Преобразование Меллина

В математике, то преобразование Меллина является интегральным преобразованием, которое может рассматриваться как мультипликативный вариант Двустороннее преобразований Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел, математической статистике и теории асимптотических разложений ; она тесно связана с преобразованием Лапласа и преобразование Фурье и теории гамма - функции и смежных специальных функций.

Преобразование Меллина функции f есть

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {M}} f \ right \} (s) = \ varphi (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx.}$

Обратное преобразование

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ varphi \ right \} (x) = f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} x ^ {- s} \ varphi (s) \, ds.}$

Обозначения подразумевают, что это линейный интеграл, взятый по вертикальной прямой в комплексной плоскости, действительная часть c которой произвольна при условии, что она удовлетворяет определенным условиям. Условия, при которых справедливо это обращение, приведены в теореме Меллина об обращении.

Преобразование названо в честь финского математика Ялмара Меллина.

• 1 Отношение к другим трансформациям
• 2 Примеры
  • 2.1 Интеграл Каэна – Меллина
  • 2.2 Полиномиальные функции
  • 2.3 Экспоненциальные функции
  • 2,4 Дзета-функция
  • 2,5 Обобщенный гауссовский
• 3 Фундаментальная полоса
• 4 Как изометрия на L ² пространствах
• 5 В теории вероятностей
• 6 Задачи с лапласианом в цилиндрической системе координат
• 7 Приложения
• 8 Примеры
• 9 Смотрите также
• 10 Примечания
• 11 использованная литература
• 12 внешние ссылки

Двустороннее преобразование Лапласа может быть определен в терминах преобразования Меллина путем

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {B}} f \ right \} (s) = \ left \ {{\ mathcal {M}} f (- \ ln x) \ right \} (s)}$

и наоборот, мы можем получить преобразование Меллина из двустороннего преобразования Лапласа следующим образом:

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {M}} f \ right \} (s) = \ left \ {{\ mathcal {B}} f (e ^ {- x}) \ right \} (s).}$

Меллин можно рассматривать как интеграцию с использованием ядра х ^s относительно мультипликативной меры Хаара,, инвариантный относительно расширения, так что двусторонний преобразования Лапласа интегрируется по аддитивной мере Хаара, которая является перевод инвариантной, так что. ${\ textstyle {\ frac {dx} {x}}}$${\ Displaystyle х \ mapsto ax}$${\ textstyle {\ frac {d (ax)} {ax}} = {\ frac {dx} {x}};}$${\ displaystyle dx}$${\ Displaystyle д (х + а) = дх}$

Мы также можем определить преобразование Фурье в терминах преобразования Меллина и наоборот; в терминах преобразования Меллина и двустороннего преобразования Лапласа, определенного выше

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} f \ right \} (- s) = \ left \ {{\ mathcal {B}} f \ right \} (- is) = \ left \ {{ \ mathcal {M}} f (- \ ln x) \ right \} (- is) \.}$

Мы также можем полностью изменить процесс и получить

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {M}} f \ right \} (s) = \ left \ {{\ mathcal {B}} f (e ^ {- x}) \ right \} (s) = \ left \ {{\ mathcal {F}} f (e ^ {- x}) \ right \} (- is) \.}$

Преобразование Меллина также связывает ряд или биномиальное преобразование Ньютона с производящей функцией Пуассона с помощью цикла Пуассона – Меллина – Ньютона.

Преобразование Меллина можно также рассматривать как преобразование Гельфанда для свертки алгебры на локально компактной абелевой группе положительных действительных чисел с умножением.

Интеграл Каэна – Меллина

Преобразование Меллина функции есть ${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х}}$

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} dx}$

где - гамма-функция. - мероморфная функция с простыми полюсами в. Следовательно, является аналитическим для. Таким образом, принимая и на главной ветви, обратное преобразование дает ${\ displaystyle \ Gamma (s)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (s)}$ ${\ Displaystyle Z = 0, -1, -2, \ точки}$${\ displaystyle \ Gamma (s)}$${\ Displaystyle \ Re (s)gt; 0}$${\ displaystyle cgt; 0}$${\ displaystyle z ^ {- s}}$

${\ displaystyle e ^ {- z} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} \ Gamma (s) z ^ {- s} \; ds}$.

Этот интеграл известен как интеграл Каена – Меллина.

