Метрика Кэли – Клейна

редактировать

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта - это логарифм перекрестного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их строки с абсолютным

. В математике метрика Кэли – Клейна - это метрика в дополнении к фиксированной квадрике в проективное пространство, которое определяется с помощью перекрестного отношения. Конструкция возникла из эссе Артура Кэли «О теории расстояния», где он называет квадрику абсолютом . Более подробно конструкция была развита Феликсом Клейном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. Метрики Кэли – Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку метод используется для предоставления метрик в гиперболической геометрии, эллиптической геометрии и евклидовой геометрии. Область неевклидовой геометрии в значительной степени опирается на основу, обеспечиваемую метрикой Кэли – Клейна.

Содержание

1 Основания
2 Поперечное отношение и расстояние
3 Нормальные формы абсолюта
4 Специальная теория относительности
5 Аффинная CK-геометрия
6 История
- 6.1 Кэли
- 6.2 Клейн
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Дополнительная литература

Основы

Алгебра бросков на Карл фон Штаудт (1847) - это подход к геометрии, который не зависит от метрики. Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряженных и перекрестных отношений как фундаментальное для измерения на линии. Еще одним важным открытием стала формула Лагерра, разработанная Эдмоном Лагерром (1853), который показал, что евклидов угол между двумя линиями может быть выражен как логарифм креста. -отношение. В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками, служащими абсолютом геометрии. Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, порожденном геометрическим расположением четырех точек. Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если поперечное отношение - это просто двойное отношение ранее определенных расстояний. В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли – Клейна.

Геометрия Кэли – Клейна - это исследование группы движений, которые выходят за рамки Кэли-Клейна. метрика инвариант. Это зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеаций, для которых абсолют является стабильным. Действительно, кросс-отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить сравнение показателей, которое будет равенством. Например, единичная окружность является абсолютом модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами – Клейна в гиперболической геометрии. Точно так же действительная линия является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре.

Степень геометрии Кэли-Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году:

Есть три абсолютов в реальной проективной линии, семь в реальной проективной плоскости и 18 в реальном проективном пространстве. Все классические неевклидовы проективные пространства как гиперболические, эллиптические, галилеевы и минковские, а также их двойники могут быть определены таким образом.

Кэли-Клейн Диаграммы Вороного являются аффинными диаграммами с линейной гиперплоскостью биссектрисы.

Поперечное отношение и расстояние

Предположим, что Q - фиксированная квадрика в проективном пространстве, которая становится абсолютом этой геометрии. Если a и b - 2 точки, то прямая, проходящая через a и b, пересекает квадрику Q еще в двух точках p и q. Расстояние Кэли – Клейна d (a, b) от a до b пропорционально логарифму перекрестного отношения :

d (a, b) = C log ⁡ | b p | | q a | | а п | | q b | {\ displaystyle d (a, b) = C \ log {\ frac {| bp || qa |} {| ap || qb |}}}

d(a,b)=C\log {\frac {|bp||qa|}{|ap||qb|}}

для некоторой фиксированной константы C.

Когда C является действительным, оно представляет собой гиперболическое расстояние гиперболической геометрии, когда оно является воображаемым, оно относится к эллиптической геометрии. Абсолют также может быть выражен в терминах произвольных квадрик или коник, имеющих форму в однородных координатах :

Ω = ∑ ω α β x α x β = 0, (ω α β = ω β α) {\ Displaystyle \ Omega = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \ \ left (\ omega _ {\ alpha \ beta} = \ omega _ {\ beta \ alpha} \ right)}

\Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\ \left(\omega _{\alpha \beta }=\omega _{\beta \alpha }\right)

