Лемма Гензеля

В математике, лемма Гензеля, также известная как подъемная лемма Гензеля, названной в честь Курта Hensel, является результатом в модульной арифметике, о том, что если одномерный полином имеет простой корень по модулю А простое число р, то этот корень может быть снят с уникальным корень по модулю любой большей степени p. В более общем смысле, если многочлен делит по модулю p на два взаимно простых многочлена, эту факторизацию можно поднять до факторизации по модулю любой более высокой степени p (случай корней соответствует случаю степени 1 для одного из множителей).

Переходя к "пределу" (на самом деле это обратный предел ), когда степень p стремится к бесконечности, следует, что корень или факторизация по модулю p могут быть подняты до корня или факторизации по p -адическим целым числам.

Эти результаты были широко обобщены под тем же названием на случай многочленов над произвольным коммутативным кольцом, где p заменяется идеалом, а «взаимно простые многочлены» означают «многочлены, порождающие идеал, содержащий 1 ».

Лемма Гензеля является фундаментальной в p -адическом анализе, одном из разделов аналитической теории чисел.

Доказательство леммы Гензеля является конструктивным и приводит к эффективному алгоритму подъема Гензеля, который является фундаментальным для факторизации многочленов, и дает наиболее эффективный известный алгоритм точной линейной алгебры по рациональным числам.

• 1 Модульный редуктор и подъемник
• 2 Заявление
  • 2.1 Подъем простых корней
  • 2.2 Подъем до адического завершения
• 3 Доказательство
  • 3.1 Линейный подъем
  • 3.2 Уникальность
  • 3.3 Квадратичный подъем
• 4 Явный пример
• 5 Использование производных для подъема корней
  • 5.1 Вывод
• 6 наблюдений
  • 6.1 Критерий неприводимых многочленов
  • 6.2 Фробениус
  • 6.3 Корни единства
• 7 Хензель лифтинг
• 8 Лемма Гензеля для p -адических чисел
• 9 Примеры
• 10 обобщений
• 11 Понятия, связанные с данным
• 12 См. Также
• 13 Ссылки

Оригинал леммы Гензеля касается соотношения между полиномиальной факторизации над целыми числами и над целыми числами по модулю на простое число р и его полномочия. Его можно прямо распространить на случай, когда целые числа заменяются любым коммутативным кольцом, а p заменяется любым максимальным идеалом (действительно, максимальные идеалы имеют вид, где p - простое число). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p \ mathbb {Z},}$

Чтобы сделать это точным, требуется обобщение обычной модульной арифметики, поэтому полезно точно определить терминологию, которая обычно используется в этом контексте.

Пусть R коммутативное кольцо, и я идеал в R. Приведение по модулю I относится к замене каждого элемента R его образом при каноническом отображении. Например, если является многочленом с коэффициентами из R, его редукция по модулю I, обозначается как многочлен от, полученный заменой коэффициентов f на их изображение в двух многочленов F и г в являются сравнимыми по модулю Я, обозначается, если они имеют одинаковые коэффициенты по модулю I, то есть, если Если факторизация ч по модулю я состоит из двух (или более) многочленов F, G в таким образом, что${\ displaystyle R \ to R / I.}$${\ displaystyle f \ in R [X]}$ ${\ displaystyle f {\ bmod {I}},}$${\ Displaystyle (R / I) [X] = R [X] / IR [X]}$${\ displaystyle R / I.}$${\ Displaystyle R [X]}$ ${\ textstyle f \ Equiv g {\ pmod {I}}}$${\ displaystyle fg \ in IR [X].}$${\ displaystyle h \ in R [X],}$${\ Displaystyle R [X]}$${\ textstyle h \ Equiv fg {\ pmod {I}}.}$

Процесс подъема - это процесс, обратный редукции. То есть данные объекты, зависящие от элементов процесса подъема, заменяют эти элементы элементами (или для некоторого k gt; 1), которые отображаются на них таким образом, чтобы сохранить свойства объектов. ${\ displaystyle R / I,}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R / I ^ {k}}$

Например, для заданного многочлена и факторизации по модулю I, выраженной как поднятие этого факторизации по модулю, заключается в нахождении таких многочленов, что и лемма Гензеля утверждает, что такое поднятие всегда возможно при мягких условиях; см. следующий раздел. ${\ displaystyle h \ in R [X]}$${\ textstyle h \ Equiv fg {\ pmod {I}},}$${\ displaystyle I ^ {k}}$${\ displaystyle f ', g' \ in R [X]}$${\ textstyle f '\ Equiv f {\ pmod {I}},}$ ${\ textstyle g '\ Equiv g {\ pmod {I}},}$${\ textstyle h \ Equiv fg {\ pmod {I ^ {k}}}.}$

Первоначально лемма Гензеля была сформулирована (и доказана) для поднятия факторизации по модулю простого числа p полинома по целым числам до факторизации по модулю любой степени p и факторизации по p -адическим целым числам. Это можно легко обобщить с тем же доказательством на случай, когда целые числа заменяются любым коммутативным кольцом, простое число заменяется максимальным идеалом, а целые p -адические числа заменяются пополнением по максимальному идеалу. Именно это обобщение, которое также широко используется, представлено здесь.

Пусть - максимальный идеал коммутативного кольца R и ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle h = \ alpha _ {0} X ^ {n} + \ cdots + \ alpha _ {n-1} X + \ alpha _ {n}}$

быть полиномом в с ведущим коэффициентом не в${\ Displaystyle R [X]}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}.}$

Поскольку максимальный идеал, то фактор - кольцо является полем, и является областью главных идеалов, и, в частности, однозначным разложением на множители, что означает, что каждый ненулевой многочлен в может быть разложено уникальным способом как произведение ненулевых элемент и неприводимые многочлены, которые являются моническими (то есть их старшие коэффициенты равны 1). ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle (R / {\ mathfrak {m}}) [X]}$ ${\ displaystyle (R / {\ mathfrak {m}}) [X]}$${\ displaystyle (R / {\ mathfrak {m}})}$

Лемма Гензеля утверждает, что любую факторизацию h по модулю на взаимно простые многочлены можно единственным способом поднять в факторизацию по модулю для каждого k. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {k}}$

