Обобщенное нормальное распределение

редактировать

Обобщенное нормальное распределение или Обобщенное нормальное распределение (GGD) является одним из два семейства параметрических непрерывных распределений вероятностей на действительной линии. Оба семейства добавляют параметр формы к нормальному распределению. Чтобы различать эти два семейства, они упоминаются ниже как «версия 1» и «версия 2». Однако это не стандартная номенклатура.

Содержание

1 Версия 1
- 1.1 Оценка параметров
  - 1.1.1 Оценка максимального правдоподобия
- 1.2 Приложения
- 1.3 Свойства
  - 1.3.1 Моменты
  - 1.3.2 Подключение к Положительно-определенные функции
  - 1.3.3 Бесконечная делимость
- 1.4 Обобщения
2 Версия 2
- 2.1 Оценка параметров
- 2.2 Приложения
3 Другие распределения, связанные с нормальным
4 См. Также
5 ссылок

Версия 1

Generalized Normal (version 1)
Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$μ {\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$ местоположение (реальное ). $α {\ displaystyle \ alpha \,}$ $\ alpha \,$ масштаб (положительное, реальное ). $β {\ displaystyle \ beta \,}$ $\ beta \,$ форма (положительная, действительная )
Поддержка	$x ∈ (- ∞; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}$ $x \ in (- \ infty; + \ infty) \!$
PDF	$β 2 α Γ (1 / β) е - (\| x - μ \| / α) β {\ displaystyle {\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)}} \; e ^ {- (\| x- \ mu \| / \ alpha) ^ {\ beta}}}$ $\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)} \; е ^ {- (\| х- \ му \| / \ альфа) ^ \ бета}$ .. $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ обозначает гамма-функцию
CDF	$1 2 + знак (x - μ) 2 1 Γ (1 β) γ (1 β, x α β) {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {{\ text {sign}} (x- \ mu)} {2}} {\ frac {1} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {\ beta}} \ right)}} \ gamma \ left ({\ frac {1} {\ beta}}, x \ alpha ^ {\ beta} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} { 2}} + {\ frac {{\ text {sign}} (x- \ mu)} {2}} {\ frac {1} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {\ beta}} \ справа)}} \ гамма \ влево ({\ гидроразрыва {1} {\ beta}}, x \ alpha ^ {\ beta} \ right)}$ .
Знак квантиля	$(p - 0,5) F - 1 (2 \| p - 0,5 \| ; 1 β, 1 α β) 1 / β + μ {\ displaystyle {\ text {sign}} (p-0,5) F ^ {- 1} \ left (2 \| p-0,5 \|; {\ frac {1} { \ beta}}, {\ frac {1} {\ alpha ^ {\ beta}}} \ right) ^ {1 / \ beta} + \ mu}$ ${\ displaystyle {\ text {sign}} (p-0.5) F ^ {- 1} \ left (2 \| p-0.5 \|; {\ frac {1} {\ beta}}, {\ frac {1} {\ alpha ^ {\ beta}}} \ right) ^ {1 / \ beta} + \ mu}$ . где $F - 1 (p; a, б) {\ displaystyle F ^ {- 1} \ left (p; a, b \ right)}$ ${\ displaystyle F ^ {- 1} \ left (p; a, b \ right)}$ - функция квантиля гамма-распределения
Среднее	$μ {\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$
Медиана	$μ {\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$
Mode	$μ {\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$
Дисперсия	$α 2 Γ (3 / β) Γ (1 / β) {\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2} \ Gamma (3 / \ beta)} {\ Gamma (1 / \ beta)}}}$ $\ frac {\ alpha ^ 2 \ Gamma (3 / \ beta)} {\ Gamma (1 / \ beta)}$
асимметрия	0
пр.. эксцесс	$Γ (5 / β) Γ (1 / β) Γ (3 / β) 2–3 {\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (5 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)} { \ Gamma (3 / \ beta) ^ {2}}} - 3}$ $\ frac {\ Gamma (5 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)} {\ Gamma (3 / \ beta) ^ 2} -3$
Энтропия	$1 β - log ⁡ [β 2 α Γ (1 / β)] {\ displaystyle {\ frac {1} { \ beta}} - \ log \ left [{\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)}} \ right]}$ $\ frac {1} {\ beta} - \ log \ left [\ frac {\ beta} { 2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)} \ right]$