(где α, β = 1,2,3 относится к плоскости, а α, β = 1,2,3,4 - к пространству), таким образом:

d = C log ⁡ Ω xy + Ω xy 2 - Ω xx Ω yy Ω xy - Ω xy 2 - Ω xx Ω yy = 2 i C ⋅ acos ⁡ Ω xy Ω xx ⋅ Ω yy Ω xx = ∑ ω α β x α x β знак равно 0 Ом yy знак равно ∑ ω α β Y α Y β знак равно 0 Ω xy = ∑ ω α β Икс α Y β {\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {align} d = C \ log {\ frac {\ Omega _ {xy} + {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {yy}}}} {\ Omega _ {xy} - {\ sqrt { \ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {yy}}}} \\ = 2iC \ cdot \ operatorname {acos} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}} \ end {align}} \\\ hline {\ begin {matrix} \ Omega _ {xx} = \ sum \ omega _ { \ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {yy} = \ su m \ omega _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {xy} = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta} \ end {matrix}} \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}{\begin{aligned}d=C\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}\\=2iC\cdot \operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum \omega _{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\end{matrix}}\end{matrix}}

Соответствующее гиперболическое расстояние (с C = 1/2 для упрощения):

d = acosh ⁡ Ω xy Ω xx ⋅ Ω yy {\ displaystyle d = \ operatorname {acosh} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}}

d=\operatorname {acosh} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}

или в эллиптической геометрии (с C = i / 2 для упрощения)

d = acos ⁡ Ω xy Ω xx ⋅ Ω yy {\ displaystyle d = \ operatorname {acos} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}}

d=\operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}

Нормальные формы абсолютного

Любая квадрика (или поверхность второго порядка) с действительными коэффициентами вида $Ω знак равно ∑ ω α β Икс α Икс β знак равно 0 {\ Displaystyle \ Omega = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $\Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0$ могут быть преобразованы в нормальные или канонические формы в терминах сумм квадратов, при этом разница в количестве положительных и отрицательных знаков не меняется при реальном однородном преобразовании определитель ≠ 0 по закону инерции Сильвестра со следующей классификацией («нулевая часть» означает действительное уравнение квадрики, но без вещественных точек):

I. Правильные поверхности второго порядка .

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0

. Поверхность с нулевыми частями.

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - x 4 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} - x_ {4} ^ {2} = 0}

x_{{1}}^{{2}}+x_{{2}}^{{2}}+x_{{3}}^{{2}}-x_{{4}}^{{2}}=0

. Овальная поверхность.

а) Эллипсоид

б) Эллиптический параболоид

в) Двухлистный гиперболоид

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 - x 4 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} - x_ {4} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0

. Поверхность кольца.

а) Однополостный гиперболоид

б) Гиперболический параболоид

II. Конические поверхности второго порядка .

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0

. Конус с нулевой детализацией.

a) Конус с нулевыми частями

b) Цилиндр с нулевыми частями

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0

. Обычный конус.

a) Конус

b) Эллиптический цилиндр

c) Параболический цилиндр

d) Гиперболический цилиндр

III. Пары плоскостей .

x 1 2 + x 2 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0

. Сопряженные пары воображаемых плоскостей.

а) Взаимно пересекающиеся воображаемые плоскости.

б) Параллельные воображаемые плоскости.

x 1 2 - x 2 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0

. Реальные пары самолетов.

a) Взаимно пересекающиеся плоскости.

b) Параллельные плоскости.

c) Одна плоскость конечна, другая бесконечно удалена, поэтому не существует от аффинной точки вид.

IV. Плоскости двойного счета .

x 1 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

x_{1}^{2}=0

а) Конечная плоскость с двойным счетом.

б) Бесконечно удаленная плоскость с двойным счетом, отсутствующая в аффинной геометрия.