Точнее, с приведенными выше гипотезами, если где f и g являются моническими и взаимно простыми по модулю, то для каждого натурального числа k существуют монические многочлены и такие, что ${\ textstyle ч \ экв \ альфа _ {0} fg {\ pmod {\ mathfrak {m}}},}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}},}$${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle g_ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} h amp; \ Equiv \ alpha _ {0} f_ {k} g_ {k} {\ pmod {{\ mathfrak {m}} ^ {k}}}, \\ f_ {k} amp; \ Equiv f {\ pmod {\ mathfrak {m}}}, \\ g_ {k} amp; \ Equiv g {\ pmod {\ mathfrak {m}}}, \ end {align}}}$

и и являются уникальными (с этими свойствами) по модулю${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle g_ {k}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {k}.}$

Подъем простых корней

Важный частный случай, когда в этом случае взаимной простоты гипотеза означает, что г является простым корнем из Это дает следующий частный случай леммы Гензеля, который часто называют также леммы Гензеля. ${\ displaystyle f = Xr.}$ ${\ displaystyle h {\ bmod {\ mathfrak {m}}}.}$

С приведенными выше гипотезами и обозначениями, если r является простым корнем, то r может быть поднят уникальным способом до простого корня для любого положительного целого числа n. Ясно, что для каждого положительного целого числа n существует такое уникальное, что и является простым корнем из${\ displaystyle h {\ bmod {\ mathfrak {m}}},}$${\ displaystyle h {\ bmod {{\ mathfrak {m}} ^ {n}}}}$${\ displaystyle r_ {n} \ in R / {\ mathfrak {m}} ^ {n}}$${\ textstyle r_ {n} \ Equiv r {\ pmod {\ mathfrak {m}}}}$${\ displaystyle r_ {n}}$${\ displaystyle h {\ bmod {\ mathfrak {m}}} ^ {n}.}$

Подъем до адического завершения

Тот факт, что можно поднять до для любого положительного целого числа n, предполагает «перейти к пределу», когда n стремится к бесконечности. Это было одной из основных причин введения p -адических целых чисел. ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}} ^ {n}}$

Учитывая максимальный идеал коммутативного кольца R, силы образуют базис открытых окрестностей для топологии на R, которая называется - адическая топологией. Завершение этой топологии может быть идентифицировано с завершением локального кольца и с обратным пределом Этого завершением является полным локальным кольцом, как правило, обозначается Когда R является кольцом целых чисел, и где р есть простое число, это завершение является кольцо целых p -адических чисел${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {m}},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ leftarrow} R / {\ mathfrak {m}} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = p \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}.}$

Из определения пополнения как обратного предела и приведенного выше утверждения леммы Гензеля следует, что любую факторизацию на попарно взаимно простые многочлены по модулю многочлена можно однозначно поднять до факторизации образа h в. Аналогично, любой простой корень h по модулю можно поднять до простого корня образа h в${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle h \ in R [X]}$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}} [X].}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}} [X].}$

Лемма Гензеля обычно доказывается поэтапно, поднимая факторизацию до факторизации ( линейный подъем) или факторизации ( квадратичный подъем). ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}} ^ {n}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}} ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}} ^ {2n}}$

Основной компонент доказательства состоит в том, что взаимно простые многочлены над полем удовлетворяют тождеству Безу. То есть, если f и g - взаимно простые многомерные многочлены над полем (здесь), существуют многочлены a и b такие, что и ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle \ deg a lt;\ deg g,}$ ${\ Displaystyle \ deg b lt;\ deg f,}$

${\ displaystyle af + bg = 1.}$

Тождество Безу позволяет определять взаимно простые многочлены и доказывать лемму Гензеля, даже если идеал не является максимальным. Поэтому в следующих доказательствах, исходить из коммутативного кольца R, в идеальном I полином, который имеет старший коэффициент, который обратимо по модулю Я (то есть его образ в это единица, в), и разложение по ч по модулю I или по модулю степени I, таким образом, что факторы удовлетворяют личность Безу по модулю я. В этих доказательствах означает${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle h \ in R [X]}$${\ displaystyle R / I}$ ${\ displaystyle R / I}$ ${\ textstyle А \ эквив Б {\ pmod {I}}}$${\ displaystyle AB \ in IR [X].}$

Линейный подъем

Пусть я быть идеальным из коммутативного кольца R, и быть одномерным полиномом с коэффициентами в R, который имеет старший коэффициент, который обратим по модулю Я (то есть, изображение, в это единица, в). ${\ displaystyle h \ in R [X]}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle R / I}$ ${\ displaystyle R / I}$

Предположим, что для некоторого натурального числа k существует факторизация

${\ Displaystyle ч \ эквив \ альфа fg {\ pmod {I ^ {k}}},}$

такие, что f и g - унитарные многочлены, взаимно простые по модулю I, в том смысле, что существуют такие, что Тогда существуют многочлены такие, что и ${\ displaystyle a, b \ in R [X],}$${\ textstyle af + bg \ Equiv 1 {\ pmod {I}}.}$${\ displaystyle \ delta _ {f}, \ delta _ {g} \ in I ^ {k} R [X],}$${\ displaystyle \ deg \ delta _ {f} lt;\ deg f,}$ ${\ displaystyle \ deg \ delta _ {g} lt;\ deg g,}$

${\ displaystyle h \ Equiv \ alpha (f + \ delta _ {f}) (g + \ delta _ {g}) {\ pmod {I ^ {k + 1}}}.}.$

В этих условиях и уникальны по модулю${\ displaystyle \ delta _ {f}}$${\ displaystyle \ delta _ {g}}$${\ displaystyle I ^ {k + 1} R [X].}$

Более того, и удовлетворяют тому же тождеству Безу, что и f и g, т. Е.${\ displaystyle f + \ delta _ {f}}$${\ displaystyle g + \ delta _ {g}}$

$${\ displaystyle a (f + \ delta _ {f}) + b (g + \ delta _ {g}) \ Equiv 1 {\ pmod {I}}.}$$ Это сразу следует из предыдущих утверждений, но необходимо для итеративного применения результата с увеличением значений k.

