Серия Дирихле

редактировать

В математике серия Дирихле - это любая серия формы

∑ N = 1 ∞ anns, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

, где s - это сложный, а $- {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ - сложная последовательность. Это частный случай общих рядов Дирихле..

Ряды Дирихле играют множество важных ролей в аналитической теории чисел. Наиболее часто встречающееся определение дзета-функции Римана - это ряд Дирихле, как и L-функции Дирихле. Предполагается, что ряд класса Сельберга подчиняется обобщенной гипотезе Римана. Серия названа в честь Питера Густава Лежена Дирихле.

Содержание

1 Комбинаторная важность
2 Примеры
3 Аналитические свойства
- 3.1 Абсцисса сходимости
4 Формальный ряд Дирихле
5 Производные
6 Произведения
7 Инверсия коэффициентов (интегральная формула)
8 Интегральные и последовательные преобразования
9 Связь с степенным рядом
10 Связь с сумматорной функцией арифметической функции через Меллина transforms
11 См. также
12 Ссылки

Комбинаторная важность

Ряд Дирихле может использоваться как производящий ряд для подсчета взвешенных наборов объектов относительно веса, который мультипликативно комбинируется при взятии декартовых произведений.

Предположим, что A - это набор с функцией w: A → N, назначающей вес каждому из элементов A, и предположим дополнительно, что волокно над любое натуральное число с таким весом является конечным множеством. (Мы называем такое расположение (A, w) взвешенным множеством.) Предположим дополнительно, что a n - это количество элементов A с весом n. Затем мы определяем формальный производящий ряд Дирихле для A относительно w следующим образом:

D w A (s) = ∑ a ∈ A 1 w (a) s = ∑ n = 1 ∞ anns {\ displaystyle {\ mathfrak {D}} _ {w} ^ {A} (s) = \ sum _ {a \ in A} {\ frac {1} {w (a) ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

{\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

Обратите внимание, что если A и B - непересекающиеся подмножества некоторого взвешенного множества (U, w), то ряд Дирихле поскольку их (непересекающееся) объединение равно сумме их ряда Дирихле:

D w A ⊎ B (s) = D w A (s) + D w B (s). {\ displaystyle {\ mathfrak {D}} _ {w} ^ {A \ uplus B} (s) = {\ mathfrak {D}} _ {w} ^ {A} (s) + {\ mathfrak {D} } _ {w} ^ {B} (s).}

{\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).

Более того, если (A, u) и (B, v) - два взвешенных множества, и мы определяем весовую функцию w: A × B → N по

w (a, b) = u (a) v (b), {\ displaystyle w (a, b) = u (a) v (b),}

w(a,b)=u(a)v(b),

для всех a в A и b в B, то мы имеем следующее разложение для ряда Дирихле декартова произведения:

D w A × B (s) = D u A (s) ⋅ D v B (s). {\ displaystyle {\ mathfrak {D}} _ {w} ^ {A \ times B} (s) = {\ mathfrak {D}} _ {u} ^ {A} (s) \ cdot {\ mathfrak {D }} _ {v} ^ {B} (s).}

{\mathfrak {D}}_{w}^{{A\times B}}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{{A}}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{{B}}(s).

В конечном итоге это следует из того простого факта, что $n - s ⋅ m - s = (nm) - s. {\ displaystyle n ^ {- s} \ cdot m ^ {- s} = (nm) ^ {- s}.}$ $n^{{-s}}\cdot m^{{-s}}=(nm)^{{-s}}.$

Примеры

Самый известный пример ряда Дирихле -

ζ (s) знак равно ∑ N знак равно 1 ∞ 1 нс, {\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}, }

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},

чье аналитическое продолжение на $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ (кроме простого полюса в $s = 1 {\ displaystyle s = 1}$ $s=1$ ) является дзета-функцией Римана.

При условии, что f является действительным знаком при всех натуральных числах n, соответствующие действительная и мнимая части ряда Дирихле F имеют известные формулы, в которых мы пишем $s ≡ σ + ı T {\ Displaystyle s \ Equiv \ sigma + \ imath t}$ $s\equiv \sigma +\imath t$ :

R e [F (s)] = ∑ n ≥ 1 f (n) cos ⁡ (t log ⁡ n) n σ I m [ F (s)] = ∑ n ≥ 1 f (n) sin ⁡ (t log n) n σ. {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {Re}} [\, F (s) \,] = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {~ f (n) \, \ cos (t \ log n) ~} {n ^ {\ sigma}}} \\ {\ mathfrak {Im}} [\, F (s) \,] = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {~ f (n) \, \ sin (t \ log n) ~} {n ^ {\ sigma}}} \,. \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\mathfrak {Re}}[\,F(s)\,]=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\{\mathfrak {Im}}[\,F(s)\,]=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}

