Пространство Сигала – Баргмана

Гильбертово пространство интегрируемых с квадратом голоморфных функций от n комплексных переменных

В математике, пространство Сигала – Баргманна (для Ирвинга Сигала и Валентина Баргманна ), также известное как пространство Баргмана или Пространство Баргмана – Фока, это пространство голоморфных функций F от n комплексных переменных, удовлетворяющих условию интегрируемости с квадратом:

где dz обозначает 2n-мерную меру Лебега на $C\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}.\}$Это гильбертово пространство по отношению к соответствующему внутреннему продукту:

$⟨F\; \mid \; G⟩\; =\; \pi \; -\; n\; \int \; C\; n\; F\; (z)\; ¯\; G\; (z)\; ехр\; \; (-\; |\; z\; |\; 2)\; dz.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; F\; \backslash \; mid\; G\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{F\; (z)\}\}\; G\; (z)\; \backslash \; exp\; (\; -\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dz.\}$

Пространство было введено в литературу по математической физике отдельно Баргманном и Сигалом в начале 1960-х; см. Баргманн (1961) и Сигал (1963). Основную информацию о материалах этого раздела можно найти в Folland (1989) и Hall (2000). Сигал с самого начала работал с бесконечномерным сеттингом; см. Баэз, Сегал и Чжоу (1992) и раздел 10 Холла (2000) для получения дополнительной информации по этому аспекту предмета.

• 1 Свойства
• 2 Квантовая механическая интерпретация
• 3 Канонические коммутационные соотношения
• 4 Преобразование Сегала – Баргмана
• 5 Обобщения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 источников

Основным свойством этого пространства является то, что точечная оценка является непрерывной, что означает, что для каждого $a\; \in \; C\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\},\}$существует константа C такая, что

Тогда из теоремы о представлении Рисса следует, что существует единственный F a в пространстве Сигала – Баргмана такой, что

$F\; (a)\; =\; ⟨F\; a\; \mid \; F⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (a)\; =\; \backslash \; langle\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; mid\; F\; \backslash \; rangle.\}$

Функция F a может быть вычислена явно как

$F\; a\; (z)\; =\; exp\; \; (a\; ¯\; \cdot \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{a\}\; (z)\; =\; \backslash \; exp\; (\{\backslash \; overline\; \{a\}\}\; \backslash \; cdot\; z)\}$

где явно

$a\; ¯\; \cdot \; z\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; naj\; ¯\; zj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{a\}\}\; \backslash \; cdot\; z\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{j\}\}\}\; z\_\; \{j\}.\}$

Функция F a называется когерентным состоянием (применяется в математической физике ) с параметром a, а функция

$\kappa \; (a,\; z)\; :\; =\; F\; a\; (z)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (a,\; z):\; =\; \{\backslash \; overline\; \{F\_\; \{a\}\; (z)\}\}\}$

известен как воспроизводящее ядро ​​ для пространства Сигала – Баргмана. Обратите внимание, что

$F\; (a)\; =\; ⟨F\; a\; \mid \; F⟩\; =\; \pi \; -\; n\; \int \; C\; n\; \kappa \; (a,\; z)\; F\; (z)\; exp\; \; (-\; |\; z\; |\; 2)\; dz,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (a)\; =\; \backslash \; langle\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; mid\; F\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; kappa\; (a,\; z)\; F\; (z)\; \backslash \; exp\; (-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dz,\}$

означает, что интеграция с воспроизводящим ядром просто возвращает (т.е. воспроизводит) функцию F, при условии, конечно, что F является элементом пространства (и в частное голоморфно).

Обратите внимание, что

$\Vert \; F\; a\; \Vert \; 2\; =\; ⟨F\; a\; \mid \; F\; a⟩\; =\; F\; a\; (a)\; =\; exp\; \; (|\; a\; |\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; langle\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; mid\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; rangle\; =\; F\_\; \{a\}\; (a)\; =\; \backslash \; exp\; (|\; a\; |\; ^\; \{2\}).\}$

Из неравенства Коши – Шварца следует, что элементы пространства Сигала – Баргмана удовлетворяют поточечным границам

$|\; F\; (a)\; |\; \le \; \Vert \; F\; a\; \Vert \; \Vert \; F\; \Vert \; =\; ехр\; \; (|\; a\; |\; 2/2)\; \Vert \; F\; \Vert .\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; F\; (a)\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; F\_\; \{a\}\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; F\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; exp\; (|\; a\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \backslash \; |\; F\; \backslash \; |.\}$