Следующее доказательство написано для вычислений и с использованием только многочленов с коэффициентами в или When, и это позволяет манипулировать только целыми числами по модулю p. ${\ displaystyle \ delta _ {f}}$${\ displaystyle \ delta _ {g}}$${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle I ^ {k} / I ^ {k + 1}.}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle I = п \ mathbb {Z},}$

Доказательство: По условию, обратим по модулю I. Это означает, что существует и такое, что${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta \ in R}$${\ displaystyle \ gamma \ в ИК [X]}$${\ Displaystyle \ альфа \ бета = 1- \ гамма.}$

Пусть степени меньше такой, что ${\ displaystyle \ delta _ {h} \ in I ^ {k} R [X],}$${\ displaystyle \ deg h,}$

${\ displaystyle \ delta _ {h} \ Equiv h- \ alpha fg {\ pmod {I ^ {k + 1}}}.}$

(Можно выбрать, но другие варианты могут привести к более простым вычислениям. Например, если и возможно, и лучше выбрать, где коэффициенты являются целыми числами в интервале)${\ displaystyle \ delta _ {h} = h- \ alpha fg,}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle I = п \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle \ delta _ {h} = p ^ {k} \ delta '_ {h}}$${\ displaystyle \ delta '_ {h}}$${\ displaystyle [0, p-1].}$

Как г является унитарным, то евклидово деление из по г определена, и обеспечивает д и с таким образом, что и того, и д и с в Аналогично, пусть с и${\ displaystyle a \ delta _ {h}}$${\ displaystyle a \ delta _ {h} = qg + c,}$${\ Displaystyle \ deg c lt;\ deg g.}$${\ displaystyle I ^ {k} R [X].}$${\ displaystyle b \ delta _ {h} = q'f + d,}$${\ Displaystyle \ deg d lt;\ deg f,}$${\ displaystyle q ', d \ in I ^ {k} R [X].}$

У одного действительно есть ${\ displaystyle q + q '\ in I ^ {k + 1} R [X].}$

${\ displaystyle fc + gd = af \ delta _ {h} + bg \ delta _ {h} -fg (q + q ') \ Equiv \ delta _ {h} -fg (q + q') {\ pmod { I ^ {k + 1}}}.}$

Как это унитарное, степень по модулю из может быть меньше, только если${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle I ^ {k + 1}}$${\ displaystyle fg (q + q ')}$${\ displaystyle \ deg fg}$${\ displaystyle q + q '\ in I ^ {k + 1} R [X].}$

Таким образом, с учетом сравнений по модулю единица ${\ displaystyle I ^ {k + 1},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha (f + \ beta d) amp; (g + \ beta c) -h \\ amp; \ Equiv \ alpha fg-h + \ alpha \ beta (f (a \ delta _ {h} -qg) + g (b \ delta _ {h} -q'f)) \\ amp; \ Equiv \ delta _ {h} (- 1+ \ alpha \ beta (af + bg)) - \ alpha \ beta fg (q + q ') \\ amp; \ Equiv 0 {\ pmod {I ^ {k + 1}}}. \ end {выравнивается}}}$

Итак, утверждение существования проверяется с помощью

${\ displaystyle \ delta _ {f} = \ beta d, \ qquad \ delta _ {g} = \ beta c.}$

Уникальность

Пусть R, I, h и as a в предыдущем разделе. Позволять ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle ч \ эквив \ альфа фг {\ pmod {I}}}$

- факторизация в взаимно простые многочлены (в указанном выше смысле), например, применение линейного подъема для показывает существование и таких, что и ${\ displaystyle \ deg f_ {0} + \ deg g_ {0} = \ deg h.}$${\ Displaystyle к = 1,2, \ ldots, п-1 \ ldots,}$${\ displaystyle \ delta _ {f}}$${\ displaystyle \ delta _ {g}}$${\ displaystyle \ deg \ delta _ {f} lt;\ deg f,}$ ${\ displaystyle \ deg \ delta _ {g} lt;\ deg g,}$

${\ displaystyle h \ Equiv \ alpha (f + \ delta _ {f}) (g + \ delta _ {g}) {{\ pmod {I}} ^ {n}}.}$

Многочлены и определяются однозначно по модулю. Это означает, что если другая пара удовлетворяет тем же условиям, то одна из них имеет ${\ displaystyle \ delta _ {f}}$${\ displaystyle \ delta _ {g}}$${\ displaystyle I ^ {n}.}$${\ displaystyle (\ delta '_ {f}, \ delta' _ {g})}$

${\ displaystyle \ delta '_ {f} \ Equiv \ delta _ {f} {\ pmod {I ^ {n}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ delta' _ {g} \ Equiv \ delta _ {g} {\ pmod {I ^ {n}}}.}$

Доказательство: поскольку сравнение по модулю влечет такое же совпадение по модулю один, можно действовать по индукции и предположить, что единственность доказана для n - 1, причем случай n = 0 тривиален. То есть можно предположить, что ${\ displaystyle I ^ {n}}$${\ displaystyle I ^ {n-1},}$

${\ displaystyle \ delta _ {f} - \ delta '_ {f} \ in I ^ {n-1} R [X] \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ delta _ {g} - \ delta '_ {g} \ in I ^ {n-1} R [X].}$

По предположению имеет

${\ Displaystyle ч \ эквив \ альфа (е + \ дельта _ {е}) (г + \ дельта _ {г}) \ экв \ альфа (е + \ дельта '_ {е}) (г + \ дельта' _ {г}) {\ pmod {I ^ {n}}},}$

и поэтому

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha (f + \ delta _ {f}) (g + \ delta _ {g}) amp; - \ alpha (f + \ delta '_ {f}) (g + \ delta' _ { g}) \\ amp; = \ alpha (f (\ delta _ {g} - \ delta '_ {g}) + g (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f})) + \ alpha ( \ delta _ {f} (\ delta _ {g} - \ delta '_ {g}) - \ delta _ {g} (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f})) \ in I ^ {n} R [X]. \ end {выравнивается}}}$

По предположению индукции, второй член последней суммы принадлежит, и, таким образом, то же самое верно и для первого члена. Как обратимо по модулю I, существуют и такие, что Таким образом ${\ displaystyle I ^ {n},}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta \ in R}$${\ displaystyle \ gamma \ in I}$${\ Displaystyle \ альфа \ бета = 1 + \ гамма.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (\ delta _ {g} - \ delta '_ {g}) amp; + g (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f}) \\ amp; = \ альфа \ бета (f (\ delta _ {g} - \ delta '_ {g}) + g (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f})) - \ gamma (f (\ delta _ { g} - \ delta '_ {g}) + g (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f})) \ in I ^ {n} R [X], \ end {выровнено}}}$

снова используя гипотезу индукции.