Известный также как экспоненциальное распределение мощности или обобщенное распределение ошибок, это параметрическое семейство симметричных распределений. Он включает в себя все нормальные и распределения Лапласа, а в качестве предельных случаев он включает все непрерывные равномерные распределения на ограниченных интервалах реальной прямой.

Это семейство включает нормальное распределение, когда $β = 2 {\ displaystyle \ textstyle \ beta = 2}$ $\ textstyle \ beta = 2$ (со средним значением $μ {\ displaystyle \ textstyle \ mu}$ $\ textstyle \ му$ и дисперсия $α 2 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}}$ $\ textstyle \ frac {\ alpha ^ 2} {2}$ ) и это включает распределение Лапласа, когда $β = 1 {\ displaystyle \ textstyle \ beta = 1}$ $\ textstyle \ beta = 1$ . Поскольку $β → ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ beta \ rightarrow \ infty}$ $\ textstyle \ beta \ rightarrow \ infty$ , плотность поточечно сходится к равномерной плотности на $(μ - α, μ + α) {\ displaystyle \ textstyle (\ mu - \ alpha, \ mu + \ alpha)}$ $\ textstyle (\ mu- \ alpha, \ mu + \ alpha)$ .

Это семейство учитывает хвосты, которые либо тяжелее, чем обычно (когда $β < 2 {\displaystyle \beta <2}$ $\ beta <2$ ), либо легче обычного (когда $β>2 {\ displaystyle \ beta>2}$ $\beta>2$ ). Это полезный способ параметризации континуума симметричных, платикуртических плотностей, выходящих из нормального ( $β = 2 {\ displaystyle \ text = 2}$ $\ textstyle \ beta = 2$ ) к равномерной плотности ( $β = ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ beta = \ infty}$ $\ textstyle \ beta = \ infty$ ) и континууму симметричного, лептокуртического плотности от Лапласа ( $β = 1 {\ displaystyle \ textstyle \ beta = 1}$ $\ textstyle \ beta = 1$ ) до нормальной плотности ( $β = 2 {\ displaystyle \ textstyle \ beta = 2}$ $\ textstyle \ beta = 2$ ).

Оценка параметров

Была изучена оценка параметров с помощью максимального правдоподобия и метода моментов. Оценки не имеют закрытого вида и должны быть получены численно. Также были предложены оценки, не требующие численного расчета.

Обобщенная нормальная функция логарифмического правдоподобия имеет бесконечно много непрерывных производных (т.е. она принадлежит к классу C гладких функций ), только если $β {\ displaystyle \ textstyle \ beta}$ $\ textstyle \ beta$ - положительное четное целое число. В противном случае функция имеет $⌊ β ⌋ {\ displaystyle \ textstyle \ lfloor \ beta \ rfloor}$ $\ textstyle \ lfloor \ beta \ rfloor$ непрерывные производные. В результате стандартные результаты для согласованности и асимптотической нормальности оценок максимального правдоподобия для $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ применимы только тогда, когда $β ≥ 2 {\ displaystyle \ textstyle \ beta \ geq 2}$ $\ textstyle \ beta \ ge 2$ .