Рассматривая их как формальные ряды Дирихле, пока чтобы иметь возможность игнорировать вопросы сходимости, обратите внимание, что мы имеем:

ζ (s) = D id N (s) = ∏ p prime D id {pn: n ∈ N} (s) = ∏ p prime ∑ N ∈ ND id {pn} (s) = ∏ p простое ∑ n ∈ N 1 (pn) s = ∏ p простое ∑ n ∈ N (1 пс) n = ∏ p простое 1 1 - p - s {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) = {\ mathfrak {D}} _ {\ operatorname {id}} ^ {\ mathbb {N}} (s) = \ prod _ {p {\ text {prime }}} {\ mathfrak {D}} _ {\ operatorname {id}} ^ {\ {p ^ {n}: n \ in \ mathbb {N} \}} (s) = \ prod _ {p {\ текст {prime}}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathfrak {D}} _ {\ operatorname {id}} ^ {\ {p ^ {n} \}} (s) \ \ = \ prod _ {p {\ text {prime}}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} {(p ^ {n}) ^ {s}}} = \ prod _ {p {\ text {prime}}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {s}}} \ right) ^ {n} = \ prod _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} \ end {выровнено }}}

{\displ aystyle {\begin{aligned}\zeta (s)={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}

, поскольку каждое натуральное число имеет уникальное мультипликативное разложение по степеням простых чисел. Именно этот кусочек комбинаторики вдохновляет формулу произведения Эйлера.

Другой:

1 ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ μ (n) ns {\ displaystyle {\ frac {1} { \ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}}

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}

где μ (n) - Функция Мёбиуса. Эта и многие из следующих серий могут быть получены путем применения инверсии Мёбиуса и свертки Дирихле к известным сериям. Например, для символа Дирихле χ (n) будет

1 L (χ, s) = ∑ n = 1 ∞ μ (n) χ (n) ns {\ displaystyle {\ frac {1} {L (\ chi, s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ chi (n)} {n ^ {s}}} }

{\frac {1}{L(\chi,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}

где L (χ, s) - L-функция Дирихле.

Если арифметическая функция f имеет обратную функцию Дирихле $f - 1 (n) {\ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ $f^{-1}(n)$ , т. Е. Если существует обратная функция такая, что свертка Дирихле f с ее обратным значением дает мультипликативное тождество $∑ d | nf (d) е - 1 (N / d) знак равно δ N, 1 {\ displaystyle \ sum _ {d | n} f (d) f ^ {- 1} (n / d) = \ delta _ {n, 1}}$ $\sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}$ , то DGF обратной функции дается обратной величиной F:

∑ n ≥ 1 f - 1 (n) ns = (∑ n ≥ 1 f (n) ns) - 1. {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f ^ {- 1} (n)} {n ^ {s}}} = \ left (\ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}.}

\sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right) ^{-1}.

Другие тождества включают

ζ (s - 1) ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ φ (N) ns {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n) } {n ^ {s}}}}

{\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}

где $φ (n) {\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\varphi (n)$ - функция totient,

ζ (s - к) ζ (s) знак равно ∑ N = 1 ∞ J К (N) ns {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (sk)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}}

{\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}

где J k - функция Джордана, а

ζ (s) ζ (s - a) = ∑ n = 1 ∞ σ a (n) ns ζ (s) ζ (s - a) ζ (s - 2 a) ζ (2 s - 2 a) = ∑ n = 1 ∞ σ a (n 2) ns ζ (s) ζ (s - a) ζ (s - b) ζ (s - a - b) ζ (2 s - a - b) = ∑ n = 1 ∞ σ a (N) σ b (N) ns {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) \ zeta (sa) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} \\ [6pt] {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (s-2a)} {\ zeta (2s -2a)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n ^ {2})} {n ^ {s}}} \\ [6pt] {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} ( n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta (s) \zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}

где σ a (n) - это функция делителя. По специализации на функцию делителей d = σ 0 мы имеем

ζ 2 (s) = ∑ n = 1 ∞ d (n) ns ζ 3 (s) ζ (2 s) = ∑ n = 1 ∞ d (n 2) ns ζ 4 (s) ζ (2 s) = ∑ n = 1 ∞ d (n) 2 ns. {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta ^ {2} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n)} {n ^ {s}}} \\ [6pt] {\ frac {\ zeta ^ {3} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n ^ {2})} {n ^ {s}}} \\ [6pt] {\ frac {\ zeta ^ {4} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}

Логарифм дзета-функции равен

log ⁡ ζ (s) = ∑ n = 2 ∞ Λ (n) журнал ⁡ (n) 1 нс, ℜ (s)>1. {\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n)}} {\ frac {1} {n ^ {s}}}, \ qquad \ Re (s)>1.}

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.