коллинеации, оставляющие неизменными эти формы, могут быть связаны с дробно-линейными преобразованиями или преобразованиями Мёбиуса. Такие формы и их преобразования теперь можно применять к нескольким типам пространств, которые можно объединить с помощью параметра ε (где ε = 0 для евклидовой геометрии, ε = 1 для эллиптической геометрии, ε = -1 для гиперболической геометрии), поэтому что уравнение на плоскости принимает вид $x 1 2 + x 2 2 + 1 ε x 3 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + {\ tfrac { 1} {\ varepsilon}} x_ {3} ^ {2} = 0}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{3}^{2}=0$ и в пространстве $x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 1 ε x 4 2 = 0 { \ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + {\ tfrac {1} {\ varepsilon}} x_ {4} ^ {2} = 0 }$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{4}^{2}=0$ . Например, абсолют для евклидовой плоскости теперь может быть представлен как $x 1 2 + x 2 2 = 0, x 3 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2 } = 0, \ x_ {3} = 0}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0,\ x_{3}=0$ .

Эллиптическая плоскость или пространство связаны с поверхностями нулевой части в однородных координатах:

Ω = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0 Ω = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 = 0 d = acos ⁡ x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 d = acos ⁡ x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + x 4 2 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0 \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0 \\\ hline d = \ operatorname {acos} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2) } + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2 }}}}} d = \ operatorname {acos} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4 }} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ { 1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2}}}}} \ end {array}}

{\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}}}}d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}}}\end{array}}

или используя в однородные координаты $[x, y,…, 1] = [x 1 xn, x 2 xn,…, xnxn] {\ displaystyle \ left [{\ mathfrak {x}}, {\ mathfrak {y}}, \ dots, 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} {x_ {n}}}, {\ tfrac {x_ {2}} {x_ {n}}}, \ dots, {\ tfrac {x_ {n}} {x_ {n}}} \ right]}$ $\left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]$ , при котором абсолют становится мнимой единичной окружностью или единичной сферой:

Ω = x 2 + y 2 + 1 = 0 Ом = x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 d = acos ⁡ x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1 x 1 2 + y 1 2 + 1 x 2 2 + y 2 2 + 1 d = acos ⁡ Икс 1 Икс 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2 + 1 Икс 1 2 + Y 1 2 + Z 1 2 + 1 Икс 2 2 + Y 2 2 + Y 1 2 + 1 {\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + 1 = 0 \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ { 2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + {\ mathfrak {z}} ^ {2} + 1 = 0 \\\ hline d = \ operatorname {acos} {\ frac {{\ mathfrak {x }} _ {1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} +1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} +1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ { 2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} +1}}}} d = \ operatorname {acos} {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ {1} {\ ma thfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} + {\ mathfrak {z}} _ {1} {\ mathfrak {z} } _ {2} +1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {z }} _ {1} ^ {2} +1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} +1}}}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+1=0\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}+1=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+1}}}}d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}}}\end{array}}

или выражение однородных координат в терминах условия $x 1 2 + ⋯ + xn 2 знак равно y 1 2 + ⋯ + yn 2 = 1 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} = y_ {1} ^ {2} + \ dots + y_ {n} ^ {2} = 1}$ $x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+\dots +y_{n}^{2}=1$ (координаты Вейерштрасса) расстояние упрощается до:

d = acos ⁡ (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3) d = acos ⁡ (Икс 1 Y 1 + Икс 2 Y 2 + Икс 3 Y 3 + Икс 4 Y 4) {\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} d = \ operatorname {acos} \ left (x_ {1 } y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} \ right) d = \ operatorname {acos} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4} \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\right)\end{array}}

Гиперболическая плоскость или пространство связаны с овальной поверхностью в однородных координатах:

Ω = x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 = 0 Ω = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - x 4 2 = 0 d = acosh ⁡ x 1 y 1 + x 2 y 2 - x 3 y 3 x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 y 1 2 + y 2 2 - y 3 2 d = acosh ⁡ x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 - x 4 y 4 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - x 4 2 y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 - x 4 2 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0 \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0 \\\ hline d = \ operatorname {acosh} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}} } {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}} d = \ operatorname {acosh} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2}) ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2}}}}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}}}}}d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}}}\end{array}}