Единичный вектор в пространстве Сигала – Баргмана можно интерпретировать как волновую функцию для квантовой частицы, движущейся в $R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$В этом представлении $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$воспроизводит роль классического фазового пространства, тогда как $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$- конфигурационное пространство. Ограничение голоморфности F существенно для этой интерпретации; если бы F была произвольной интегрируемой с квадратом функцией, ее можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства, что противоречило бы принципу неопределенности. Поскольку, однако, требуется, чтобы F была голоморфной, она удовлетворяет поточечным ограничениям, описанным выше, что обеспечивает предел того, насколько концентрированным F может быть в любой области фазового пространства.

Для единичного вектора F в пространстве Сигала – Баргмана величина

$\pi \; -\; n\; |\; F\; (z)\; |\; 2\; ехр\; \; (-\; |\; z\; |\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\}\; |\; F\; (z)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; exp\; (-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\}$

может интерпретироваться как своего рода плотность вероятности фазового пространства для частицы. Поскольку указанная выше величина явно неотрицательна, она не может совпадать с функцией Вигнера частицы, которая обычно имеет некоторые отрицательные значения. Фактически, указанная выше плотность совпадает с функцией Хусими частицы, которая получается из функции Вигнера путем смазывания гауссианом. Эта связь будет уточнена ниже, после того как мы введем преобразование Сигала – Баргмана.

Можно ввести операторы аннигиляции $aj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\}$и создание операторы $aj\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\}$в пространстве Сигала – Баргмана, задав

$aj\; =\; \partial \; /\; \partial \; zj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\; \}\; =\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; z\_\; \{j\}\}$

и

$aj\; \ast \; =\; zj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\; =\; z\_\; \{j\}\}$

Эти операторы удовлетворяют тем же отношениям, что и обычные операторы создания и уничтожения, а именно, $aj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\}$и $aj\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\}$коммутируют между собой и

$[aj,\; ak\; \ast ]\; =\; \delta \; j,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [a\_\; \{j\},\; a\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j,\; k\; \}\}$

Кроме того, сопряженное к $aj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\}$по отношению к скалярному произведению Сигала – Баргманна является $aj\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}.\}$(Это предполагается по обозначениям, но совсем не очевидно из формул для $aj\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\}$и $aj\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\}$!) Действительно, Баргманну пришлось ввести конкретную форму скалярного произведения в пространстве Сегала – Баргмана. именно так, чтобы операторы создания и уничтожения были сопряжены друг с другом.

Теперь мы можем построить самосопряженные операторы «позиции» и «импульса» A j и B j по формулам:

$A\; j\; =\; (aj\; +\; aj\; \ast )\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{j\}\; =\; (a\_\; \{j\}\; +\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\})\; /\; 2\}$

$B\; j\; =\; (aj\; -\; aj\; \ast )\; /\; (2\; i)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; B\_\; \{j\}\; =\; (a\_\; \{j\}\; -a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\})\; /\; (2i)\}$

Эти операторы удовлетворяют обычным каноническим коммутационным отношениям. Можно показать, что A j и B j удовлетворяют экспоненциальным коммутационным соотношениям (т. Е. соотношениям Вейля ) и что они действуют несократимо на соотношение Сегала – Баргмана. Космос; см. раздел 14.4 книги Hall (2013).

Поскольку операторы A j и B j из предыдущего раздела удовлетворяют соотношения Вейля и действуют неприводимо в пространстве Сигала – Баргмана, применяется теорема Стоуна – фон Неймана. Таким образом, существует унитарное отображение B из положения гильбертова пространства $L\; 2\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$в Пространство Сигала – Баргмана, которое сплетает эти операторы с обычными операторами положения и импульса.