Аналогично, у нас есть, что

- ζ ′ (s) = ∑ n = 2 ∞ log ⁡ (n) ns, ℜ ( s)>1. {\ Displaystyle - \ zeta '(s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ log (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ Re (s)>1.}

-\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.

Здесь Λ (n) - это функция фон Мангольдта. логарифмическая производная тогда равна

ζ ′ (s) ζ (s) = - ∑ n = 1 ∞ Λ (n) n s. {\ displaystyle {\ frac {\ zeta '(s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {n ^ {s}}}.}

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.

Последние три являются частными случаями более общего соотношения для производных ряда Дирихле, приведенного ниже.

Учитывая функцию Лиувилля λ (n), мы имеем

ζ (2 s) ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ λ (n) n s. {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s }}}.}

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.

Еще один пример включает сумму Рамануджана :

σ 1 - s (m) ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ cn (m) ns. {\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {1-s} (m)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n} ( m)} {n ^ {s}}}.}

{\frac {\sigma _{{1-s}}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.

Другая пара примеров включает функцию Мёбиуса и простую омега-функцию :

ζ (s) ζ (2 s) = ∑ n = 1 ∞ | μ (n) | n s ≡ ∑ n знак равно 1 ∞ μ 2 (n) n s. {\ Displaystyle {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} \ Equiv \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu ^ {2} (n)} {n ^ {s}}}.}

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.

ζ 2 ( s) ζ (2 s) = ∑ n = 1 ∞ 2 ω (n) нс. {\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {2} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {\ omega (п)}} {n ^ {s}}}.}

{\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.

У нас есть, что ряд Дирихле для простой дзета-функции, которая является аналогом дзета-функции Римана, суммирован только по индексам n, которые являются простыми, определяется суммой по функции Мебиуса и логарифмам дзета-функции:

P (s): = ∑ p prime p - s = ∑ n ≥ 1 μ (n) n журнал ⁡ ζ (нс). {\ Displaystyle P (s): = \ sum _ {p \ quad {\ text {prime}}} p ^ {- s} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ log \ zeta (ns).}

P(s):=\sum _{p\quad {\text{prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).

Большой табличный каталог с перечнем других примеров сумм, соответствующих известным представлениям ряда Дирихле, здесь.

Примеры DGF ряда Дирихле, соответствующих аддитивные (а не мультипликативные) f даны здесь для простых омега-функций $ω (n) {\ displaystyle \ omega (n)}$ $\omega (n)$ и $Ω (n) {\ displaystyle \ Omega (n)}$ $\Omega (n)$ , которые соответственно подсчитывают количество различных простых множителей n (с кратностью или без). Например, DGF первой из этих функций выражается как произведение дзета-функции Римана и простой дзета-функции для любого комплексного s с $ℜ (s)>1 {\ displaystyle \ Re (s)>1}$ $\Re (s)>1$ :

∑ n ≥ 1 ω (n) ns = ζ (s) ⋅ P (s), ℜ (s)>1. {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ omega (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ cdot P (s), \ Re (s)>1.}

\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.

Если f равно мультипликативная функция такая, что ее DGF F сходится абсолютно для всех $ℜ (s)>σ a, f {\ displaystyle \ Re (s)>\ sigma _ {a, f}}$ $\Re (s)>\ sigma _ {a, f}$ , и если p - любое простое число, мы имеем, что

(1 + f (p) p - s) × ∑ n ≥ 1 f (n) μ (n) ns Знак равно (1 - е (п) п - s) × ∑ N ≥ 1 е (n) μ (n) μ (НОД (p, n)) ns, ∀ ℜ (s)>σ a, f, {\ displaystyle \ left (1 + f (p) p ^ {- s} \ right) \ times \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (n) \ mu (n)} {n ^ {s}} } = \ left (1-f (p) p ^ {- s} \ right) \ times \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (n) \ mu (n) \ mu (\ gcd ( p, n))} {n ^ {s}}}, \ forall \ Re (s)>\ sigma _ {a, f},}