или с использованием неоднородных координат $[x, y,…, 1] = [x 1 xn, x 2 xn,…, xnxn] {\ displaystyle \ left [{\ mathfrak {x}}, {\ mathfrak {y}}, \ dots, 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} { x_ {n}}}, {\ tfrac {x_ {2}} {x_ {n}}}, \ dots, {\ tfrac {x_ {n}} {x_ {n}}} \ right]}$ $\left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]$ , при котором абсолют становится единичным кругом или единичной сферой:

Ω = x 2 + y 2 - 1 = 0 Ω = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0 d = acosh ⁡ x 1 x 2 + y 1 y 2 - 1 x 1 2 + y 1 2 - 1 x 2 2 + y 2 2 - 1 d = acosh ⁡ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - 1 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - 1 x 2 2 + y 2 2 + y 1 2 - 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} -1 = 0 \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + {\ mathfrak {z}} ^ {2} -1 = 0 \\\ hline d = \ operatorname {acosh } {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ {1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} -1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} -1}} {\ sqrt {{\ mathfrak) {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} -1}}}} d = \ operatorname {acosh} {\ frac {{\ mathfrak {x }} _ {1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} + {\ mathfrak {z}} _ { 1} {\ mathfrak {z}} _ {2} -1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ { 2} + {\ mathfrak {z}} _ {1} ^ {2} -1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} -1}}}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}-1=0\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}-1=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}-1}}}}d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}}}\end{array}}

или выражая однородные координаты в условия условия $x 1 2 + x 2 2 + ⋯ - xn 2 = y 1 2 + y 2 2 + ⋯ - yn 2 = - 1 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2 } ^ {2} + \ точки -x_ {n} ^ {2} = y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + \ dots -y_ {n} ^ {2} = - 1 }$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots -x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots -y_{n}^{2}=-1$ (координаты Вейерштрасса модели гиперболоида ) расстояние упрощается до:

d = acosh ⁡ (x 1 y 1 + x 2 y 2 - x 3 y 3) d знак равно acosh ⁡ (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 - x 4 y 4) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} d = \ operatorname {acosh} \ left (x_ { 1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3} \ right) d = \ operatorname {acosh} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4} \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\right)d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_ {1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\right)\end{array}}

Специальная теория относительности

В своих лекциях по истории по математике 1919/20, опубликовано посмертно в 1926 году, Кляйн писал:

Случай

x 2 + y 2 + z 2 - t 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}

x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0

в четырехмерном мире или

dx 2 + dy 2 + dz 2 - dt 2 = 0 {\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}

dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0

(чтобы оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты inates ) недавно приобрел особую значимость благодаря теории относительности физики.

То есть абсолюты $x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0$ или $x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - x 4 2 = 0 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ $x_{{1}}^{{2}}+x_{{2}}^{{2}}+x_{{3}}^{{2}}-x_{{4}}^{{2}}=0$ в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам $x 2 + y 2 - t 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=0$ или $x 2 + y 2 + z 2 - t 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2 } = 0}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0$ в пространстве-времени, и его преобразование, оставляющее абсолютный инвариант, может быть связано с преобразованиями Лоренца. Точно так же уравнения единичной окружности или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям $(dxdt) 2 + (dydt) 2 = 1 {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ $\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}=1$ или $(dxdt) 2 + (dydt) 2 + ( dzdt) 2 = 1 {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ $\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dz}{dt}}\right)^{2}=1$ в теории относительности, которые ограничены скоростью света c, так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничено внутренней частью единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для данной геометрии.

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли – Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Кляйном в 1910 году, а также в издании его лекций 1928 года. по неевклидовой геометрии.

Аффинная CK-геометрия

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую из теорем Клиффорда о круге и другую евклидову геометрию, используя аффинная геометрия, связанная с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит линию, то получается подсемейство аффинных геометрий Кэли-Клейна. Если абсолют состоит из прямой f и точки F на f, то мы имеем изотропную геометрию. Изотропный круг - это конус, касающийся f в точке F.

Используйте однородные координаты (x, y, z). Линия f на бесконечности равна z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) находятся на абсолютном уровне, поэтому f такое же, как указано выше. Считается, что прямоугольная гипербола в плоскости (x, y) проходит через точки P и Q на бесконечно удаленной прямой. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы окружности.