Копримальность по модулю I подразумевает существование таких, что, используя гипотезу индукции еще раз, мы получаем ${\ displaystyle a, b \ in R [X]}$${\ textstyle 1 \ Equiv af + bg {\ pmod {I}}.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta _ {g} - \ delta '_ {g} amp; \ Equiv (af + bg) (\ delta _ {g} - \ delta' _ {g}) \\ amp; \ Equiv g (b (\ delta _ {g} - \ delta '_ {g}) - a (\ delta _ {f} - \ delta' _ {f})) {\ pmod {I ^ {n}} }. \ end {выровнены}}}$

Таким образом, у одного есть полином меньшей степени, чем эта, сравнимый по модулю с произведением монического полинома g и другого полинома w. Это возможно только в том случае, если и подразумевает Аналогично, также находится в и это доказывает уникальность. ${\ displaystyle \ deg g}$${\ displaystyle I ^ {n}}$${\ Displaystyle ш \ в I ^ {п} R [X],}$${\ displaystyle \ delta _ {g} - \ delta '_ {g} \ in I ^ {n} R [X].}$${\ displaystyle \ delta _ {g} - \ delta '_ {g}}$${\ displaystyle I ^ {n} R [X],}$

Квадратичный лифтинг

Линейный подъем позволяет поднять факторизацию по модулю до факторизации по модулю.Квадратичный подъем позволяет поднять непосредственно до факторизации по модулю за счет подъема также тождества Безу и вычисления по модулю вместо модуля I (если использовать приведенное выше описание линейного подъема). ${\ displaystyle I ^ {n}}$${\ displaystyle I ^ {n + 1}.}$${\ displaystyle I ^ {2n},}$ ${\ displaystyle I ^ {n}}$

Для подъема по модулю для больших N можно использовать любой метод. Если, скажем, факторизация по модулю требует N - 1 шага линейного подъема или только k - 1 шага квадратичного подъема. Однако в последнем случае размер коэффициентов, которыми нужно управлять, увеличивается во время вычисления. Это означает, что лучший метод подъема зависит от контекста (значение N, характер R, используемый алгоритм умножения, особенности оборудования и т. Д.). ${\ Displaystyle I ^ {N}}$${\ displaystyle N = 2 ^ {k},}$${\ Displaystyle I ^ {N}}$

Квадратичный подъем основан на следующем свойстве.

Предположим, что для некоторого натурального числа k существует факторизация

${\ Displaystyle ч \ эквив \ альфа fg {\ pmod {I ^ {k}}},}$

такие, что f и g - унитарные многочлены, взаимно простые по модулю I, в том смысле, что существуют такие, что Тогда существуют многочлены такие, что и ${\ displaystyle a, b \ in R [X],}$${\ textstyle af + bg \ Equiv 1 {\ pmod {I ^ {k}}}.}$${\ displaystyle \ delta _ {f}, \ delta _ {g} \ in I ^ {k} R [X],}$${\ displaystyle \ deg \ delta _ {f} lt;\ deg f,}$ ${\ displaystyle \ deg \ delta _ {g} lt;\ deg g,}$

${\ displaystyle h \ Equiv \ alpha (f + \ delta _ {f}) (g + \ delta _ {g}) {\ pmod {I ^ {2k}}}.}.$

Кроме того, и удовлетворяют тождеству Безу вида ${\ displaystyle f + \ delta _ {f}}$${\ displaystyle g + \ delta _ {g}}$

${\ displaystyle (a + \ delta _ {a}) (f + \ delta _ {f}) + (b + \ delta _ {b}) (g + \ delta _ {g}) \ Equiv 1 {\ pmod {I ^ { 2k}}}.}$

(Это необходимо для разрешения итераций квадратичного подъема.)

Доказательство: Первое утверждение точно, что линейный подъем применяется при к = 1 к идеалу, а не я. ${\ displaystyle I ^ {k}}$

Пусть у кого-то есть ${\ displaystyle \ alpha = af + bg-1 \ ​​in I ^ {k} R [X].}$

${\ Displaystyle а (е + \ дельта _ {е}) + б (г + \ дельта _ {г}) = 1- \ дельта,}$

куда

${\ displaystyle \ Delta = \ alpha + a \ delta _ {f} + b \ delta _ {g} \ in I ^ {k} R [X].}$

Настройка и один получает ${\ displaystyle \ delta _ {a} = - a \ Delta}$${\ displaystyle \ delta _ {b} = - b \ Delta,}$

${\ displaystyle (a + \ delta _ {a}) (f + \ delta _ {f}) + (b + \ delta _ {b}) (g + \ delta _ {g}) = 1- \ Delta ^ {2} \ в I ^ {2k} R [X],}$

что доказывает второе утверждение.

Позволять ${\ displaystyle f (X) = X ^ {6} -2 \ in \ mathbb {Q} [X].}$

По модулю 2 лемма Гензеля неприменима, поскольку редукция по модулю 2 просто ^{pg 15-16}${\ Displaystyle f (X)}$

${\ displaystyle {\ bar {f}} (X) = X ^ {6} - {\ overline {2}} = X ^ {6}}$

при этом 6 факторов не являются взаимно взаимозаменяемыми. Однако по критерию Эйзенштейна можно заключить, что многочлен неприводим в Over, с другой стороны, ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f (X)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} [X].}$ ${\ Displaystyle к = \ mathbb {F} _ {7}}$

${\ displaystyle {\ bar {f}} (X) = X ^ {6} - {\ overline {2}} = X ^ {6} - {\ overline {16}} = (X ^ {3} - { \ overline {4}}) \; (X ^ {3} + {\ overline {4}})}$

где - квадратный корень из 2 дюймов. Поскольку 4 не является кубом, эти два фактора неприводимы. Следовательно, полная факторизация in и есть ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {7}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {7},}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {7}}$${\ displaystyle X ^ {6} -2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {7} [X]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {7} [X]}$

${\ Displaystyle е (Х) = Икс ^ {6} -2 = (Х ^ {3} - \ альфа) \; (Х ^ {3} + \ альфа),}$