\left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\ sigma _ {a, f},

где $μ (n) {\ displaystyle \ mu (n)}$ $\mu (n)$ - это функция Мебиуса. Другая уникальная тождественность ряда Дирихле генерирует сумматорную функцию некоторой арифметической f, вычисляемой на входах GCD, заданных как

∑ n ≥ 1 (∑ k = 1 nf (gcd (k, n))) 1 ns = ζ (s - 1) ζ (s) × ∑ N ≥ 1 f (n) ns, ∀ ℜ (s)>σ a, f + 1. {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gcd (k, n)) \ right) {\ frac {1} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1) } {\ zeta (s)}} \ times \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}, \ forall \ Re (s)>\ sigma _ { a, f} +1.}

\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\ sigma _ {a, f} +1.

У нас также есть формула между DGF двух арифметических функций f и g, связанных с помощью инверсии Мебиуса. В частности, если $g (n) = (f ∗ 1) (n) {\ displaystyle g (n) = (f \ ast 1) (n)}$ $g(n)=(f\ast 1)(n)$ , то по инверсии Мебиуса получаем, что $е (N) знак равно (g * μ) (n) {\ displaystyle f (n) = (g \ ast \ mu) (n)}$ $f(n)=(g\ast \mu)(n)$ . Следовательно, если F и G - два соотв. эффективных ФРГ для f и g, то мы можем связать эти две ФРГ по формулам:

F (s) = G (s) ζ (s), ℜ (s)>max (σ a, f, σ a, грамм). {\ Displaystyle F (s) = {\ гидроразрыва {G (s)} {\ zeta (s)}}, \ Re (s)>\ max (\ sigma _ {a, f}, \ sigma _ {a, g}).}

F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\ max (\ sigma _ {a, f}, \ sigma _ {a, g}).

Существует известная формула экспоненты ряда Дирихле. Если $F (s) = ехр ⁡ (G (s)) {\ displaystyle F (s) = \ exp (G (s))}$ $F(s)=\exp(G(s))$ - это DGF некоторой арифметической f с $f (1) ≠ 0 {\ displaystyle f (1) \ neq 0}$ $f(1)\neq 0$ , то DGF G выражается суммой

G (s) = log ⁡ (f (1)) + ∑ n ≥ 2 (f ′ ∗ е - 1) (N) журнал ⁡ (N) ⋅ ns, {\ Displaystyle G (s) = \ журнал (f (1)) + \ sum _ {n \ geq 2} {\ frac {(f ^ {\ prime} \ ast f ^ {- 1}) (n)} {\ log (n) \ cdot n ^ {s}}},}

G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},

где $f - 1 (n) {\ displaystyle f ^ {-1} (n)}$ $f^{-1}(n)$ - это обратная величина Дирихле функции f, и где арифметическая производная функции f определяется формулой $f ′ ( п) знак равно журнал ⁡ (N) ⋅ е (п) {\ Displaystyle е ^ {\ простое} (п) = \ log (n) \ cdot f (n)}$ $f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)$ для всех натуральных чисел $n ≥ 2 {\ displaystyle n \ geq 2}$ $n\geq 2$ .

Аналитические свойства

для данной последовательности ${an} n ∈ N {\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ комплексных чисел, мы пытаемся рассмотреть значение

е (s) = ∑ N = 1 ∞ anns {\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} }

f(s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

как функция комплексной переменной s. Чтобы это имело смысл, нам необходимо рассмотреть свойства сходимости указанного выше бесконечного ряда:

Если ${an} n ∈ N {\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ { n \ in \ mathbb {N}}}$ $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ - это ограниченная последовательность комплексных чисел, тогда соответствующий ряд Дирихле f сходится абсолютно на открытой полуплоскости Re (s)>1. В общем, если a n = O (n), ряд абсолютно сходится в полуплоскости Re (s)>k + 1.

Если набор сумм

an + an + 1 + ⋯ + an + k {\ displaystyle a_ {n} + a_ {n + 1} + \ cdots + a_ {n + k}}

a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}

ограничен для n и k ≥ 0, то указанное выше бесконечный ряд сходится на открытой полуплоскости s такая, что Re (s)>0.

В обоих случаях f является аналитической функцией на соответствующей открытой полуплоскости.