Оценка максимального правдоподобия

Можно подогнать под обобщенное нормальное распределение, приняв приближенный метод максимального правдоподобия. С $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , изначально установленным на выборку первого момента $m 1 {\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ , $β {\ displaystyle \ textstyle \ beta}$ $\ textstyle \ beta$ оценивается с использованием итерационной процедуры Ньютона – Рафсона, начиная с первоначального предположения $β = β 0 {\ displaystyle \ textstyle \ beta = \ textstyle \ beta _ {0 }}$ $\ textstyle \ beta = \ textstyle \ beta_0$ ,

β 0 = м 1 м 2, {\ displaystyle \ beta _ {0} = {\ frac {m_ {1}} {\ sqrt {m_ {2}}}},}

\ beta _0 = \ frac {m_1} {\ sqrt {m_2}},

где

m 1 = 1 N ∑ i = 1 N | х я |, {\ displaystyle m_ {1} = {1 \ over N} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} |,}

m_1 = {1 \ над N} \ sum_ {i = 1} ^ N | x_i |,

- это первый статистический момент абсолютные значения и $m 2 {\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ - второй статистический момент. Итерация:

β i + 1 = β i - g (β i) g '(β i), {\ displaystyle \ beta _ {i + 1} = \ beta _ {i} - {\ frac {g (\ beta _ {i})} {g '(\ beta _ {i})}},}

\beta _{i+1} = \beta _{i} - \frac{g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})},

где

g (β) = 1 + ψ (1 / β) β - ∑ i = 1 N | x i - μ | β log ⁡ | x i - μ | ∑ i = 1 N | x i - μ | β + журнал ⁡ (β N ∑ я знак равно 1 N | xi - μ | β) β, {\ displaystyle g (\ beta) = 1 + {\ frac {\ psi (1 / \ beta)} {\ beta}} - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ log | x_ {i} - \ mu |} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ log ({\ frac {\ beta} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta})} {\ beta}},}

{\ displaystyle g (\ beta) = 1 + {\ frac {\ psi (1 / \ beta)} { \ beta}} - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ log | x_ {i} - \ mu |} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ log ({\ frac {\ beta} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta})} {\ beta}},}

g ′ (β) = - ψ (1 / β) β 2 - ψ ′ (1 / β) β 3 + 1 β 2 - ∑ i = 1 N | x i - μ | β (журнал ⁡ | x i - μ |) 2 ∑ i = 1 N | x i - μ | β + (i = 1 N | x i - μ | β log ⁡ | x i - μ |) 2 (∑ i = 1 N | x i - μ | β) 2 + ∑ i = 1 N | x i - μ | β log ⁡ | x i - μ | β ∑ i = 1 N | x i - μ | β - журнал ⁡ (β N ∑ я знак равно 1 N | xi - μ | β) β 2, {\ displaystyle {\ begin {align} g '(\ beta) = {} - {\ frac {\ psi (1 / \ beta)} {\ beta ^ {2}}} - {\ frac {\ psi '(1 / \ beta)} {\ beta ^ {3}}} + {\ frac {1} {\ beta ^ { 2}}} - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} (\ log | x_ {i} - \ mu |) ^ { 2}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}} \\ [6pt] {} + {\ frac {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ log | x_ {i} - \ mu | \ right) ^ {2}} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ right) ^ {2}}} + {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ log | x_ {i} - \ mu |} {\ beta \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}} \\ [6pt] {} - {\ frac {\ log \ left ({\ frac {\ beta} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ { i} - \ mu | ^ {\ beta} \ right)} {\ beta ^ {2}}}, \ end {align}}}

{\begin{aligned}g'(\beta)={}-{\frac {\psi (1/\beta)}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta)}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |\right)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}

и где $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ и $ψ ′ {\ displaystyle \ psi '}$ $\psi '$ - это дигамма-функция и тригамма-функция.