где - квадратный корень из 2, который можно получить, подняв вышеупомянутую факторизацию. Наконец, в многочлене распадается на ${\ Displaystyle \ альфа = \ ldots 450 \, 454_ {7}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {7}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {727} [X]}$

${\ displaystyle {\ bar {f}} (X) = X ^ {6} - {\ overline {2}} = (X - {\ overline {3}}) \; (X - {\ overline {116}) }) \; (X - {\ overline {119}}) \; (X - {\ overline {608}}) \; (X - {\ overline {611}}) \; (X - {\ overline { 724}})}$

со всеми множителями, взаимно простыми друг с другом, так что в и есть 6 множителей с (нерациональными) 727-адическими целыми числами ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {727} [X]}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {727} [X]}$${\ displaystyle X- \ beta}$

${\ displaystyle \ beta = \ left \ {{\ begin {array} {rrr} 3 \; + amp; \! \! \! 545 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 537 \ cdot 727 ^ { 2} \, + amp; \! \! \! 161 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \\ 116 \; + amp; \! \! \! 48 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 130 \ cdot 727 ^ {2} \, + amp; \! \! \! 498 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \\ 119 \; + amp; \! \! \! 593 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 667 \ cdot 727 ^ {2} \, + amp; \! \! \! 659 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \\ 608 \; + amp; \! \! \! 133 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 59 \ cdot 727 ^ {2} \, + amp; \! \! \! 67 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \\ 611 \; + amp; \! \! \! 678 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 596 \ cdot 727 ^ {2} \, + amp; \! \! \! 228 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \\ 724 \; + amp; \! \! \! 181 \ cdot 727 \; + amp; \! \! \! 189 \ cdot 727 ^ {2} \, + amp; \! \! \! 565 \ cdot 727 ^ {3} + \ ldots \ end {array}} \ right.}$

Пусть будет многочлен с целыми (или p -адическими целыми) коэффициентами, и пусть m, k - положительные целые числа такие, что m ≤ k. Если r - такое целое число, что ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle е (г) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {k} \ quad {\ text {and}} \ quad f '(r) \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p}}}$

тогда для каждого существует такое целое число s, что ${\ displaystyle mgt; 0}$

${\ Displaystyle F (s) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {k + m} \ quad {\ text {and}} \ quad r \ Equiv s {\ bmod {p}} ^ {k}. }$

Кроме того, это s уникально по модулю p ^{k + m} и может быть вычислено явно как целое число, такое что

${\ displaystyle s = rf (r) \ cdot a,}$

где - целое число, удовлетворяющее ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a \ Equiv [f '(r)] ^ {- 1} {\ bmod {p}} ^ {m}.}$

Обратите внимание на то, чтобы условие было выполнено. Кроме того, если, то может существовать 0, 1 или несколько s (см. Hensel Lifting ниже). ${\ Displaystyle е (г) \ эквив 0 {\ bmod {p}} ^ {к}}$${\ Displaystyle S \ Equiv г {\ bmod {p}} ^ {k}}$${\ Displaystyle F '(г) \ эквив 0 {\ bmod {p}}}$

Вывод

Мы используем разложение Тейлора f вокруг r, чтобы написать:

${\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (sr) ^ {n}, \ qquad c_ {n} = f ^ {(n)} (r) / п !.}$

Отсюда видно, что s - r = tp ^k для некоторого целого t. Позволять ${\ Displaystyle г \ Equiv s {\ bmod {p}} ^ {k},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (s) amp; = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} \ left (tp ^ {k} \ right) ^ {n} \\ amp; = f (r) + tp ^ {k} f '(r) + \ sum _ {n = 2} ^ {N} c_ {n} t ^ {n} p ^ {kn} \\ amp; = f (r) + tp ^ {k} f '(r) + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) amp;amp; g (t) \ in \ mathbb {Z} [t] \\ amp; = zp ^ {k} + tp ^ {k} f '(r) + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) amp;amp; f (r) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {k} \\ amp; = (z + tf '(r)) p ^ {k} + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) \ end {выравнивается}}}$

Ибо у нас есть: ${\ displaystyle m \ leqslant k,}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} е (s) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {k + m} amp; \ Longleftrightarrow (z + tf '(r)) p ^ {k} \ Equiv 0 { \ bmod {p}} ^ {k + m} \\ amp; \ Longleftrightarrow z + tf '(r) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {m} \\ amp; \ Longleftrightarrow tf' (r) \ Equiv -z {\ bmod {p}} ^ {m} \\ amp; \ Longleftrightarrow t \ Equiv -z [f '(r)] ^ {- 1} {\ bmod {p}} ^ {m} amp;amp; p \ nmid f '(г) \ конец {выровнено}}}$

Предположение, что не делится на p, гарантирует, что обратный mod обязательно уникален. Следовательно, решение для t существует однозначно по модулю, а s существует однозначно по модулю${\ displaystyle f '(r)}$${\ displaystyle f '(r)}$${\ displaystyle p ^ {m}}$${\ displaystyle p ^ {m},}$${\ displaystyle p ^ {k + m}.}$

Критерий неприводимых многочленов

Используя приведенные выше предположения, если мы рассмотрим неприводимый многочлен

${\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ cdots + a_ {n} x ^ {n} \ in K [X]}$

так что тогда ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {n} \ neq 0}$

${\ Displaystyle | е | = \ макс \ {| а_ {0} |, | а_ {п} | \}}$

В частности, при находим в${\ Displaystyle f (X) = X ^ {6} + 10X-1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} [X]}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} | е (X) | amp; = \ max \ {| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n} | \} \\ amp; = \ max \ {0,1, 0 \} = 1 \ конец {выровнено}}}$

но, следовательно, многочлен не может быть неприводимым. Принимая во внимание, что у нас есть оба значения, совпадающие, это означает, что многочлен может быть неприводимым. Чтобы определить неприводимость, необходимо использовать многоугольник Ньютона. ^стр.144${\ Displaystyle \ макс \ {| а_ {0} |, | а_ {п} | \} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {7} [X]}$

