Тета-функции Якоби (варианты обозначений)

Существует ряд систем обозначений для тета-функций Якоби. Обозначения, приведенные в статье Википедии, определяют исходную функцию

$\vartheta \; 00\; (z;\; \tau )\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; exp\; \; (\pi \; in\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; inz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{00\}\; (\; z;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pi\; in\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; inz)\}$

, что эквивалентно

$\vartheta \; 00\; (z,\; q)\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; qn\; 2\; ехр\; \; (2\; \pi \; inz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{00\}\; (z,\; q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; exp\; (2\; \backslash \; pi\; inz)\}$

Однако аналогичные обозначения определены несколько иначе в Whittaker and Watson, p. 487:

$\vartheta \; 0,\; 0\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; QN\; 2\; ехр\; \; (2\; \pi \; дюйм\; х\; /\; а)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{0,0\}\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; exp\; (2\; \backslash \; pi\; inx\; /\; a)\}$

Это обозначение принадлежит «Эрмиту, Г. Дж. С. Смиту и некоторым другим математикам». Они также определяют

$\vartheta \; 1,\; 1\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nq\; (n\; +\; 1/2)\; 2\; exp\; \; (\pi \; i\; (2\; n\; +\; 1)\; x\; /\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{1,1\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{(n\; +\; 1/2)\; ^\; \{2\}\; \}\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pi\; i\; (2n\; +\; 1)\; x\; /\; a)\}$

Это множитель i вне определения $\vartheta \; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{11\}\}$как определено в статье Википедии. Эти определения можно сделать, по крайней мере, пропорциональными x = za, но другие определения не могут. Уиттакер и Ватсон, Абрамовиц и Стегун, Градштейн и Рыжик все следуют за Таннери и Молком, в которых

$\vartheta \; 1\; (z)\; =\; -\; i\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nq\; (n\; +\; 1/2)\; 2\; ехр\; \; ((2\; n\; +\; 1)\; iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{1\}\; (z)\; =\; -\; я\; \backslash \; сумма\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{(n\; +\; 1/2)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; exp\; ((2n\; +\; 1)\; iz)\}$

$\vartheta \; 2\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; q\; (n\; +\; 1/2)\; 2\; ехр.\; \; ((2\; n\; +\; 1)\; iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{2\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{(n\; +\; 1/2)\; ^\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; ехр\; ((2n\; +\; 1)\; iz)\}$

$\vartheta \; 3\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; qn\; 2\; ехр\; \; (2\; niz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{3\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; exp\; (2niz)\}$

$\vartheta \; 4\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nqn\; 2\; ехр\; \; (2\; niz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{4\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\; \}\}\; \backslash \; exp\; (2niz)\}$

Обратите внимание, что в аргументе нет множителя π, как в предыдущих определениях.

Уиттакер и Ватсон ссылаются на еще одно определение $\vartheta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{j\}\}$. Предупреждение Абрамовица и Стегуна: «Существует поразительное разнообразие обозначений... в консультационных книгах следует проявлять осторожность», можно рассматривать как преуменьшение. В любом выражении не следует предполагать, что вхождение $\vartheta \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z)\}$имеет какое-либо конкретное определение. Автор обязан указать, какое определение имеется у $\vartheta \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z)\}$.

• Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16.27ff.". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич (1980). «8.18.». В Джеффри, Алан (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Переведено Scripta Technica, Inc. (4-е исправленное и дополненное изд.). Academic Press, Inc. ISBN 0-12-294760-6. LCCN 79027143.
• E. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, Курс современного анализа, четвертое издание, Cambridge University Press, 1927. (Историю θ-функций Якоби см. В главе XXI)