Карта B может быть вычислена явно как модифицированное двойное преобразование Вейерштрасса,

$(B\; f)\; (z)\; =\; \int \; R\; n\; exp\; \; [-\; (z\; \cdot \; z\; -\; 2\; 2\; z\; \cdot \; x\; +\; Икс\; \cdot \; Икс)\; /\; 2]\; е\; (Икс)\; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Bf)\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; exp\; [-\; (z\; \backslash \; cdot\; z-2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; z\; \backslash \; cdot\; x\; +\; x\; \backslash \; cdot\; x)\; /\; 2]\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

где dx - n-мерная мера Лебега на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и где z находится в $C\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}.\}$См. Bargmann (1961) и раздел 14.4 Hall (2013). Можно также описать (Bf) (z) как внутреннее произведение f с соответствующим образом нормализованным когерентным состоянием с параметром z, где теперь мы выражаем когерентные состояния в позиционном представлении, а не в Segal –Пространство Баргмана.

Теперь мы можем быть более точными в отношении связи между пространством Сигала – Баргмана и функцией Хусими частицы. Если f - единичный вектор в $L\; 2\; (R\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}),\}$, тогда мы можем сформировать вероятность плотность на $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$as

$\pi \; -\; n\; |\; (B\; f)\; (z)\; |\; 2\; ехр\; \; (-\; |\; z\; |\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\}\; |\; (Bf)\; (z)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; exp\; (-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\; ~.\}$

Тогда утверждается, что указанная выше плотность является Функция Хусими функции f, которая может быть получена из функции Вигнера функции f путем свертки с двойным гауссовым преобразованием (преобразование Вейерштрасса ). Этот факт легко проверить, используя формулу для Bf вместе со стандартной формулой для функции Хусими в терминах когерентных состояний.

Поскольку B унитарен, его эрмитово сопряженное соединение является обратным. Вспоминая, что мера на $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$равна $e\; -\; |\; z\; |\; 2\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dz\}$, таким образом, мы получаем одну формулу обращения для B как

$f\; (x)\; =\; \int \; C\; n\; exp\; \; [-\; (z\; ¯\; \cdot \; z\; ¯\; -\; 2\; 2\; z\; ¯\; \cdot \; x\; +\; x\; \cdot \; x)\; /\; 2]\; (B\; f)\; (z)\; e\; -\; |\; z\; |\; 2\; д\; з.\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; exp\; [-\; (\{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2)\; \}\}\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash \; cdot\; x\; +\; x\; \backslash \; cdot\; x)\; /\; 2]\; (Bf)\; (z)\; e\; ^\; \{-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dz.\}$

Поскольку, однако, Bf - голоморфная функция, может быть много интегралов, включающих Bf, которые дают одно и то же значение. (Подумайте об интегральной формуле Коши.) Таким образом, может быть много различных формул обращения для преобразования Сигала – Баргмана B.

Еще одна полезная формула обращения:

$f\; (x)\; =\; C\; exp\; \; (-\; |\; Икс\; |\; 2/2)\; \int \; р\; N\; (В\; е)\; (х\; +\; iy)\; ехр\; \; (-\; |\; у\; |\; 2/2)\; dy,\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; С\; \backslash \; ехр\; (-\; |\; х\; |\; ^\; \{\; 2\}\; /\; 2)\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; (Bf)\; (x\; +\; iy)\; \backslash \; exp\; (-\; |\; y\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \backslash ,\; dy,\}$

где

$С\; =\; \pi \; -\; n\; /\; 4\; (2\; \pi )\; -\; n\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\; /\; 4\}\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\}.\}$

Эту формулу обращения можно понимать как говорящую о том, что можно получить "волновую функцию" f положения из "волновой функции" Bf фазового пространства путем интегрирования импульсных переменных. Это должно быть противопоставлено функции Вигнера, где плотность вероятности положения получается из (квази) плотности вероятности фазового пространства путем интегрирования импульсных переменных.

Существуют различные обобщения пространства Сигала – Баргмана и преобразования. В одном из них роль конфигурационного пространства $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$играет групповое многообразие компактной группы Ли, такой как SU (N). Роль фазового пространства $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$затем играет комплексификация компактной группы Ли, например $SL\; \; (\; N,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SL\}\; (N,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$в случае SU (N). Различные гауссианы, появляющиеся в обычном пространстве Сигала – Баргмана и преобразовании, заменяются тепловыми ядрами. Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана можно применить, например, к вращательным степеням свободы твердого тела, где конфигурационное пространство представляет собой компактные группы Ли SO (3).

Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана дает начало системе когерентных состояний, известных как когерентные состояния теплового ядра. Они широко использовались в литературе по петлевой квантовой гравитации.

• Тета-представление
• пространство Харди