Полиномиальные функции

Поскольку не сходится ни при каком значении, преобразование Меллина не определено для полиномиальных функций, определенных на всей положительной действительной оси. Однако, задав его равным нулю на разных участках действительной оси, можно использовать преобразование Меллина. Например, если ${\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {a} dx}$${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} x ^ {a} amp; x lt;1, \\ 0 amp; xgt; 1, \ end {cases}}}$

тогда

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s) = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {s-1} x ^ {a} dx = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {s + a-1} dx = {\ frac {1} {s + a}}.}$

Таким образом, имеет простой полюс в точке и, таким образом, определяется для. Аналогично, если ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s)}$${\ displaystyle s = -a}$${\ Displaystyle \ Re (s)gt; - а}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0 amp; x lt;1, \\ x ^ {b} amp; xgt; 1, \ end {cases}}}$

тогда

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} е (s) = \ int _ {1} ^ {\ infty} x ^ {s-1} x ^ {b} dx = \ int _ {1} ^ {\ infty } x ^ {s + b-1} dx = - {\ frac {1} {s + b}}.}.$

Таким образом, имеет простой полюс в точке и, таким образом, определяется для. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s)}$${\ displaystyle s = -b}$${\ Displaystyle \ Re (s) lt;- b}$

Экспоненциальные функции

Ибо пусть. потом ${\ displaystyle pgt; 0}$${\ displaystyle f (x) = e ^ {- px}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s} e ^ {- px} {\ frac {dx} {x}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {u} {p}} \ right) ^ {s} e ^ {- u} {\ frac {du} {u}} = {\ frac { 1} {p ^ {s}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {s} e ^ {- u} {\ frac {du} {u}} = {\ frac {1} { p ^ {s}}} \ Gamma (s).}$

Дзета-функция

Можно использовать преобразование Меллина для производства одного из основных формул для дзета функции,. Пусть. потом ${\ displaystyle \ zeta (s)}$${\ textstyle f (x) = {\ frac {1} {e ^ {x} -1}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {1} {e ^ {x} -1}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {e ^ {- x}} {1-e ^ {- x}}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- nx} dx = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {0 } ^ {\ infty} x ^ {s} e ^ {- nx} {\ frac {dx} {x}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} \ Gamma (s) = \ Gamma (s) \ zeta (s).}$

Таким образом,

${\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {1} {e ^ {x} -1}} dx.}$

Обобщенный гауссовский

Для, пусть (т.е. является обобщенным гауссовым распределением без масштабного коэффициента). Тогда ${\ displaystyle pgt; 0}$${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х ^ {p}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x ^ {p}} dx = \ int _ {0 } ^ {\ infty} x ^ {p-1} x ^ {sp} e ^ {- x ^ {p}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} (x ^ {p}) ^ {s / p-1} e ^ {- x ^ {p}} dx = {\ frac {1} {p}} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {s / p-1} e ^ {- u} du = {\ frac {\ Gamma (s / p)} {p}}.}$

В частности, при настройке восстанавливается следующий вид гамма-функции ${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {p}} \ right) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {p}} dx.}$

Для получения, пусть открытая полоса быть определена, чтобы быть все таким образом, что с The фундаментальной полосой из определяются как самая большая открытой полосой, на которой она определена. Например, для основной полосы ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle s = \ sigma + it}$${\ Displaystyle \ альфа lt;\ сигма lt;\ бета.}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s)}$${\ displaystyle agt; b}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} x ^ {a} amp; x lt;1, \\ x ^ {b} amp; xgt; 1, \ end {cases}}}$

is Как видно из этого примера, асимптотика функции as определяет левую конечную точку ее фундаментальной полосы, а асимптотика функции as определяет ее правую конечную точку. Подводя итог с использованием нотации Big O, if is as and as then определено в полосе${\ displaystyle \ langle -a, -b \ rangle.}$${\ Displaystyle х \ до 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle х \ к + \ infty}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle О (х ^ {а})}$${\ Displaystyle х \ до 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle О (х ^ {Ь})}$${\ Displaystyle х \ к + \ infty,}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (s)}$${\ displaystyle \ langle -a, -b \ rangle.}$

Применение этого можно увидеть в гамма-функции, так как это как и для всех, тогда следует определить в полосе, которая подтверждает, что это аналитический для${\ displaystyle \ Gamma (s).}$${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х}}$${\ displaystyle O (0)}$${\ Displaystyle х \ до 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle О (х ^ {к})}$${\ displaystyle k,}$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = {\ mathcal {M}} f (s)}$${\ displaystyle \ langle 0, + \ infty \ rangle,}$${\ displaystyle \ Gamma (s)}$${\ Displaystyle \ Re (s)gt; 0.}$

При изучении гильбертовых пространств преобразование Меллина часто ставится несколько иначе. Для функций в (см. Пространство Lp ) фундаментальная полоса всегда включает, поэтому мы можем определить линейный оператор как ${\ Displaystyle L ^ {2} (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + я \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$

${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathcal {M}}} \ двоеточие L ^ {2} (0, \ infty) \ к L ^ {2} (- \ infty, \ infty),}$