В целом $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\sigma$ - это абсцисса сходимости ряда Дирихле, если он сходится за $ℜ (s)>σ {\ displaystyle \ Re (s)>\ sigma}$ $\Re (s)>\ sigma$ и расходится на $ℜ (s) < σ. {\displaystyle \Re (s)<\sigma.}$ $\Re (s)<\sigma.$ Это аналог ряда Дирихле радиуса сходимости для степенной ряд. Случай ряда Дирихле более сложен: абсолютная сходимость и равномерная сходимость могут иметь место в отдельных полуплоскостях.

В во многих случаях аналитическая функция, связанная с рядом Дирихле, имеет аналитическое расширение на большую область.

Абсцисса сходимости

Предположим,

∑ n = 1 ∞ anns 0 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}

сходится для некоторого $s 0 ∈ C, ℜ (s 0)>0. {\ Displaystyle s_ {0} \ i n \ mathbb {C}, \ Re (s_ {0})>0.}$ $s_{0}\in \mathbb {C},\Re (s_{0})>0.$

Предложение 1.

A (N): = ∑ n = 1 N an = o (N s 0). {\ displaystyle A (N): = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = o (N ^ {s_ {0}}).}

A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).

Доказательство. Обратите внимание, что:

(n + 1) s - n s = ∫ n n + 1 s x s - 1 d x = O (n s - 1). {\ displaystyle (n + 1) ^ {s} -n ^ {s} = \ int _ {n} ^ {n + 1} sx ^ {s-1} \, dx = {\ mathcal {O}} ( n ^ {s-1}).}

(n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).

и определим

B (N) = ∑ n = 1 N anns 0 = ℓ + o (1) {\ displaystyle B (N) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}} = \ ell + o (1)}

B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)

где

ℓ = ∑ n = 1 ∞ аннс 0. {\ displaystyle \ ell = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}}.}

\ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.

По суммированию по части имеем

A (N) = ∑ n = 1 N anns 0 ns 0 = B (N) N s 0 + ∑ n = 1 N - 1 B (n) (ns 0 - (n + 1) s 0) = (B (N) - ℓ) N s 0 + ∑ n = 1 N - 1 (B (n) - ℓ) (ns 0 - (n + 1) s 0) = o (N s 0) + ∑ N знак равно 1 N - 1 о (ns 0-1) = о (N s 0) {\ displaystyle {\ begin {align} A (N) = \ sum _ {n = 1} ^ {N } {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}} n ^ {s_ {0}} \\ = B (N) N ^ {s_ {0}} + \ sum _ { n = 1} ^ {N-1} B (n) \ left (n ^ {s_ {0}} - (n + 1) ^ {s_ {0}} \ right) \\ = (B (N) - \ ell) N ^ {s_ {0}} + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} (B (n) - \ ell) \ left (n ^ {s_ {0}} - (n +1) ^ {s_ {0}} \ right) \\ = o (N ^ {s_ {0}}) + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} {\ mathcal {o}} (n ^ {s_ {0} -1}) \\ = o (N ^ {s_ {0}}) \ end {align}}}

{\begin{aligned}A(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\=(B(N)-\ell)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}

Предложение 2. Определите

L = { ∑ N = 1 ∞ an Если сходится 0 иначе {\ displaystyle L = {\ begin {cases} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ text {If convergent}} \\ 0 {\ text {else}} \ end {ases}}}

L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\text{If convergent}}\\0{\text{otherwise}}\end{cases}}

Тогда:

σ = lim sup N → ∞ ln ⁡ | A (N) - L | пер ⁡ N знак равно инф σ {A (N) - L = O (N σ)} {\ Displaystyle \ sigma = \ lim \ sup _ {N \ to \ infty} {\ frac {\ ln | A (N) - L |} {\ ln N}} = \ inf _ {\ sigma} \ left \ {A (N) -L = {\ mathcal {O}} (N ^ {\ sigma}) \ right \}}

\sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}

- абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Доказательство. Из определения

∀ ε>0 A (N) - L = O (N σ + ε) {\ displaystyle \ forall \ varepsilon>0 \ qquad A (N) -L = {\ mathcal {O}} ( N ^ {\ sigma + \ varepsilon})}

\forall \varepsilon>0 \ qquad A (N) -L = {\ mathcal {O}} (N ^ {\ sigma + \ varepsilon})

так что

∑ n = 1 N anns = A (N) N - s + ∑ n = 1 N - 1 A (n) (n - s - (n + 1) - s) = (A (N) - L) N - s + ∑ n = 1 N - 1 (A (n) - L) (n - s - (n + 1) - s) = O (N σ + ε - s) + ∑ n = 1 N - 1 O (n σ + ε - s - 1) {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} = A (N) N ^ {-s} + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) (n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s}) \\ = (A (N) -L) N ^ {- s} + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} (A (n) -L) (n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s }) \\ = {\ mathcal {O}} (N ^ {\ sigma + \ varepsilon -s}) + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} {\ mathcal {O}} (n ^ {\ sigma + \ varepsilon -s-1}) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}