с заданным значением для $β { \ displaystyle \ textstyle \ beta}$ $\ textstyle \ beta$ , можно оценить $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , найдя минимум:

мин. Μ = ∑ i = 1 N | x i - μ | β {\ displaystyle \ min _ {\ mu} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}

{\ displaystyle \ min _ {\ mu} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta}}

Наконец, $α {\ displaystyle \ textstyle \ alpha}$ $\ textstyle \ alpha$ оценивается как

α = (β N ∑ i = 1 N | xi - μ | β) 1 / β. {\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ beta} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ right) ^ {1 / \ beta}.}

{\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ beta} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - \ mu | ^ {\ beta} \ right) ^ {1 / \ beta}.}

Для $β ≤ 1 {\ displaystyle \ beta \ leq 1}$ $\ beta \ leq 1$ медиана является более подходящей оценкой $μ {\ displaystyle \ mu }$ $\ mu$ . После оценки $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ можно оценить, как описано выше.

Приложения

Эта версия обобщенного нормального распределения использовалась при моделировании, когда концентрация значений вокруг среднего значения и поведение хвоста представляют особый интерес. Другие семейства распределений можно использовать, если основное внимание уделяется другим отклонениям от нормального. Если симметрия распределения является основным интересом, можно использовать семейство skew normal или версию 2 обобщенного нормального семейства, обсуждаемую ниже. Если поведение хвоста является основным интересом, можно использовать семейство student t, которое аппроксимирует нормальное распределение при возрастании степеней свободы до бесконечности. Распределение t, в отличие от этого обобщенного нормального распределения, получает более тяжелые, чем нормальные, хвосты без получения остаточного выступа в начале координат.

Свойства

Моменты

Пусть $X β {\ displaystyle X _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ beta}}$ будет нулевым средним обобщенным гауссовым распределением формы $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и параметр масштабирования $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Моменты $X β {\ displaystyle X _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ beta}}$ существуют и конечны для любого k больше -1. Для любого неотрицательного целого числа k простые центральные моменты равны

E ⁡ [X β k] = {0, если k нечетное, α k Γ (k + 1 β) / Γ (1 β), если k четное. {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X _ {\ beta} ^ {k} \ right] = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} k {\ text {нечетное,}} \\ \ alpha ^ {k} \ Gamma \ left ({\ frac {k + 1} {\ beta}} \ right) {\ Big /} \, \ Gamma \ left ({\ frac {1} {\ beta}} \ right) {\ text {if}} k {\ text {четно.}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X _ {\ beta} ^ {k} \ right] = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} k { \ text {нечетно,}} \\\ alpha ^ {k} \ Gamma \ left ({\ frac {k + 1} {\ beta}} \ right) {\ Big /} \, \ Gamma \ left ({ \ frac {1} {\ beta}} \ right) {\ text {if}} k {\ text {четное.}} \ end {cases}}}

Связь с положительно-определенными функциями

Функция плотности вероятности этой версии обобщенного нормального распределения является положительно определенной функцией для $β ∈ (0, 2] {\ displaystyle \ beta \ in (0,2]}$ ${\ displaystyle \ beta \ in (0,2]}$ .

Бесконечная делимость

Эта версия обобщенного гауссовского распределения является безгранично делимым распределением тогда и только тогда, когда $β ∈ (0, 1] ∪ {2} {\ displaystyle \ beta \ in (0,1] \ чашка \ {2 \}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in (0,1] \ чашка \ {2 \}}$ .

Обобщения

Многомерное обобщенное нормальное распределение, т. е. произведение $n {\ displaystyle n}$ $n$ экспоненциальных распределений мощности с тем же $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ параметры, это единственный профессиональный Плотность возможности, которую можно записать в виде $p (x) = g (‖ x ‖ β) {\ displaystyle p (\ mathbf {x}) = g (\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ beta})}$ $p (\ mathbf x) = g (\ | \ mathbf x \ | _ \ beta)$ и имеет независимые маргиналы. Результаты для частного случая многомерного нормального распределения изначально приписываются Максвеллу.

