названий: он является эквивалентом коэффициента отражения.

Постоянная распространения, символ $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; gamma\}\}$, для данной системы определяется отношением комплексной амплитуды в источнике волны к комплексная амплитуда на некотором расстоянии x, такое что,

$A\; 0\; A\; x\; =\; e\; \gamma \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{0\}\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\; x\}\}$

Поскольку постоянная распространения является комплексной величиной, мы можем записать:

где

• α, действительная часть, называется константой затухания,
• β, мнимая часть, называется фазовая постоянная

То, что β действительно представляет фазу, можно увидеть из формулы Эйлера :

$ei\; \theta \; =\; cos\; \; \theta \; +\; i\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; theta\}\; +\; i\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

, который представляет собой синусоиду, которая изменяется по фазе при изменении θ, но не меняется по амплитуде е, потому что

$|\; e\; i\; \theta \; |\; знак\; равно\; соз\; 2\; \; \theta \; +\; грех\; 2\; \; \theta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; right\; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; theta\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; =\; 1\}$

Причина использования основания e также теперь ясна. Мнимая фазовая константа iβ может быть добавлена ​​непосредственно к константе затухания α, чтобы сформировать единое комплексное число, которое может быть обработано одной математической операцией при условии, что они имеют одинаковое основание. Для углов, измеряемых в радианах, требуется основание e, поэтому затухание также определяется основанием e.

Константа распространения для линий из меди (или любого другого проводника) может быть вычислена из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

$\gamma \; =\; ZY\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{ZY\}\}\; \}$

где

$Z\; =\; R\; +\; i\; \omega \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; R\; +\; i\; \backslash \; omega\; L\; \backslash ,\; \backslash !\}$, серия импеданс линии на единицу длины и,

$Y\; =\; G\; +\; i\; \omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; G\; +\; i\; \backslash \; omega\; C\; \backslash ,\; \backslash !\}$, шунт полная проводимость линии на единицу длины.

В телекоммуникациях термин постоянная затухания, также называемый параметром затухания или коэффициент ослабления, представляет собой ослабление электромагнитной волны, распространяющейся через среду на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, измеряемая в неперс на метр. Непер составляет приблизительно 8,7 дБ. Константу затухания можно определить соотношением амплитуд

$|\; A\; 0\; A\; x\; |\; =\; е\; \alpha \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{0\}\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\}$

Константа распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения передающего конца к току или напряжению принимающего конца.

Медные линии

Константа затухания для медных линий (или проводов, сделанных из любого другого проводника) может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, удовлетворяющей условию отсутствия искажений, с проводимостью G в изоляторе, константа затухания определяется как

$\alpha \; =\; RG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{RG\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; !\}$

однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления нагрузочных катушек, и, кроме того, есть некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные «константы», которые вызывают частотную зависимость потери. Эти потери состоят из двух основных составляющих: потери металла и диэлектрические потери.

В потерях большинства линий передачи преобладают потери металла, что вызывает частотную зависимость из-за конечной проводимости металлов и скин-эффект внутри проводника. Из-за скин-эффекта R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты согласно

$R\; \propto \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; omega\}\}\}$

Потери в диэлектрике зависят от тангенс угла потерь (tan δ) материала, деленный на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

$\alpha \; d\; знак\; равно\; \pi \; \epsilon \; р\; \lambda \; загар\; \; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{d\}\; =\; \{\{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\}\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; tan\; \backslash \; delta\}\}$

Оптическое волокно

Константа затухания для конкретного режима распространения в оптическом волокне является действительной частью постоянной осевого распространения.

В электромагнитной теории, фазовая постоянная, также называемая постоянной фазового изменения, параметром или коэффициент - мнимая составляющая постоянной распространения плоской волны. Он представляет изменение фазы на единицу длины на пути, пройденном волной в любой момент времени, и равен действительной части углового волнового числа волны. Он обозначается символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа для ТЕМ-волн:

$k\; =\; 2\; \pi \; \lambda \; =\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; =\; \backslash \; beta\}$

Для линии передачи, условие Хевисайда из телеграфного уравнения говорит нам, что волновое число должно быть пропорционально частоте для передачи волны в быть неискаженным во временной области . Это включает, но не ограничивается, идеальный случай линии без потерь. Причину этого состояния можно увидеть, если учесть, что полезный сигнал состоит из множества длин волн в частотной области. Чтобы не было искажения формы волны , все эти волны должны распространяться с одинаковой скоростью, чтобы они достигли дальнего конца линии одновременно с группой . Поскольку волна фазовая скорость задается как

$vp\; =\; \lambda \; T\; =\; f\; \nu \; ~\; =\; \omega \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\}\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{\backslash \; beta\}\}\}$

доказано, что β требуется, чтобы оно было пропорционально ω. В терминах первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфа для линии без искажений условие

$\beta \; =\; \omega \; LC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; omega\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}$

Однако на практике линии могут только приблизительно соответствовать этому условию в ограниченной полосе частот.