Фробениус

Обратите внимание, что дано эндоморфизм Фробениуса дает многочлен, который всегда имеет нулевую производную ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle (-) \ mapsto (-) ^ {p}}$${\ displaystyle x ^ {p} -a}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} x ^ {p} -a amp; = p \ cdot x ^ {p-1} \\ amp; \ Equiv 0 \ cdot x ^ {p- 1} {\ bmod {p}} \\ amp; \ эквив 0 {\ bmod {p}} \ end {выровнено}}}$

следовательно, корни p -й степени из не существуют в. Ибо это подразумевает, что не может содержать корня из единицы. ${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {p}}$

Корни единства

Хотя корни -й степени единства не содержатся в, есть решения. Примечание ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle x ^ {p} -x = x (x ^ {p-1} -1)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} x ^ {p} -x amp; = px ^ {p-1} -1 \\ amp; \ Equiv -1 {\ bmod {p}} \ конец {выровнено}}}$

никогда не равен нулю, поэтому, если решение существует, оно обязательно поднимается до. Поскольку Фробениус дает все ненулевые элементы, являются решениями. Фактически, это единственные корни единства, содержащиеся в. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle а ^ {р} = а,}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

Используя лемму, можно "поднять" корень r многочлена f по модулю p ^k до нового корня s по модулю p ^{k +1}, так что r ≡ s mod p ^k (взяв m = 1; взяв большее m, следует по индукции). Фактически, корень по модулю p ^{k +1} также является корнем по модулю p ^k, поэтому корни по модулю p ^{k +1} - это в точности поднятие корней по модулю p ^k. Новый корень с конгруэнтен г по модулю р, так что новый корень также удовлетворяет Таким образом, подъем можно повторить, и исходя из решения г к о мы можем получить последовательность решений г K + 1, г K + 2,... того же сравнения для последовательно возрастающих степеней p, при условии, что начальный корень r k. Это также показывает, что f имеет то же количество корней mod p ^k, что и mod p ^{k +1}, mod p ^{k +2} или любую другую более высокую степень p, при условии, что все корни f mod p ^k простые. ${\ Displaystyle F '(s) \ Equiv F' (r) \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p}}.}$${\ Displaystyle е (х) \ эквив 0 {\ bmod {p}} ^ {к}}$${\ displaystyle f '(r_ {k}) \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p}}}$

Что произойдет с этим процессом, если r не является простым корневым модулем p ? Предполагать

${\ Displaystyle f (r) \ Equiv 0 {\ bmod {p}} ^ {k} \ quad {\ text {and}} \ quad f '(r) \ Equiv 0 {\ bmod {p}}.}$

Тогда следует То есть для всех целых t. Таким образом, у нас есть два случая: ${\ Displaystyle S \ Equiv г {\ bmod {p}} ^ {k}}$${\ Displaystyle f (s) \ Equiv f (r) {\ bmod {p}} ^ {k + 1}.}$${\ Displaystyle е (г + тп ^ {к}) \ экв ф (г) {\ bmod {р}} ^ {к + 1}}$

• Если тогда нет подъема r до корня f ( x) по модулю p ^{k +1}.${\ Displaystyle е (г) \ not \ эквив 0 {\ bmod {p}} ^ {к + 1}}$
• Если тогда любое поднятие r до модуля p ^{k +1} является корнем f ( x) по модулю p ^{k +1}.${\ Displaystyle е (г) \ эквив 0 {\ bmod {p}} ^ {к + 1}}$

Пример. Чтобы увидеть оба случая, рассмотрим два разных многочлена с p = 2:

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} +1}$и r = 1. Тогда и Мы имеем, что означает, что никакое поднятие 1 до модуля 4 не является корнем f ( x) по модулю 4. ${\ Displaystyle е (1) \ эквив 0 {\ bmod {2}}}$${\ Displaystyle F '(1) \ Equiv 0 {\ bmod {2}}.}$${\ Displaystyle е (1) \ not \ эквив 0 {\ bmod {4}}}$

${\ Displaystyle г (х) = х ^ {2} -17}$и r = 1. Тогда и Однако, поскольку мы можем поднять наше решение до модуля 4, и оба подъема (т.е. 1, 3) являются решениями. Производная по-прежнему равна 0 по модулю 2, поэтому априори мы не знаем, можем ли мы поднять их до модуля 8, но на самом деле можем, поскольку g (1) равно 0 по модулю 8, а g (3) равно 0 по модулю 8, давая решения в 1, 3, 5 и 7 по модулю 8. Поскольку из них только g (1) и g (7) равны 0 по модулю 16, мы можем поднять только 1 и 7 до модуля 16, давая 1, 7, 9 и 15 mod 16. Из них только 7 и 9 дают g ( x) = 0 mod 32, поэтому их можно поднять, давая 7, 9, 23 и 25 mod 32. Оказывается, что для любого целого числа k ≥ 3 существует четыре подъема 1 по модулю 2 до корня из g ( x) по модулю 2 ^k. ${\ Displaystyle г (1) \ эквив 0 {\ bmod {2}}}$${\ displaystyle g '(1) \ Equiv 0 {\ bmod {2}}.}$${\ Displaystyle г (1) \ эквив 0 {\ bmod {4}},}$

В p -адических числах, где мы можем понимать рациональные числа по модулю степеней p, пока знаменатель не кратен p, рекурсия от r k (корни по модулю p ^k) к r k +1 (корни по модулю p ^{k +1}) можно выразить гораздо более интуитивно. Вместо того, чтобы выбирать t как (y) целое число, которое решает сравнение

${\ displaystyle tf '(r_ {k}) \ Equiv - (f (r_ {k}) / p ^ {k}) {\ bmod {p}} ^ {m},}$

пусть t будет рациональным числом ( p ^k здесь на самом деле не знаменатель, поскольку f ( r k) делится на p ^k):

${\ displaystyle - (е (r_ {k}) / p ^ {k}) / f '(r_ {k}).}$

Затем установите

${\ displaystyle r_ {k + 1} = r_ {k} + tp ^ {k} = r_ {k} - {\ frac {f (r_ {k})} {f '(r_ {k})}}. }$

Эта дробь может не быть целым числом, но это p -адическое целое число, и последовательность чисел r k сходится в p -адических целых числах к корню из f ( x) = 0. Более того, отображаемая рекурсивная формула для (новое) число r k +1 в терминах r k - это в точности метод Ньютона для нахождения корней уравнений в действительных числах.

