Тета-представление

В математике тета-представление является частным представлением группы Гейзенберга квантовой механики. Он получил свое название от того факта, что тэта-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Это представление популяризировал Дэвид Мамфорд.

• 1 Конструкция
  • 1.1 Генераторы групп
  • 1.2 Гильбертово пространство
• 2 Изоморфизм
• 3 Дискретная подгруппа
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Тета-представление - это представление непрерывной группы Гейзенберга $H\; 3\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$над полем действительных чисел. В этом представлении элементы группы действуют в конкретном гильбертовом пространстве. Приведенная ниже конструкция начинается сначала с определения операторов, которые соответствуют генераторам группы Гейзенберга. Затем определяется гильбертово пространство, на котором эти полигоны, а затем демонстрируется изоморфизм обычным представлениям.

Генераторы групп

Пусть f (z) будет голоморфной функцией, пусть a и b будут действительными числами, и пусть $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$должно быть фиксированным, но произвольным комплексным числом в верхней полуплоскости ; то есть так, чтобы мнимая часть $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$была положительной. Определим операторы S a и T b так, чтобы они действовали на голоморфные функции как

$(S\; af)\; (z)\; =\; f\; (z\; +\; a)\; =\; exp\; \; (a\; \partial \; Z)\; е\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\_\; \{a\}\; f)\; (z)\; =\; f\; (z\; +\; a)\; =\; \backslash \; exp\; (a\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\})\; f\; (z)\}$

и

$(T\; bf)\; (z)\; =\; exp\; \; (i\; \pi \; b\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; ibz)\; f\; (z\; +\; b\; \tau )\; =\; exp\; \; (i\; \pi \; b\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; ibz\; +\; b\; \tau \; \partial \; z)\; f\; (\; z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (T\_\; \{b\}\; е)\; (г)\; =\; \backslash \; ехр\; (я\; \backslash \; пи\; Ь\; ^\; \{2\}\; \backslash \; тау\; +2\; \backslash \; пи\; ibz)\; е\; (г\; +\; б\; \backslash \; тау)\; =\; \backslash \; ехр\; (я\; \backslash \; пи\; Ь\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; ibz\; +\; b\; \backslash \; tau\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\})\; f\; (z).\}$

Видно, что каждый оператор генерирует однопараметрическую подгруппу:

$S\; a\; 1\; (S\; a\; 2\; е)\; знак\; равно\; (S\; a\; 1\; \circ \; S\; a\; 2)\; е\; знак\; равно\; S\; a\; 1\; +\; a\; 2\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{a\_\; \{1\}\}\; \backslash \; влево\; (S\_\; \{a\_\; \{2\}\}\; f\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (S\_\; \{a\_\; \{1\}\}\; \backslash \; circ\; S\_\; \{a\_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; f\; =\; S\_\; \{a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\}\; f\}$

и

$T\; b\; 1\; (T\; б\; 2\; е)\; знак\; равно\; (т\; б\; 1\; \circ \; т\; б\; 2)\; е\; =\; т\; б\; 1\; +\; б\; 2\; е.\; \{\backslash \; Displaystyle\; T\_\; \{b\_\; \{1\}\}\; \backslash \; left\; (T\_\; \{b\_\; \{2\}\}\; f\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (T\_\; \{b\_\; \{1\}\}\; \backslash \; circ\; T\_\; \{b\_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; f\; =\; T\_\; \{b\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\}\}\; f.\}$

Однако S и T не коммутируют:

$S\; a\; \circ \; T\; b\; =\; exp\; \; (2\; \pi \; iab)\; T\; b\; \circ \; S\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{a\}\; \backslash \; circ\; T\_\; \{b\}\; =\; \backslash \; exp\; (2\; \backslash \; pi\; iab)\; T\_\; \{b\}\; \backslash \; circ\; S\_\; \{a\}.\}$

Таким образом, мы видим, что S и T вместе с унитарная фаза образует нильпотентную группу Ли, (непрерывную действительную) группу Гейзенберга, параметризуемую как $H\; =\; U\; (1)\; \times \; R\; \times \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; U\; (1)\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, где U (1) - унитарная группа.

Общая группа элемент $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \in \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\; \backslash \; in\; H\}$затем действует на голоморфную функцию f (z) как

$U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; f\; (z)\; =\; \lambda \; (S\; a\; \circ \; T\; bf)\; (z)\; =\; \lambda \; exp\; \; (i\; \pi \; b\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; ibz)\; f\; (z\; +\; a\; +\; б\; \tau )\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; тау\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\; f\; (z)\; =\; \backslash \; lambda\; (S\_\; \{a\}\; \backslash \; circ\; T\_\; \{b\}\; f)\; (z)\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; exp\; (я\; \backslash \; pi\; b\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; ibz)\; f\; (z\; +\; a\; +\; b\; \backslash \; tau)\}$

где $\lambda \; \in \; U\; (1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; U\; (1).\}$$U\; (1)\; =\; Z\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (1)\; =\; Z\; (H)\}$- центр из H, подгруппа коммутатора $[H,\; H]\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; H]\}$. Параметр $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$на $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\}$служит только для напоминания о том, что каждое различное значение $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$дает начало другому представлению действия группы.