, который сходится как $N → ∞ {\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N\to \infty$ всякий раз, когда $ℜ (s)>σ. {\ displaystyle \ Re (s)>\ sigma.}$ $\Re (s)>\ sigma.$ Следовательно, для каждого $s {\ displaystyle s}$ $s$ такого, что $∑ n = 1 ∞ ann - s {\ displaystyle \ сумма _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ расходится, мы имеем $σ ≥ ℜ (s), {\ displaystyle \ sigma \ geq \ Re (s),}$ $\sigma \geq \Re (s),$ и это завершает доказательство.

Предложение 3. Если

∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится, тогда

f (σ + it) = o (1 σ) {\ displaystyle f (\ sigma + it) = o \ left ({\ tfrac {1} {\ sigma}} \ right)}

f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)

как

σ → 0 + {\ displaystyle \ sigma \ to 0 ^ {+}}

\sigma \to 0^{+}

и где он мероморфен

f (s) {\ displaystyle f (s)}

f(s)

не имеет полюсов на

ℜ (s) = 0. {\ displaystyle \ Re (s) = 0.}

\Re (s)=0.

Доказательство. Обратите внимание, что

n - s - (n + 1) - s = sn - s - 1 + O (n - s - 2) {\ displaystyle n ^ {- s} - (n + 1) ^ { -s} = sn ^ {- s-1} + O (n ^ {- s -2})}

n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})

и $A (N) - f (0) → 0 {\ displaystyle A (N) -f (0) \ to 0}$ $A(N)-f(0)\to 0$ , суммируя по частей для $ℜ (s)>0 {\ displaystyle \ Re (s)>0}$ $\Re (s)>0$

f (s) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N anns = lim N → ∞ A (N) N - s + ∑ n = 1 N - 1 A (n) (n - s - (n + 1) - s) = s ∑ n = 1 ∞ A (n) n - s - 1 + O (∑ n = 1 ∞ A (п) N - s - 2) ⏟ знак равно О (1) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} f (s) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} \\ = \ lim _ {N \ to \ infty} A (N) N ^ {- s} + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) (n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s}) \\ = s \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A (n) n ^ {- s-1} + \ underbrace {{\ mathcal {O}} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A (n) n ^ {- s-2 } \ right)} _ {= {\ mathcal {O}} (1)} \ end {align}}}

{\begin{aligned}f(s)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}

Теперь найдите N такое, что для n>N $| A (n) - f (0) | < ε {\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$ $|A(n)-f(0)|<\varepsilon$

s ∑ n = 1 ∞ A (n) n - s - 1 = sf (0) ζ (s + 1) + s ∑ n = 1 N (A (n) - f (0)) n - s - 1 ⏟ = O (1) + s ∑ n = N + 1 ∞ (A (n) - f (0)) n - s - 1 ⏟ < ε | s | ∫ N ∞ x − ℜ ( s) − 1 d x {\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}

s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}

и, следовательно, для любого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $C {\ displaystyle C}$ $C$ такой, что для $σ>0 {\ displaystyle \ sigma>0}$ $\sigma>0$ :

| f (σ + i t) | < C + ε | σ + i t | 1 σ. {\displaystyle |f(\sigma +it)|

|f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.

Формальный ряд Дирихле

Формальный ряд Дирихле над кольцом R связан с функцией a от натуральных чисел до R

D (a, s) = ∑ n = 1 ∞ a (n) n - s {\ displaystyle D (a, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a (n) n ^ {- s} \}

D(a,s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }a(n)n^{{-s}}\

со сложением и умножением, определяемым

D (a, s) + D (b, s) знак равно ∑ N = 1 ∞ (a + b) (n) n - s {\ displaystyle D (a, s) + D (b, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a + b) (n) n ^ {- s} \}

D(a,s)+D(b,s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }(a+b)(n)n^{{-s}}\

D (a, s) ⋅ D (b, s) = ∑ n = 1 ∞ ( a * b) (n) n - s {\ displaystyle D (a, s) \ cdot D (b, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a * b) (n) n ^ {- s} \}

D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }(a*b)(n)n^{{-s}}\

где

(a + b) (n) = a (n) + b (n) {\ displaystyle (a + b) (n) = a (n) + b (n) \}

(a+b)(n)=a(n)+b(n)\

- это точечная сумма, а

(a ∗ b) (n) = ∑ k ∣ na (k) b (n / k) {\ displaystyle (a * b) (n) = \ sum _ {k \ mid n} a (k) b (n / k) \}

(a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\

- это свертка Дирихле для a и b.

