Метрика Гильберта

редактировать

В математике, метрика Гильберта, также известная как проективная метрика Гильберта, является явно определенной функцией расстояния на ограниченное выпуклое подмножество n-мерного евклидова пространства R. Он был введен Дэвидом Гильбертом (1895) как обобщение формулы Кэли для расстояния в модели Кэли – Клейна гиперболическая геометрия, где выпуклое множество представляет собой n-мерный открытый единичный шар. Метрика Гильберта была применена к теории Перрона – Фробениуса и к построению гиперболических пространств Громова.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Мотивация и приложения
4 Ссылки

Определение

Пусть Ω будет выпуклой открытой областью в евклидовом пространстве, не содержащей строки. Для двух различных точек A и B области Ω пусть X и Y - точки, в которых прямая AB пересекает границу Ω, где порядок точек равен X, A, B, Y. Тогда Гильберта расстояние d (A, B) - это логарифм перекрестного отношения этой четверки точек:

d (A, B) = log ⁡ (| YA | | YB | | XB | | XA |). {\ displaystyle d (A, B) = \ log \ left ({\ frac {| YA |} {| YB |}} {\ frac {| XB |} {| XA |}} \ right).}

d (A, B) = \ log \ left ({\ frac {| YA |} {| YB |}} {\ frac {| XB |} {| XA |}} \ right).

Функция d расширяется на все пары точек, полагая d (A, A) = 0, и определяет метрику на Ω. Если одна из точек A и B лежит на границе Ω, то d можно формально определить как + ∞, что соответствует предельному случаю приведенной выше формулы, когда один из знаменателей равен нулю.

. Вариант этой конструкции возникает для замкнутого выпуклого конуса K в банаховом пространстве V (возможно, бесконечномерном). Кроме того, предполагается, что конус K заострен, т.е. K ∩ (−K) = {0}, и, таким образом, K определяет частичный порядок $≤ K {\ displaystyle \ leq _ {K} }$ $\ leq _ {K}$ на V. Для любых векторов v и w из K \ {0} сначала определяется

M (v / w) = inf {λ: v ≤ K λ w}, m (v / w) = sup {μ: μ w ≤ K v}. {\ Displaystyle M (v / w) = \ inf \ {\ lambda: v \ leq _ {K} \ lambda w \}, \ quad m (v / w) = \ sup \ {\ mu: \ mu w \ leq _ {K} v \}.}

M (v / w) = \ inf \ {\ lambda: v \ leq _ {K} \ lambda w \}, \ quad m (v / w) = \ sup \ {\ mu: \ mu w \ leq _ {K} v \}.

Псевдометрия Гильберта на K \ {0} тогда определяется формулой

d (v, w) = log ⁡ M (v / ш) м (об / ш). {\ displaystyle d (v, w) = \ log {\ frac {M (v / w)} {m (v / w)}}.}

d (v, w) = \ log {\ frac { M (v / w)} {m (v / w)}}.

Он инвариантен относительно изменения масштаба v и w положительными константами и, таким образом, спускается к метрике на пространстве лучей K, которая интерпретируется как проективизация K (для того, чтобы d было конечным, необходимо ограничиться внутренней частью K). Более того, если K ⊂ R × V - конус над выпуклым множеством Ω,

K = {(t, tx): t ∈ R, x ∈ Ω}, {\ displaystyle K = \ {(t, tx): t \ in \ mathbb {R}, x \ in \ Omega \},}

K = \ {(t, tx): t \ in {\ mathbb {R}}, x \ in \ Omega \},

, то пространство лучей K канонически изоморфно Ω. Если v и w - векторы в лучах в K, соответствующие точкам A, B ∈ Ω, то эти две формулы для d дают одно и то же значение расстояния.

Примеры

В случае, когда область Ω представляет собой единичный шар в R, формула для d совпадает с выражением для расстояния между точками в Cayley– Модель Клейна гиперболической геометрии, с точностью до мультипликативной константы.
Если конус K является положительным ортантом в R, тогда индуцированная метрика проективизации K часто называется просто проективной метрикой Гильберта . Этот конус соответствует области Ω, которая является регулярным симплексом размерности n - 1.

Мотивация и приложения

Гильберт ввел свою метрику, чтобы построить аксиоматическую метрическую геометрию, в которой существуют треугольники. ABC, вершины которого A, B, C не коллинеарны, но одна из сторон равна сумме двух других - отсюда следует, что кратчайший путь, соединяющий две точки, не уникален в этой геометрии. В частности, это происходит, когда выпуклое множество Ω является евклидовым треугольником и прямые продолжения отрезков AB, BC, AC не пересекаются с внутренней частью одной из сторон Ω.
Гарретт Биркгоф использовал метрику Гильберта и принцип банахова стягивания, чтобы заново вывести теорему Перрона – Фробениуса в конечномерной линейной алгебре и ее аналоги для интегральных операторов с положительные ядра. Идеи Биркгофа получили дальнейшее развитие и были использованы для установления различных нелинейных обобщений теоремы Перрона-Фробениуса, которые нашли важное применение в информатике, математической биологии, теории игр, теории динамических систем и эргодической теории.
Обобщение. Более ранние результаты Андерса Карлссона и Геннади Носкова, Ив Бенуа определил систему необходимых и достаточных условий для того, чтобы ограниченная выпуклая область в R, наделенная своей гильбертовой метрикой, была гиперболическим пространством Громова.

Литература

Ив Бенуа, Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. № 97 (2003), 181–237
Гаррет Биркгоф, Расширения теоремы Йенча, Пер. Амер. Математика. Soc. 85 (1957), 219–227
Нильсен, Франк; Сан, Кэ (2017), «Кластеризация в геометрии симплекса Гильберта», arXiv : 1704.00454 [cs.LG ]
Нильсен, Франк; Шао, Летиция (2017), О шарах в многоугольной геометрии Гильберта, 77, LIPIcs-Leibniz International Proceedings in Informatics (SoCG)
P. Дж. Бушелл, Метрика Гильберта и отображения положительного сжатия в банаховом пространстве, Arch. Rational Mech. Анальный. 52 (1973), 330–338
Гильберт, Давид (1895), «Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte», Mathematische Annalen, Springer Berlin / Гейдельберг, 46 : 91–96, doi : 10.1007 / BF02096204, ISSN 0025-5831, JFM 26.0540.02
Пападопулос, Атанас; Троянов, Марк (2014), Справочник по геометрии Гильберта, Европейское математическое общество
Бас Лемменс и Роджер Нуссбаум, Нелинейная теория Перрона-Фробениуса, Cambridge Tracts in Mathematics 189, Cambridge Univ. Press, 2012.