В частности, фазовая постоянная $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$не всегда эквивалентна волновому числу $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Вообще говоря, следующее соотношение

$\beta \; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; k\}$

применимо к волне TEM (поперечная электромагнитная волна), которая распространяется в свободном пространстве, или к TEM-устройствам, таким как как коаксиальный кабель и две параллельные проводные линии передачи. Тем не менее, он недействителен для волны TE (поперечная электрическая волна) и волны TM (поперечная магнитная волна). Например, в полом волноводе , где ТЕМ-волна не может существовать, но ТЕ- и ТМ-волны могут распространяться,

$k\; =\; \omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \}$

$\beta \; =\; К\; 1\; -\; \omega \; с\; 2\; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; k\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\; \}\}\}\}$

Здесь $\omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$- частота среза. В прямоугольном волноводе частота отсечки равна

$\omega \; c\; =\; c\; (n\; \pi \; a)\; 2\; +\; (m\; \pi \; b)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; c\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; pi\}\; \{b\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где целые числа $n,\; m\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\; m\; \backslash \; geq\; 0\}$- номера режимов, а a и b - длины сторон прямоугольника. Для режимов TE $n,\; m\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\; m\; \backslash \; geq\; 0\}$(но $n\; =\; m\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; m\; =\; 0\}$не допускается), а для режимов TM $n,\; m\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$. Фазовая скорость равна

$vp\; =\; \omega \; \beta \; =\; c\; 1\; -\; \omega \; c\; 2\; \omega \; 2>c\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}>c\}$

Фазовая константа также является важным понятием в квантовая механика, потому что импульс $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$кванта прямо ему пропорционален, то есть

$p\; =\; \hslash \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; beta\}$

где ħ называется приведенной постоянной Планка (произносится как «h-bar»). Он равен константа, деленная на 2π.

Термин константа распространения или функция распространения применяется к фильтрам и другим двухпортовым фильтрам. сети портов, используемые для обработки сигналов. Однако в этих случаях коэффициент затухания и фазовый коэффициент nts выражаются в неперах и радианах на участок сети, а не на единицу длины. Некоторые авторы проводят различие между мерами на единицу длины (для которых используется «константа») и мерами по разделам (для которых используется «функция»).

Константа распространения - полезная концепция при разработке фильтров, которая неизменно использует каскадную секцию топологию. В каскадной топологии постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная отдельных участков могут быть просто сложены, чтобы найти общую постоянную распространения и т. Д.

Каскадные сети

Три сети с произвольными постоянными распространения и импедансами, соединенные в каскад. Члены Z i представляют импеданс изображения, и предполагается, что соединения находятся между совпадающими импедансами изображения.

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети задается как

$V\; 1\; V\; 2\; знак\; равно\; ZI\; 1\; ZI\; 2\; е\; \gamma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\}\; \{V\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{I1\}\}\; \{Z\_\; \{I2\}\}\; \}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\}\}$

$V\; 2\; V\; 3\; =\; ZI\; 2\; ZI\; 3\; e\; \gamma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{I2\}\}\; \{Z\_\; \{I3\}\}\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\}\}$

$V\; 3\; V\; 4\; =\; ZI\; 3\; ZI\; 4\; e\; \gamma \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{3\}\}\; \{V\_\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{I3\}\}\; \{Z\_\; \{I4\}\}\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{3\}\}\}$

Условия $ZI\; n\; ZI\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{In\}\}\; \{Z\_\; \{Im\}\}\}\}\}$- это термины для масштабирования импеданса, и их использование объясняется в импеданс изображения артикул.

Общий коэффициент напряжения определяется как

$V\; 1\; V\; 4\; =\; V\; 1\; V\; 2\; \cdot \; V\; 2\; V\; 3\; \cdot \; V\; 3\; V\; 4\; =\; ZI\; 1\; ZI\; 4\; e\; \gamma \; 1\; +\; \gamma \; 2\; +\; \gamma \; 3\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\}\; \{V\_\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\}\; \{V\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{3\; \}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{3\}\}\; \{V\_\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{I1\}\}\; \{Z\_\; \{I4\}\}\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{1\; \}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{3\}\}\}$

Таким образом, для n каскадных секций, каждая из которых имеет совпадающие сопротивления, обращенные друг к другу, общая постоянная распространения определяется как

$\gamma \; total\; =\; \gamma \; 1\; +\; \gamma \; 2\; +\; \gamma \; 3\; +\; \cdots \; +\; \gamma \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{total\}\}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}\}$

Концепция глубины проникновения - один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. О других и их взаимосвязях см. Статью: Математические описания непрозрачности.

• Скорость распространения

• «Константа распространения». Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано из оригинального (онлайн) 14 июля 2014 года. Получено 2 февраля 2011 года.
• Пашотта, доктор Рюдигер (2011). «Константа распространения» (онлайн). Энциклопедия лазерной физики и техники. Проверено 2 февраля 2011 г.
• Janezic, Michael D.; Джеффри А. Жаргон (февраль 1999 г.). «Определение комплексной диэлектрической проницаемости по измерениям постоянной распространения» (PDF). IEEE Microwave and Guided Wave Letters. 9(2): 76–78. DOI : 10.1109 / 75.755052. Проверено 2 февраля 2011 г. Доступна бесплатная загрузка в формате PDF. Есть обновленная версия от 6 августа 2002 г.