В трактовке Мартини и Спировой используются двойные числа для изотропной геометрии и разделенные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа связаны со своей геометрией, как обычные комплексные числа связаны с евклидовой геометрией.

История

Кэли

В разговоре недавно возник вопрос, заслуживает ли диссертация из двух строк и получение стипендии.... Проективное определение длины Кэли - ясный случай, если мы можем интерпретировать «2 линии» с разумной широтой.... В случае Кэли важность идеи очевидна с первого взгляда.

Литтлвуд (1986, стр. 39–40)

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основывал свою проективную метрику как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат :

исходных современных (a, b, c) (x, y) 2 = 0 ∑ a α β x α x β знак равно 0 (α, β = 1, 2) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} {\ text {modern}} \\\ hline (a, b, c) (x, y) ^ {2} = 0 \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\ \ left (\ alpha, \ beta = 1,2 \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\text{original}}{\text{modern}}\\\hline (a,b,c)(x,y)^{2}=0\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left(\alpha,\beta =1,2\right)\end{array}}

Расстояние между двумя точками тогда определяется как

оригинальный современный cos - 1 ⁡ (a, b, c) (x, y) (x ′, y ′) ( a, b, c) (x, y) 2 (a, b, c) (x ′, y ′) 2 cos - 1 ⁡ ∑ a α β x α y β ∑ a α β x α x β ∑ a α β Y α Y β [α, β = 1, 2] {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} {\ text {modern}} \\\ hline \ cos ^ {-1} {\ frac {(a, b, c) (x, y) \ left (x ', y' \ right)} {{\ sqrt {(a, b, c) (x, y) ^ {2}}} {\ sqrt {(a, b, c) (x ', y') ^ {2}}}}} \ cos ^ {- 1} {\ frac {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}} {{\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta}}} {\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta}}}} \\ \ left [\ alpha, \ beta = 1,2 \ right] \ end {array}}

{\begin{array}{c|c}{\text{original}}{\text{modern}}\\\hline \cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}\cos ^{-1}{\frac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}}\\\left[\alpha,\beta =1,2\right]\end{array}}

В двух измерениях

оригинальный современный (a, b, c, f, g, h) (x, y, z) 2 Знак равно 0 ∑ a α β Икс α Икс β знак равно 0, (α, β = 1, 2, 3) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} {\ text { современный}} \\\ hline (a, b, c, f, g, h) (x, y, z) ^ {2} = 0 \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \\ \ left (\ alpha, \ beta = 1,2,3 \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\text{original}}{\text{modern}}\\\hline (a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\\\left(\alpha,\beta =1,2,3\right)\end{array}}

с расстоянием

исходный современный cos - 1 ⁡ (a, …) (X, y, z) (x ′, y ′, z ′) (a,…) (x, y, z) 2 (a,…) (x ′, y ′, z ′) 2 cos - 1 ⁡ ∑ a α β Икс α Y β ∑ α β Икс α Икс β ∑ a α β Y α Y β, (α, β = 1, 2, 3) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} {\ text {modern}} \\\ hline \ cos ^ {- 1} {\ frac {(a, \ dots) (x, y, z) \ left (x ', y ', z' \ right)} {{\ sqrt {(a, \ dots) (x, y, z) ^ {2}}} {\ sqrt {(a, \ dots) (x ', y', z ') ^ {2}}}}} \ cos ^ {- 1} {\ frac {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}} {{\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha } x _ {\ beta}}} {\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta}}}}}, \ \\ \ left (\ alpha, \ beta = 1, 2,3 \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\text{original}}{\text{modern}}\\\hline \cos ^{-1}{\frac {(a,\dots)(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots)(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots)(x',y',z')^{2}}}}}\cos ^{-1}{\frac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\\left(\alpha,\beta =1,2,3\right)\end{array}}

, особый случай которого он обсуждал $x 2 + y 2 + z 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2} = 0}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ с расстоянием

cos - 1 ⁡ xx ′ + yy ′ + zz ′ x 2 + y 2 + z 2 x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 {\ displaystyle \ cos ^ {- 1} {\ frac {xx '+ yy' + zz '} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2} + z ^ {\ prime 2}}}}}}

\cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}

Он также сослался на случай $x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ (единичная сфера).