Работая непосредственно в p- адике и используя p -адическое абсолютное значение, мы получаем версию леммы Гензеля, которая может быть применена, даже если мы начнем с решения f ( a) ≡ 0 mod p, так что нам просто нужно убедитесь, что число не равно 0. Эта более общая версия выглядит следующим образом: если существует целое число a, которое удовлетворяет: ${\ displaystyle f '(a) \ Equiv 0 {\ bmod {p}}.}$${\ displaystyle f '(а)}$

${\ Displaystyle | е (а) | _ {р} lt;| е '(а) | _ {р} ^ {2},}$

тогда существует единственное p -адическое целое число b такое, что f ( b) = 0 и построение b сводится к тому, чтобы показать, что рекурсия из метода Ньютона с начальным значением a сходится в p -адике, и мы позволяем b быть пределом. Уникальность b как корня, подходящего к условию, требует дополнительной работы. ${\ displaystyle | ba | _ {p} lt;| f '(a) | _ {p}.}$${\ displaystyle | ba | _ {p} lt;| f '(a) | _ {p}}$

Приведенная выше формулировка леммы Гензеля (взяв) является частным случаем этой более общей версии, поскольку условия f ( a) ≡ 0 mod p и говорят, что и${\ displaystyle m = 1}$${\ Displaystyle F '(а) \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle | е (а) | _ {р} lt;1}$${\ displaystyle | f '(a) | _ {p} = 1.}$

Предположим, что p - нечетное простое число, а a - ненулевой квадратичный вычет по модулю p. Тогда лемма Гензеля следует, что имеет квадратный корень в кольце р -адических чисел Действительно, пусть Если г является квадратным корнем с по модулю р, то: ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}.}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -a.}$

${\ Displaystyle е (г) = г ^ {2} -а \ эквив 0 {\ bmod {р}} \ квад {\ текст {и}} \ квад ф '(г) = 2р \ не \ экви 0 {\ bmod {p}},}$

где второе условие зависит от того, что p нечетное. Базовая версия леммы Гензеля говорит нам, что, начиная с r 1 = r, мы можем рекурсивно построить последовательность целых чисел, такую ​​что: ${\ displaystyle \ {r_ {k} \}}$

${\ Displaystyle R_ {К + 1} \ Equiv R_ {K} {\ bmod {p}} ^ {k}, \ quad r_ {k} ^ {2} \ Equiv a {\ bmod {p}} ^ {k }.}$

Эта последовательность сходится к некоторому p -адическому целому числу b, для которого b ² = a. В самом деле, б является единственным корень квадратный из в конгруэнтны г 1 по модулю р. Наоборот, если a - полный квадрат в и не делится на p, то это ненулевой квадратичный вычет по модулю p. Обратите внимание, что квадратичный закон взаимности позволяет легко проверить, является ли a ненулевым квадратичным вычетом по модулю p, таким образом, мы получаем практический способ определить, какие p -адические числа (при нечетном p) имеют p -адический квадратный корень, и он может распространяется на случай p = 2 с помощью более общей версии леммы Гензеля (ниже приводится пример с 2-адическими квадратными корнями из 17). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Чтобы сделать обсуждение выше более явным, давайте найдем «квадратный корень из 2» (решение) в 7-адических целых числах. По модулю 7 одно решение равно 3 (мы также можем взять 4), поэтому мы устанавливаем. Лемма Гензеля позволяет нам найти следующее: ${\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$${\ displaystyle r_ {1} = 3}$${\ displaystyle r_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} f (r_ {1}) amp; = 3 ^ {2} -2 = 7 \\ f (r_ {1}) / p ^ {1} amp; = 7/7 = 1 \ \ f '(r_ {1}) amp; = 2r_ {1} = 6 \ end {выровнено}}}$

На основании чего выражение

${\ displaystyle tf '(r_ {1}) \ Equiv - (f (r_ {1}) / p ^ {k}) {\ bmod {p}},}$

превращается в:

${\ Displaystyle т \ CDOT 6 \ эквив -1 {\ bmod {7}}}$

что подразумевает сейчас: ${\ displaystyle t = 1.}$

${\ displaystyle r_ {2} = r_ {1} + tp ^ {1} = 3 + 1 \ cdot 7 = 10 = 13_ {7}.}$

И, конечно же, (если бы мы использовали рекурсию метода Ньютона непосредственно в 7-адиках, то и) ${\ displaystyle 10 ^ {2} \ Equiv 2 {\ bmod {7}} ^ {2}.}$${\ displaystyle r_ {2} = r_ {1} -f (r_ {1}) / f '(r_ {1}) = 3-7 / 6 = 11/6,}$${\ Displaystyle 11/6 \ Equiv 10 {\ bmod {7}} ^ {2}.}$

Можем продолжить и найти. Каждый раз, когда мы выполняем вычисление (то есть для каждого последующего значения k), добавляется еще одна цифра с основанием 7 для следующей более высокой степени 7. В 7-адических целых числах эта последовательность сходится, и предел представляет собой квадрат корень из 2, в котором есть начальное 7-адическое разложение ${\ displaystyle r_ {3} = 108 = 3 + 7 + 2 \ cdot 7 ^ {2} = 213_ {7}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {7}}$

${\ displaystyle 3 + 7 + 2 \ cdot 7 ^ {2} +6 \ cdot 7 ^ {3} + 7 ^ {4} +2 \ cdot 7 ^ {5} + 7 ^ {6} +2 \ cdot 7 ^ {7} +4 \ cdot 7 ^ {8} + \ cdots.}$

Если бы мы начали с первоначального выбора, то лемма Гензеля произвела бы квадратный корень из 2, в котором конгруэнтно 4 (mod 7) вместо 3 (mod 7), и фактически этот второй квадратный корень будет отрицательным из первого квадратного корня. (что согласуется с 4 = −3 mod 7). ${\ displaystyle r_ {1} = 4}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {7}}$

В качестве примера, когда исходная версия леммы Гензеля не верна, но более общая, пусть и Then и так ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -17}$${\ displaystyle a = 1.}$${\ displaystyle f (a) = - 16}$${\ displaystyle f '(а) = 2,}$

${\ Displaystyle | е (а) | _ {2} lt;| е '(а) | _ {2} ^ {2},}$

что означает, существует единственное 2-адическое число Ь, удовлетворяющий

${\ displaystyle b ^ {2} = 17 \ quad {\ text {and}} \ quad | ba | _ {2} lt;| f '(a) | _ {2} = {\ frac {1} {2} },}$

т.е. b ≡ 1 mod 4. В 2-адических целых числах есть два квадратных корня из 17, различающиеся знаком, и хотя они конгруэнтны по модулю 2, они не конгруэнтны по модулю 4. Это согласуется с общей версией формулы Хензеля. Лемма дает нам только уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 1 по модулю 4, а не по модулю 2. Если бы мы начали с начального приближенного корня a = 3, то мы могли бы снова применить более общую лемму Гензеля, чтобы найти уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который сравним с 3 по модулю 4. Это другой 2-адический квадратный корень из 17.