Формальный ряд Дирихле образует кольцо Ω, в действительности R-алгебру, с нулевой функцией в качестве аддитивного нулевого элемента и функцией δ, определяемой как δ (1) = 1, δ (n) = 0 для n>1 как мультипликативное тождество. Элемент этого кольца обратим, если a (1) обратим в R. Если R коммутативно, то и Ω; если R является областью целостности, то и Ω. Ненулевые мультипликативные функции образуют подгруппу группы единиц Ω.

Кольцо формальных рядов Дирихле над C изоморфно кольцу формальных степенных рядов от счетного числа переменных.

Производные

Дано

F (s) = ∑ N = 1 ∞ f (n) ns {\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ { s}}}}

F(s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

можно показать, что

F ′ (s) = - ∑ n = 1 ∞ f (n) log ⁡ (n) ns {\ displaystyle F '(s) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n) \ log (n)} {n ^ {s}}}}

F'(s)=-\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}

при условии, что правая часть сходится. Для полностью мультипликативной функции ƒ (n) и предполагая, что ряд сходится для Re (s)>σ 0, тогда имеем

F ′ (s) F ( s) знак равно - ∑ N знак равно 1 ∞ е (N) Λ (n) ns {\ Displaystyle {\ frac {F ^ {\ prime} (s)} {F (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n) \ Lambda (n)} {n ^ {s}}}}

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}

сходится для Re (s)>σ 0. Здесь Λ (n) - функция фон Мангольдта..

Произведения

Предположим,

F (s) = ∑ n = 1 ∞ f (n) n - s {\ displaystyle F ( s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {- s}}

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}

G (s) = ∑ n = 1 ∞ g (n) n - с. {\ displaystyle G (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g (n) n ^ {- s}.}

G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.

Если и F (s), и G (s) равны абсолютно сходится для s>a и s>b, то имеем

1 2 T ∫ - TTF (a + it) G (b - it) dt = ∑ n = 1 ∞ f (n) g ( n) n - a - b при T ∼ ∞. {\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} \, F (a + it) G (b-it) \, dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) g (n) n ^ {- ab} {\ text {as}} T \ sim \ infty.}

{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty.

Если a = b и ƒ (n) = g (n) имеем

1 2 T ∫ - TT | F (a + i t) | 2 d t = ∑ n = 1 ∞ [f (n)] 2 n - 2 a при T ∼ ∞. {\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} | F (a + it) | ^ {2} \, dt = \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} [f (n)] ^ {2} n ^ {- 2a} {\ text {as}} T \ sim \ infty.}

{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty.

Обращение коэффициента (интегральная формула)

Для всех целые положительные числа $x ≥ 1 {\ displaystyle x \ geq 1}$ $x \geq 1$ , функция f при x, $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f(x)$ , может быть восстановлен из DGF F функции f (или ряда Дирихле по f) с использованием следующей интегральной формулы всякий раз, когда $σ>σ a, f {\ displaystyle \ sigma>\ sigma _ {a, f}}$ $\sigma>\ sigma _ {a, f}$ , абсцисса абсолютной сходимости DGF F

f (x) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ - TT x σ + ı t F (σ + ı t) dt. {\ displaystyle f (x) = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x ^ {\ sigma + \ imath t } F (\ sigma + \ imath t) dt.}

f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}F(\sigma +\imath t)dt.

Также можно инвертировать преобразование Меллина сумматорной забавы Функция f, которая определяет DGF F функции f для получения коэффициентов ряда Дирихле (см. раздел ниже). В этом случае мы приходим к сложной формуле контурного интеграла, связанной с. Фактически, скорость сходимости приведенной выше формулы в зависимости от T является переменной, и если ряд Дирихле F чувствителен к смене знака как медленно сходящийся ряд, может потребоваться очень большое T для аппроксимации коэффициентов F с использованием этого формула без формального ограничения.