Гильбертово пространство

Действие элементов группы $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\}$унитарен и неприводим на некотором гильбертовом пространстве функций. Для фиксированного значения τ определите норму на целых функциях комплексной плоскости как

$\Vert \; f\; \Vert \; \tau \; 2\; =\; \int \; C\; exp\; \; (-\; 2\; \pi \; y\; 2\; \Im \; \tau )\; |\; f\; (x\; +\; i\; y)\; |\; 2\; д\; х\; д\; у.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; f\; \backslash \; Vert\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-2\; \backslash \; pi\; y\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Im\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; |\; f\; (x\; +\; iy)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; dx\; \backslash \; dy.\}$

Здесь $\Im \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Im\; \backslash \; tau\}$равно мнимая часть $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, а область интегрирования - это вся комплексная плоскость. Пусть $H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$будет набором целых функций f с конечной нормой. Нижний индекс $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$используется только для обозначения того, что пространство зависит от выбора параметра $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$. Это $H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$образует гильбертово пространство. Действие $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\}$, приведенное выше, унитарно на $H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$, то есть $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; б)\}$сохраняет норму на этом пространстве. Наконец, действие $U\; \tau \; (\lambda ,\; a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; lambda,\; a,\; b)\}$на $H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$неприводимо.

Эта норма тесно связана с той, которая используется для определения пространства Сегала – Баргмана.

Указанное тета-представление группы Гейзенберга изоморфно каноническому представлению Вейля группы Гейзенберга. В частности, это означает, что $H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$и $L\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$ изоморфны как H-модули. Пусть

$M\; (a,\; b,\; c)\; =\; [1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; c)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

обозначает общий групповой элемент $H\; 3\; (R).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}).\}$В каноническом представлении Вейля для каждого действительного числа h существует представление $\rho \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\; h\}\}$действует на $L\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$как

$\rho \; h\; (M\; (\; a,\; b,\; c))\; \psi \; (Икс)\; знак\; равно\; ехр\; \; (ibx\; +\; ihc)\; \psi \; (x\; +\; ha)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{h\}\; (M\; (a,\; b,\; c))\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; exp\; (ibx\; +\; ihc)\; \backslash \; psi\; (x\; +\; ha)\}$

для $x\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $\psi \; \in \; L\; 2\; (R).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}).\}$

Здесь h постоянная Планка. Каждое такое представление унитарно неэквивалентно. Соответствующее тета-представление:

$M\; (a,\; 0,\; 0)\; \to \; S\; ah\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; 0,0)\; \backslash \; to\; S\_\; \{ah\}\}$

$M\; (0,\; b,\; 0)\; \to \; T\; b\; /\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (0,\; b,\; 0)\; \backslash \; to\; T\_\; \{b\; /\; 2\; \backslash \; pi\}\}$

$M\; (0,\; 0,\; c)\; \to \; eihc\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (0,0,\; c)\; \backslash \; to\; e\; ^\; \{ihc\}\}$

Определите подгруппу $\Gamma \; \tau \; \subset \; H\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; subset\; H\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$как

$\Gamma \; \tau \; =\; \{U\; \tau \; (1,\; a,\; b)\; \in \; H\; \tau :\; a,\; b\; \in \; Z\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (1,\; a,\; b)\; \backslash \; in\; H\; \_\; \{\backslash \; tau\}:\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \}.\}$

Тета-функция Якоби определяется как

$\vartheta \; (z;\; \tau )\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; exp\; \; (\pi \; в\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; inz).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pi\; in\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; inz).\}$

Это целая функция от z, инвариантная относительно $\Gamma \; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}.\}$Это следует из свойств тета-функции:

$\vartheta \; (z\; +\; 1;\; \tau )\; =\; \vartheta \; (z;\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z\; +\; 1;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; vartheta\; (z;\; \backslash \; tau)\}$

и

$\vartheta \; (z\; +\; a\; +\; b\; \tau ;\; \tau )\; =\; exp\; \; (-\; \pi \; ib\; 2\; \tau \; -\; 2\; \pi \; ibz)\; \vartheta \; (z;\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z\; +\; a\; +\; b\; \backslash \; tau;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; pi\; ib\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; -2\; \backslash \; pi\; ibz)\; \backslash \; vartheta\; (z;\; \backslash \; tau)\}$

когда a и b - целые числа. Можно показать, что тета Якоби - единственная такая функция.

• пространство Сегала – Баргмана
• пространство Харди

• Дэвид Мамфорд, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhäuser, Boston ISBN 3-7643-3109-7