Кривая Ферма

В математике кривая Ферма является алгебраической кривой в комплексная проективная плоскость, заданная в однородных координатах (X: Y: Z) с помощью уравнения Ферма

$X\; n\; +\; Y\; n\; =\; Z\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\; +\; Y\; ^\; \{n\}\; =\; Z\; ^\; \{n\}.\; \backslash \}$

Следовательно, в терминах аффинной плоскости ее уравнение имеет вид

$xn\; +\; yn\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; +\; y\; ^\; \{n\}\; =\; 1.\; \backslash \}$

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному числу решению аффинного уравнения, наоборот. Но по Великой теореме Ферма теперь известно, что (при n>2) нет нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма; следовательно, кривая Ферма не имеет нетривиальных рациональных точек.

Кривая Ферма неособая и имеет род

$(n\; -\; 1)\; (n\; -\; 2)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)\; (\; n-2)\; /\; 2.\; \backslash \}$

Это означает род 0 для случая n = 2 (коника ) и род 1 только для n = 3 (эллиптическая кривая ). Якобиево многообразие кривой Ферма глубоко изучено. Она изогенна произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением.

Кривая Ферма также имеет гональность

$n\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1.\; \backslash \}$

Уравнения типа Ферма с большим количеством переменных определяют как проективные разновидности разновидности Ферма .

• Бейкер, Мэтью; Гонсалес-Хименес, Энрике; Гонсалес, Хосеп; Пунен, Бьорн (2005), «Результаты конечности для модульных кривых рода не менее 2», Американский журнал математики, 127 (6): 1325– 1387, JSTOR 40068023
• Gross, Benedict H.; Рорлих, Дэвид Э. (1978), «Некоторые результаты о группе Морделла-Вейля якобиана кривой Ферма» (PDF), Inventiones Mathematicae, 44(3): 201– 224, doi : 10.1007 / BF01403161, заархивировано из оригинала (PDF) 13.07.2011
• Классен, Мэтью Дж.; Дебарре, Оливье (1994), «Точки низкой степени на гладких плоских кривых», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1994 (446), doi : 10.1515 / crll.1994.446.81
• Цермиас, Павлос (2004), «Точки низкой степени на кривых Гурвица-Клейна», Труды Американского математического общества, 356 (3): 939–951, JSTOR 1195002