Версия 2

Обобщенное нормальное (версия 2)
Функция плотности вероятности
Кумулятивное распределение функция
Параметры	$ξ {\ displaystyle \ xi \,}$ $\ xi \,$ местоположение (действительное ). $α {\ displaystyle \ alpha \,}$ $\ alpha \,$ масштаб (положительное, реальный ). $κ {\ displaystyle \ kappa \,}$ $\ kappa \,$ shape (real )
Support	$x ∈ (- ∞, ξ + α / κ), если κ>0 {\ displaystyle x \ in (- \ infty, \ xi + \ alpha / \ kappa) {\ text {if}} \ kappa>0}$ $x \in (-\infty,\xi+\alpha/\kappa) \text{ if } \kappa>0$ . $x ∈ (- ∞, ∞), если κ = 0 {\ displaystyle x \ in (- \ infty, \ infty) {\ text {if}} \ kappa = 0}$ $x \ in (- \ infty, \ infty) \ text {if} \ kappa = 0$ . $x ∈ (ξ + α / κ; + ∞), если κ < 0 {\displaystyle x\in (\xi +\alpha /\kappa ;+\infty){\text{ if }}\kappa <0}$ $x \ in (\ xi + \ alpha / \ kappa; + \ infty) \ text {if} \ kappa <0$
PDF	$ϕ (Y) α - κ (x - ξ) {\ displaystyle {\ frac {\ phi (y)} {\ alpha - \ kappa (x- \ xi)}}}$ $\ frac {\ phi (y)} {\ alpha- \ kappa (x- \ xi)}$ , где. $y = {- 1 κ log ⁡ [1 - κ ( x - ξ) α], если κ ≠ 0, x - ξ α, если κ = 0 {\ displaystyle y = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {\ kappa}} \ log \ left [1 - {\ frac {\ kappa (x- \ xi)} {\ alpha}} \ right] {\ text {if}} \ kappa \ neq 0 \\ {\ frac {x- \ xi} {\ alpha}} { \ text {if}} \ kappa = 0 \ end {cases}}}$ $y = \ begin {cases} - \ frac {1} {\ kappa} \ log \ left [1- \ frac {\ kappa (x- \ xi)} {\ alpha} \ right] \ text {if} \ kappa \ neq 0 \\ \ frac {x- \ xi} {\ alpha} \ text {if} \ kappa = 0 \ end {cases}$ . $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - стандартный normal pdf
CDF	$Φ (y) {\ displaystyle \ Phi (y)}$ $\ Phi (y)$ , где. $y = {- 1 κ log ⁡ [1 - κ (x - ξ) α] если κ ≠ 0 Икс - ξ α, если κ = 0 {\ displaystyle y = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {\ kappa}} \ log \ left [1 - {\ frac {\ kappa (x - \ xi)} {\ alpha}} \ right] {\ text {if}} \ kappa \ neq 0 \\ {\ frac {x- \ xi} {\ alpha}} {\ text {if}} \ kappa = 0 \ end {cases}}}$ $y = \ begin {cases} - \ frac {1} {\ kappa} \ log \ left [1- \ frac {\ kappa (x- \ xi) } {\ alpha} \ right] \ text {if} \ kappa \ neq 0 \\ \ frac {x- \ xi} {\ alpha} \ text {if} \ kappa = 0 \ end {cases}$ . $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ является стандартным нормальным CDF
Среднее	$ξ - α κ (е κ 2/2 - 1) {\ Displaystyle \ xi - {\ гидроразрыва {\ альфа} {\ каппа}} \ влево (е ^ {\ каппа ^ {2} / 2} -1 \ вправо)}$ $\ xi - \ frac {\ alpha} {\ kappa} \ left (e ^ {\ kappa ^ 2/2} - 1 \ right)$
Медиана	$ξ {\ displaystyle \ xi \,}$ $\ xi \,$
Дисперсия	$α 2 κ 2 e κ 2 (e κ 2-1) {\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2} } {\ kappa ^ {2}}} e ^ {\ kappa ^ {2}} \ left (e ^ {\ kappa ^ {2}} - 1 \ right)}$ $\ frac {\ alpha ^ 2} { \ каппа ^ 2} е ^ {\ каппа ^ 2} \ влево (е ^ {\ каппа ^ 2} - 1 \ вправо)$
Асимметрия	$3 e κ 2 - e 3 κ 2 - 2 (e κ 2 - 1) знак 3/2 (κ) {\ displaystyle {\ frac {3e ^ {\ kappa ^ {2}} - e ^ {3 \ kappa ^ {2}} - 2} {(e ^ {\ kappa ^ {2}} - 1) ^ {3/2} }} {\ text {sign}} (\ kappa)}$ $\ frac {3 e ^ {\ kappa ^ 2} - e ^ {3 \ kappa ^ 2} - 2} {(e ^ {\ kappa ^ 2} - 1) ^ {3/2}} \ text {sign} (\ kappa)$
Пример. эксцесс	$e 4 κ 2 + 2 e 3 κ 2 + 3 e 2 κ 2 - 6 {\ displaystyle e ^ {4 \ kappa ^ {2}} + 2e ^ {3 \ kappa ^ {2}} + 3e ^ {2 \ kappa ^ {2}} - 6}$ $e ^ {4 \ kappa ^ 2} + 2 e ^ {3 \ kappa ^ 2} + 3 e ^ {2 \ kappa ^ 2} - 6$