Интегральные и последовательные преобразования

Обратное преобразование Меллина ряда Дирихле, деленное на s, дается формулой Перрона. Кроме того, если $F (z): = ∑ n ≥ 0 fnzn {\ displaystyle F (z): = \ sum _ {n \ geq 0} f_ {n} z ^ {n}}$ $F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}$ - (формальная) обычная производящая функция последовательности ${fn} n ≥ 0 {\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\{f_{n}\}_{n\geq 0}$ , тогда интегральное представление для ряда Дирихле последовательности производящей функции, ${fnzn} n ≥ 0 {\ displaystyle \ {f_ {n} z ^ {n} \} _ {n \ geq 0} }$ $\{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}$ , дается как

∑ n ≥ 0 fnzn (n + 1) s = (- 1) s - 1 (s - 1)! ∫ 0 1 журнал s - 1 ⁡ (t) F (tz) dt, s ≥ 1. {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {f_ {n} z ^ {n}} {(n +1) ^ {s}}} = {\ frac {(-1) ^ {s-1}} {(s-1)!}} \ Int _ {0} ^ {1} \ log ^ {s- 1} (t) F (tz) dt, \ s \ geq 1.}

\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt,\ s\geq 1.

Другой класс связанных производных и последовательных преобразований производящей функции для обычной производящей функции последовательности, которая эффективно производит левостороннее разложение в предыдущем уравнении соответственно определено в.

Связь со степенным рядом

Последовательность a n, сгенерированная производящей функцией ряда Дирихле, соответствующей на:

ζ (s) m = ∑ N = 1 ∞ anns {\ displaystyle \ zeta (s) ^ {m} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n) }} {n ^ {s}}}}

\zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

где ζ (s) - дзета-функция Римана, имеет обычную производящую функцию:

∑ n = 1 ∞ тревожно = x + ( m 1) ∑ a = 2 ∞ xa + (m 2) ∑ a = 2 ∞ ∑ b = 2 ∞ xab + (m 3) ∑ a = 2 ∞ ∑ b = 2 ∞ ∑ c = 2 ∞ xabc + (m 4) ∑ a = 2 ∞ ∑ b = 2 ∞ ∑ c = 2 ∞ ∑ d = 2 ∞ xabcd + ⋯ {\ displaysty le \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = x + {m \ choose 1} \ sum _ {a = 2} ^ {\ infty} x ^ {a} + {m \ choose 2} \ sum _ {a = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {b = 2} ^ {\ infty} x ^ {ab} + {m \ choose 3} \ sum _ {a = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {b = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {c = 2} ^ {\ infty} x ^ {abc} + {m \ choose 4} \ sum _ {a = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {b = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {c = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {d = 2} ^ {\ infty} x ^ { abcd} + \ cdots}

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots

Связь с суммирующей функцией арифметической функции через преобразования Меллина

Если f является арифметической функцией с соответствующим DGF F, и сумматорной функцией f определяется как

S f (x): = {∑ n ≤ xf (n), x ≥ 1; 0, 0 < x < 1, {\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),x\geq 1;\\0,0

S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),x\geq 1;\\0,0<x<1,\end{cases}}

, тогда мы можем выразить F с помощью преобразования Меллина сумматорной функции в $- s {\ displaystyle -s}$ $-s$ . А именно, имеем

F (s) = s ⋅ ∫ 1 ∞ S f (x) x s + 1 d x, ℜ (s)>σ a, f. {\ Displaystyle F (s) = s \ cdot \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {S_ {f} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx, \ Re (s)>\ sigma _ {a, f}.}

F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\ sigma _ {a, f}.

Для $σ: = ℜ (s)>0 {\ displaystyle \ sigma: = \ Re (s)>0}$ $\sigma :=\Re (s)>0$ и любые натуральные числа $N ≥ 1 {\ displaystyle N \ geq 1}$ $N\geq 1$ , у нас также есть приближение к DGF F функции f, задаваемое формулой

F (s) = ∑ n ≤ N f (n) n - s - S f (N) N s + s ⋅ ∫ N ∞ S f (y) ys + 1 dy. {\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n \ leq N} f (n) n ^ {- s} - {\ frac {S_ {f} (N)} {N ^ {s}}} + s \ cdot \ int _ {N} ^ {\ infty} {\ frac {S_ {f} (y)} {y ^ {s + 1}}} dy.}

F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.

См. также

References

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Hardy, GH ; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet's series. Кембриджские трактаты по математике. 18. Cambridge University Press.
The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "A catalogue of interesting Dirichlet series". Miss. J. Math. Sci. 20(1). Archived from the original on 2011-10-02.<-link dead
Mathar, Richard J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv :1106.4038 [math.NT ].
Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Кембриджские исследования в области высшей математики. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.
"Dirichlet series". PlanetMath.