Кляйн

Феликс Клейн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он написал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат:

оригинальный современный Ω = ax 1 2 + 2 bx 1 x 2 + cx 2 2 = 0 Ω = ∑ a α β x α x β = 0 (α, β = 1, 2) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} { \ text {original}} {\ text {modern}} \\\ hline \ Omega = ax_ {1} ^ {2} + 2bx_ {1} x_ {2} + cx_ {2} ^ {2} = 0 \ Омега = \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\ \ left (\ alpha, \ beta = 1,2 \ right) \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\text{original}}{\text{modern}}\\\hline \Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0\Omega =\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left(\alpha,\beta =1,2\right)\end{array}}

и образуя абсолюты $Ω xx {\ displaystyle \ Omega _ {xx}}$ $\Omega _{xx}$ и $Ω yy {\ displaystyle \ Omega _ {yy}}$ $\Omega _{yy}$ для два элемента, он определил метрическое расстояние между ними в терминах поперечного отношения:

c log ⁡ Ω xy + Ω xy 2 - Ω xx Ω yy Ω xy - Ω xy 2 - Ω xx Ω yy = 2 ic ⋅ arccos ⁡ Ω xy Ω xx ⋅ Ω yy исходный Ω xx = ax 1 2 + 2 bx 1 x 2 + cx 2 2 Ω yy = ay 1 2 + 2 by 1 y 2 + cy 2 2 Ω xy = ax 1 y 1 + b (х 1 у 2 + х 2 у 1) + сх 2 y 2 современный Ω xx = ∑ a α β x α x β = 0 Ω yy = ∑ a α β y α y β = 0 Ω xy = ∑ a α β x α y β (α, β = 1, 2) { \ displaystyle {\ begin {matrix} c \ log {\ frac {\ Omega _ {xy} + {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {yy}} }} {\ Omega _ {xy} - {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {yy}}}}} = 2ic \ cdot \ operatorname {arccos} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}} \\\ hline {\ begin {array} {c | c} {\ begin {matrix} {\ text {original}} \\\ Omega _ {xx} = ax_ {1} ^ {2} + 2bx_ {1} x_ {2} + cx_ {2} ^ {2} \\\ Omega _ {yy} = ay_ {1} ^ {2} + 2by_ {1} y_ {2} + cy_ {2} ^ {2} \\\ Omega _ {xy} = ax_ {1} y_ {1} + b \ left (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ right) + cx_ {2} y_ {2} \\\\\ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ текст {современный}} \\\ Omega _ {xx} = \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {yy} = \ sum a _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {xy} = \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta} \\\ left (\ alpha, \ beta = 1,2 \ right) \ end {matrix}} \ end {array}} \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \operatorname {arccos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt { \Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\\\hline {\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}{\text{original}}\\\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\\\\\end{matrix}}{\begin{matrix}{\text{modern}}\\\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha,\beta =1,2\right)\end{matrix}}\end{array}}\end{matrix}}