Это семейство непрерывных распределений вероятностей, в которых параметр формы может использоваться для введения перекоса. Когда параметр формы равен нулю, получается нормальное распределение. Положительные значения параметра формы приводят к распределению с уклоном влево, ограниченному вправо, а отрицательные значения параметра формы приводят к распределению с уклоном вправо, ограниченному влево. Только когда параметр формы равен нулю, функция плотности для этого распределения является положительной по всей действительной линии: в этом случае распределение является нормальным распределением, в противном случае распределения сдвигаются и, возможно, меняются местами log- нормальные распределения.

Оценка параметра

Параметры могут быть оценены с помощью оценки максимального правдоподобия или метода моментов. Оценки параметров не имеют закрытой формы, поэтому для вычисления оценок необходимо использовать численные расчеты. Поскольку пространство выборки (набор действительных чисел, где плотность не равна нулю) зависит от истинного значения параметра, некоторые стандартные результаты о производительности оценок параметров не будут автоматически применяться при работе с этим семейством.

Приложения

Это семейство распределений может использоваться для моделирования значений, которые могут быть нормально распределенными или которые могут быть либо скошены вправо, либо влево относительно нормального распределения. косое нормальное распределение - это еще одно распределение, которое полезно для моделирования отклонений от нормальности из-за перекоса. Другие распределения, используемые для моделирования искаженных данных, включают распределения гамма, логнормальное и Вейбулла, но они не включают нормальные распределения как особые случаи.

Другие распределения, относящиеся к нормальному

Два описанных здесь обобщенных семейства нормальных, например, семейство skew normal, являются параметрическими семействами, которые расширяют нормальное распределение путем добавления формы параметр. Из-за центральной роли нормального распределения в вероятности и статистике многие распределения могут быть охарактеризованы с точки зрения их отношения к нормальному распределению. Например, логнормальное, свернутое нормальное и обратное нормальное распределения определяются как преобразования нормально распределенного значения, но в отличие от обобщенного нормального и косонормальные семейства, они не включают нормальные распределения как особые случаи.. Фактически все распределения с конечной дисперсией в пределе сильно связаны с нормальным распределением. Распределение Стьюдента-t, распределение Ирвина – Холла и распределение Бейтса также расширяют нормальное распределение и включают в себя в пределе нормальное распределение. Таким образом, нет веских причин предпочесть «обобщенное» нормальное распределение типа 1, например над комбинацией Student-t и нормализованного расширенного Ирвина-Холла - это может включать, например, треугольное распределение (которое не может быть смоделировано обобщенным гауссовым типом 1).. Симметричное распределение, которое может полностью независимо моделировать поведение хвоста (длинного и короткого) и центра (например, плоский, треугольный или гауссовский), например используя X = IH / chi.

См. Также

Ссылки