${\ displaystyle \ {{\ tilde {\ mathcal {M}}} f \} (s): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty } x ^ {- {\ frac {1} {2}} + is} f (x) \, dx.}$

Другими словами, мы установили

${\ displaystyle \ {{\ tilde {\ mathcal {M}}} f \} (s): = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ {{\ mathcal {M}} f \} ({\ tfrac {1} {2}} + есть).}$

Этот оператор обычно обозначается просто и называется «преобразованием Меллина», но он используется здесь, чтобы отличать от определения, используемого в других местах этой статьи. Затем теорема об обращении Меллина показывает, что обратима с обратным ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}} ^ {- 1} \ двоеточие L ^ {2} (- \ infty, \ infty) \ to L ^ {2} (0, \ infty),}$

${\ displaystyle \ {{\ tilde {\ mathcal {M}}} ^ {- 1} \ varphi \} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {- {\ frac {1} {2}} - is} \ varphi (s) \, ds.}$

Кроме того, этот оператор является изометрией, то есть для всех (это объясняет, почему был использован коэффициент). ${\ displaystyle \ | {\ тильда {\ mathcal {M}}} f \ | _ {L ^ {2} (- \ infty, \ infty)} = \ | f \ | _ {L ^ {2} (0, \ infty)}}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (0, \ infty)}$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2 \ pi}}}$

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом в изучении распределений произведений случайных величин. Если X - случайная величина, и X ⁺ = max { X, 0 } обозначает ее положительную часть, а X ^- = max {- X, 0 } - ее отрицательная часть, то преобразование Меллина для X определяется как

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s} dF_ {X ^ {+}} (x) + \ gamma \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s} dF_ {X ^ {-}} (x),}$

где γ - формальная неопределенная с γ ² = 1. Это преобразование существует для всех s в некоторой комплексной полосе D = { s  : a ≤ Re ( s) ≤ b }, где a ≤ 0 ≤ b.

Преобразование Меллина случайной величины X однозначно определяет свою функцию распределения F X. Важность преобразования Меллина в теории вероятностей заключается в том, что если X и Y - две независимые случайные величины, то преобразование Меллина их произведений равно произведению преобразований Меллина X и Y: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X} (оно)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {XY} (s) = {\ mathcal {M}} _ {X} (s) {\ mathcal {M}} _ {Y} (s)}$

В лапласиане в цилиндрических координатах в общем измерении (ортогональные координаты с одним углом и одним радиусом и остальными длинами) всегда есть термин:

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) = f_ { rr} + {\ frac {f_ {r}} {r}}}$

Например, в двухмерных полярных координатах лапласиан:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial f} {\ partial r }} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}}}$

а в трехмерных цилиндрических координатах лапласиан равен

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial f} {\ partial r }} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}}.}$

Этот термин легко обрабатывается преобразованием Меллина, поскольку:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ left (r ^ {2} f_ {rr} + rf_ {r}, r \ to s \ right) = s ^ {2} {\ mathcal {M}} \ left (f, r \ to s \ right) = s ^ {2} F}$

Например, двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах - это УЧП с двумя переменными:

${\ displaystyle r ^ {2} f_ {rr} + rf_ {r} + f _ {\ theta \ theta} = 0}$

и умножением:

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}$

с преобразованием Меллина по радиусу становится простым гармоническим осциллятором :

${\ Displaystyle F _ {\ theta \ theta} + s ^ {2} F = 0}$

с общим решением:

${\ Displaystyle F (s, \ theta) = C_ {1} (s) \ cos (s \ theta) + C_ {2} (s) \ sin (s \ theta)}$

Теперь давайте, например, наложим несколько простых граничных условий клина на исходное уравнение Лапласа:

${\ displaystyle f (r, - \ theta _ {0}) = a (r), \ quad f (r, \ theta _ {0}) = b (r)}$

они особенно просты для преобразования Меллина, становясь:

${\ Displaystyle F (s, - \ theta _ {0}) = A (s), \ quad F (s, \ theta _ {0}) = B (s)}$

Эти условия, накладываемые на решение, определяют его:

${\ Displaystyle F (s, \ theta) = A (s) {\ frac {\ sin (s (\ theta _ {0} - \ theta))} {\ sin (2 \ theta _ {0} s)} } + B (s) {\ frac {\ sin (s (\ theta _ {0} + \ theta))} {\ sin (2 \ theta _ {0} s)}}}$

Теперь по теореме свертки для преобразования Меллина решение в области Меллина может быть обращено:

${\ displaystyle f (r, \ theta) = {\ frac {r ^ {m} \ cos (m \ theta)} {2 \ theta _ {0}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {a (x)} {x ^ {2m} + 2r ^ {m} x ^ {m} \ sin (m \ theta) + r ^ {2m}}} + {\ frac {b ( x)} {x ^ {2m} -2r ^ {m} x ^ {m} \ sin (m \ theta) + r ^ {2m}}} \ right) x ^ {m-1} \, dx}$

где использовалось следующее соотношение обратного преобразования:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ sin (s \ varphi)} {\ sin (2 \ theta _ {0} s)}}; s \ to r \ right) = {\ frac {1} {2 \ theta _ {0}}} {\ frac {r ^ {m} \ sin (m \ varphi)} {1 + 2r ^ {m} \ cos (m \ varphi) + r ^ {2m}}}}$

где. ${\ Displaystyle м = {\ гидроразрыва {\ pi} {2 \ theta _ {0}}}}$

Преобразование Меллина широко используется в информатике для анализа алгоритмов из-за его свойства масштабной инвариантности. Величина преобразования Меллина масштабированной функции идентична величине исходной функции для чисто мнимых входных данных. Это свойство масштабной инвариантности аналогично свойству инвариантности сдвига преобразования Фурье. Величина преобразования Фурье функции со сдвигом во времени идентична величине преобразования Фурье исходной функции.

Это свойство полезно при распознавании изображений. Изображение объекта легко масштабируется, когда объект перемещается к камере или от нее.

В квантовой механике и особенно квантовой теории поля, пространство Фурье является чрезвычайно полезным и широко используется, потому что импульс и позиция преобразования Фурье друг от друга (например, диаграммы Фейнмана гораздо более легко вычислить в импульсном пространстве). В 2011 году А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу и Балт К. ван Рис показали, что пространство Меллина играет аналогичную роль в контексте корреспонденции AdS / CFT.

• Формула Перрона описывает обратное преобразование Меллина, примененное к ряду Дирихле.
• Преобразование Меллина используется при анализе функции подсчета простых чисел и встречается при обсуждении дзета-функции Римана.
• Обратные преобразования Меллина обычно используются в средних Рисса.
• Преобразование Меллина можно использовать в модификации звуковой шкалы времени и высоты тона.

• Теорема обращения Меллина
• Формула Перрона
• Основная теорема Рамануджана

1. ^ Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1996). Курс современного анализа. Издательство Кембриджского университета.
2. ^ Харди, GH ; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Acta Mathematica. 41 (1): 119–196. DOI : 10.1007 / BF02422942. (См. Примечания к ним для дальнейших ссылок на работы Каэна и Меллина, включая тезис Каэна.)
3. ^ Flajolet, P.; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотики: гармонические суммы» (PDF). Теоретическая информатика. 144 (1–2): 3–58. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-e.
4. ^ Галамбос amp; Simonelli (2004, стр. 15)
5. ^ ^{a b c} Галамбос и Симонелли (2004, с. 16)
6. ^ Галамбос amp; Simonelli (2004, стр. 23)
7. ^ Бхимсно, Shivamoggi, Глава 6: Меллин Transform, пар. 4.3: Распределение потенциала в клине, стр. 267–8.
8. ^ А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу, Балт К. ван Рис. «Естественный язык для корреляторов AdS / CFT».
9. ^ А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан. «Унитарность и голографическая S-матрица»
10. ^ А. Лиам Фицпатрик. «AdS / CFT и голографическая S-матрица», видеолекция.

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения. CRC Press. ISBN   978-1-4200-1091-6.
• Галамбос, Янош; Симонелли, Итало (2004). Произведения случайных величин: приложения к задачам физики и арифметическим функциям. Марсель Деккер, Inc. ISBN   0-8247-5402-6.
• Париж, РБ; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса. Издательство Кембриджского университета.
• Полянин, А.Д.; Манжиров, А.В. (1998). Справочник по интегральным уравнениям. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN   0-8493-2876-4.
• Flajolet, P.; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотики: гармонические суммы» (PDF). Теоретическая информатика. 144 (1–2): 3–58. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-e.
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Преобразование Меллина», Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Меллина». MathWorld.
• Некоторые приложения преобразования Меллина в статистике ( статья )

• Филипп Флажоле, Ксавье Гурдон, Филипп Дюма, преобразования Меллина и асимптотики: гармонические суммы.
• Антонио Гонсалес, Марко Ридель Селебрандо un clásico, группа новостей es.ciencia.matematicas
• Хуан Сакердоти, Funciones Eulerianas (на испанском языке).
• Методы преобразования Меллина, Электронная библиотека математических функций, 2011-08-29, Национальный институт стандартов и технологий
• Антонио Де Сена и Давиде Роккессо, БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В DAFX