Теорема Шварца – Альфорса – Пика

В математике, теорема Шварца – Альфорса – Пика является расширением леммы Шварца для гиперболической геометрии, такой как модель полуплоскости Пуанкаре.

Лемма Шварца – Пика утверждает, что каждая голоморфная функция из единичного круга U сама себе или из верхней полуплоскости H сама по себе не увеличит расстояние Пуанкаре между точками. Единичный круг U с метрикой Пуанкаре имеет отрицательную гауссову кривизну −1. В 1938 году Ларс Альфорс обобщил лемму на отображение единичного круга на другие отрицательно искривленные поверхности:

Теорема (Шварц - Альфорс - Выберите ). Пусть U - единичный круг с метрикой Пуанкаре $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$; пусть S - риманова поверхность, снабженная эрмитовой метрикой $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, гауссовой кривизны которой ≤ −1; пусть $f:\; U\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; rightarrow\; S\}$будет голоморфной функцией. Тогда

$\sigma \; (е\; (z\; 1),\; f\; (z\; 2))\; \le \; \rho \; (z\; 1,\; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (f\; (z\_\; \{1\}),\; f\; (z\_\; \{2\}))\; \backslash \; leq\; \backslash \; rho\; (z\_\; \{1\},\; z\_\; \{2\})\}$

для всех $z\; 1,\; z\; 2\; \in \; U.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\},\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; U.\}$

Обобщение этой теоремы было доказано Шинг-Тунг Яу в 1973 году.