На плоскости выполняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что $Ω Икс x {\ displaystyle \ Omega _ {xx}}$ $\Omega _{xx}$ и $Ω yy {\ displaystyle \ Omega _ {yy}}$ $\Omega _{yy}$ теперь связаны с тремя координатами $x, y, z {\ displaystyle x, y, z}$ $x,y,z$ каждый. В качестве основного конического сечения он обсудил особый случай $Ω xx = z 1 z 2 - z 3 2 = 0 {\ displaystyle \ Omega _ {xx} = z_ {1} z_ {2} -z_ {3} ^ { 2} = 0}$ $\Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0$ , который относится к гиперболической геометрии, когда она действительна, и к эллиптической геометрии, когда она является мнимой. Преобразования, оставляющие эту форму неизменной, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение круга в виде $Ω xx = x 2 + y 2 - 4 c 2 = 0 {\ displaystyle \ Omega _ {xx} = x ^ {2} + y ^ {2} -4c ^ {2} = 0}$ $\Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0$ , который относится к гиперболической геометрии, когда $c {\ displaystyle c}$ $c$ положительно (модель Бельтрами – Клейна), или к эллиптической геометрии, когда $c {\ displaystyle c}$ $c$ отрицательно. В космосе он обсуждал фундаментальные поверхности второй степени, в соответствии с которыми мнимые поверхности относятся к эллиптической геометрии, реальные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду, не имеющему отношения к одной из трех основных геометрий, в то время как действительные и непрямолинейные относятся к гиперболическому пространству.

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, могут быть преобразованы в сумму квадратов, в которой разность между числом положительных и отрицательных знаков остается равной (теперь это называется законом Сильвестра инерция ). Если знак у всех квадратов одинаковый, поверхность мнимая с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двухлистным гиперболоидом с отрицательной кривизной.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 (опубликовано 1892/1893) он обсуждал неевклидову плоскость, используя эти выражения для абсолютного:

∑ a α β x α x β = 0 [α, β = 1, 2, 3] → x 2 + y 2 + 4 k 2 t 2 = 0 (эллиптический) x 2 + y 2 - 4 k 2 t 2 = 0 (гиперболический) {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\\ left [\ alpha, \ beta = 1,2,3 \ right] \ end {matrix}} \ rightarrow {\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} + 4k ^ {2} t ^ {2} = 0 \ mathrm {(эллиптический)} \\ x ^ {2} + y ^ {2} -4k ^ {2} t ^ {2} = 0 \ mathrm {(гиперболический)} \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left[\alpha,\beta =1,2,3\right]\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0\mathrm {(elliptic)} \\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0\mathrm {(hyperbolic)} \end{matrix}}

и обсудили их инвариантность относительно коллинеации и преобразования Мёбиуса, представляющие движения в неевклидовых пространствах.

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 года (также опубликованные в 1892/1893), Кляйн обсуждал неевклидово пространство с метрикой Кэли

∑ a α β x α x β = 0, [α, β = 1, 2, 3, 4] {\ displaystyle \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \ \ left [\ alpha, \ beta = 1, 2,3,4 \ right]}

\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\ \left[\alpha,\beta =1,2,3,4\right]

и показал, что варианты этой четверной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм вещественными линейными преобразованиями

z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + z 4 2 (нулевая часть) z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 - z 4 2 (овал) z 1 2 + z 2 2 - z 3 2 - z 4 2 (кольцо) - z 1 2 - z 2 2 - z 3 2 + z 4 2 - z 1 2 - z 2 2 - z 3 2 - z 4 2 {\ displaystyle {\ begin {align} z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} {\ text {(нулевая часть)}} \\ z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ { 2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} {\ text {(овал)}} \\ z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} - z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} {\ text {(кольцо)}} \\ - z_ {1} ^ {2} -z_ {2} ^ {2} -z_ { 3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} \\ - z_ {1} ^ {2} -z_ {2} ^ {2} -z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} \ end {align}}}

{\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}

Форма $z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + z 4 2 = 0 {\ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} = 0 }$ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0$ использовался Кляйном в качестве абсолюта Кэли эллиптической геометрии, а к гиперболической геометрии он относил $z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 - z 4 2 = 0 {\ displaystyle z_ { 1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0}$ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0$ или уравнение единичной сферы $x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$ . В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.

Роберт Фрике и Кляйн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям в 1897 году, в котором они использовали $e (z 1 2 + z 2 2) - z 3 2 = 0 {\ displaystyle e \ left (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} \ right) -z_ {3} ^ {2} = 0}$ $e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0$ как абсолют в плоской геометрии, а $z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 - z 4 2 = 0 {\ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2 } + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0}$ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0$ , а также $X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 {\ displaystyle X ^ { 2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 1}$ $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1$ для гиперболического пространства. Лекции Кляйна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в виде одного тома и значительно отредактированы Вальтером Роземаном в 1928 году. Исторический анализ работ Кляйна по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014).

См. Также

метрика Гильберта

Примечания

Ссылки

Исторический

фон Штаудт, К. (1847). Geometrie der Lage. Нюрнберг: Nürnberg F. Korn.
Laguerre, E. (1853). "Note sur la théorie des foyers". Nouvelles annales de mathématiques. 12 : 57–66.
Кэли, А. (1859). "Шестые воспоминания о квантах". Философские труды Лондонского королевского общества. 149 : 61–90. doi : 10.1098 / rstl.1859.0004.
Кляйн, Ф. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573–625. doi : 10.1007 / BF02100583.
Кляйн, Ф. (1873). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 6 (2): 112–145. doi : 10.1007 / BF01443189.
Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90. Геттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток в 1892 г.)
Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890. Геттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток в 1892 г.)

Вторичные источники

Киллинг, В. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг: Teubner.
Fricke, R.; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Лейпциг: Teubner.
Бертран Рассел (1898) Эссе по основам геометрии, переизданный в 1956 году издательством Dover Books
Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра, Книга VI Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 Теория расстояния Кэли.
Хаусдорф, Ф. (1899). "Аналитические байтраге цур nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Math.-Phys. Берихте. 51 : 161–214.
Дункан Соммервилл (1910/11) «Метрики Кэли – Клейна в n-мерном пространстве», Труды Эдинбургского математического общества 28 : 25–41.
Кляйн, Феликс (1910). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 19 : 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0.Перепечатано в Klein, Felix (1921). Gesammelte Mathematische Abhandlungen. 1 . С. 533–552. doi : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31.Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основаниях группы Лоренца
Веблен, О. и Молодой JW (1918). Проективная геометрия. Бостон: Джинн.
Либманн, Х. (1923). Nichteuklidische Geometrie. Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
Кляйн, Ф. (1926). Courant, R.; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Берлин: Springer. ; English translation: Development of Mathematics in the 19th Century by M. Ackerman, Math Sci Press
Klein, F. (1928). Rosemann, W. (ed.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie. Berlin: Springer.
Pierpont, J. (1930). "Non-euclidean geometry, a retrospect". Бюллетень Американского математического общества. 36(2): 66–76. doi :10.1090/S0002-9904-1930-04885-5.
Littlewood, J. E. (1986) [1953], Littlewood's miscellany, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33058-9, MR 0872858
Harvey Lipkin (1985) Metrical Geometry from Georgia Institute of Technology
Struve, Horst; Struve, Rolf (2004), "Projective spaces with Cayley–Klein metrics", Journal of Geometry, 81(1): 155–167, doi :10.1007/s00022-004-1679-5, ISSN 0047-2468, MR 2134074
Martini Horst, Spirova Margarita (2008). "Circle geometry in affine Cayley-Klein planes". Periodica Mathematica Hungarica. 57(2): 197–206. doi :10.1007/s10998-008-8197-5.
Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), "Non-euclidean geometries: the Cayley–Klein approach", Journal of Geometry, 89(1): 151–170, doi :10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN 0047-2468, MR 2739193
A’Campo, N.; Papadopoulos, A. (2014). "On Klein's So-called Non-Euclidean geometry". In Ji, L.; Papadopoulos, A. (eds.). Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics. pp. 91–136. arXiv :1406.7309. doi :10.4171/148-1/5. ISBN 978-3-03719-148-4.
Nielsen, Frank; Muzellec, Boris; Nock, Richard (2016), "Classification with mixtures of curved mahalanobis metrics", 2016 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), pp. 241–245, doi :10.1109/ICIP.2016.7532355, ISBN 978-1-4673-9961-6