С точки зрения подъема корней с модуля 2 ^k до 2 ^{k +1}, подъемы, начиная с корня 1 по модулю 2, выглядят следующим образом: ${\ displaystyle x ^ {2} -17}$

1 мод 2 -gt; 1, 3 мод 4

1 мод 4 -gt; 1, 5 мод 8 и 3 мод 4 ---gt; 3, 7 мод 8

1 mod 8 -gt; 1, 9 mod 16 и 7 mod 8 ---gt; 7, 15 mod 16, в то время как 3 mod 8 и 5 mod 8 не поднимаются до корней mod 16

9 mod 16 -gt; 9, 25 mod 32 и 7 mod 16 -gt; 7, 23 mod 16, в то время как 1 mod 16 и 15 mod 16 не поднимают до корней mod 32.

Для каждого k не менее 3 существует четыре корня из x ² - 17 mod 2 ^k, но если мы посмотрим на их 2-адические разложения, то увидим, что попарно они сходятся только к двум 2-адическим пределам. Например, четыре корня по модулю 32 разбиваются на две пары корней, каждая из которых выглядит одинаково по модулю 16:

9 = 1 + 2 ³ и 25 = 1 + 2 ³ + 2 ⁴.

7 = 1 + 2 + 2 ² и 23 = 1 + 2 + 2 ² + 2 ⁴.

2-адические квадратные корни из 17 имеют разложения

${\ displaystyle 1 + 2 ^ {3} + 2 ^ {5} + 2 ^ {6} + 2 ^ {7} + 2 ^ {9} + 2 ^ {10} + \ cdots}$

${\ displaystyle 1 + 2 + 2 ^ {2} + 2 ^ {4} + 2 ^ {8} + 2 ^ {11} + \ cdots}$

Другой пример, в котором мы можем использовать более общую версию леммы Гензеля, но не базовую, - это доказательство того, что любое целое 3-адическое число c ≡ 1 mod 9 является кубом в Let и принимает начальное приближение a = 1. Основная лемма Гензеля не может использоваться для поиска корней f ( x), поскольку для каждого r. Чтобы применить общую версию леммы Гензеля, мы хотим, что означает То есть, если c ≡ 1 mod 27, то общая лемма Гензеля говорит нам, что f ( x) имеет 3-адический корень, поэтому c является 3-адическим кубом. Однако мы хотели получить этот результат при более слабом условии, что c ≡ 1 mod 9. Если c ≡ 1 mod 9, то c ≡ 1, 10 или 19 mod 27. Мы можем применить общую лемму Гензеля три раза в зависимости от значения of c mod 27: если c ≡ 1 mod 27, тогда используйте a = 1, если c ≡ 10 mod 27, тогда используйте a = 4 (поскольку 4 является корнем f ( x) mod 27), и если c ≡ 19 mod 27 тогда используйте a = 7. (Неверно, что каждый c ≡ 1 mod 3 является 3-адическим кубом, например, 4 не является 3-адическим кубом, так как это не куб по модулю 9.) ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}.}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} -c}$${\ Displaystyle F '(г) \ эквив 0 {\ bmod {3}}}$${\ Displaystyle | е (1) | _ {3} lt;| f '(1) | _ {3} ^ {2},}$${\ Displaystyle c \ Equiv 1 {\ bmod {2}} 7.}$

Аналогичным образом, после некоторой предварительной работы, лемма Гензеля может быть использована, чтобы показать, что для любого нечетного простого числа p любое p -адическое целое число c, сравнимое с 1 по модулю p ^2, является p -й степенью в (Это неверно для p = 2.) ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}.}$

Предположим, что A - коммутативное кольцо, полное относительно идеала, и пусть a ∈ A называется «приближенным корнем» f, если ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}},}$${\ Displaystyle е (х) \ в А [х].}$

${\ displaystyle f (a) \ Equiv 0 {\ bmod {f}} '(a) ^ {2} {\ mathfrak {m}}.}$

Если f имеет приближенный корень, то он имеет точный корень b ∈ A, «близкий к» a ; то есть,

${\ displaystyle f (b) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad b \ Equiv a {\ bmod {\ mathfrak {m}}}.}$

Кроме того, если не является делителем нуля, то b единственно. ${\ displaystyle f '(а)}$

Этот результат можно обобщить на несколько переменных следующим образом:

Теорема. Пусть коммутативное кольцо, которое является полным относительно идеала Пусть бы систему п многочленов от п переменных над А. Просмотр как отображение А ^н к себе, и пусть обозначим его матрицу Якоби. Предположим, что a = ( a 1,..., a n) ∈ A ⁿ является приближенным решением f = 0 в том смысле, что${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} \ подмножество A.}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ in A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}),}$${\ Displaystyle J _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})}$

${\ Displaystyle е_ {я} (\ mathbf {a}) \ Equiv 0 {\ bmod {(}} \ det J _ {\ mathbf {f}} (а)) ^ {2} {\ mathfrak {m}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant n.}$

Тогда существует некоторый b = ( b 1,..., b n) ∈ A ⁿ такой, что f ( b) = 0, т. Е.

${\ displaystyle f_ {i} (\ mathbf {b}) = 0, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant n.}$

Кроме того, это решение «близко» к a в том смысле, что

${\ displaystyle b_ {i} \ Equiv a_ {i} {\ bmod {\ det}} J _ {\ mathbf {f}} (a) {\ mathfrak {m}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant n. }$

В частном случае, если для всех i и является единицей в A, то существует решение f ( b) = 0 с для всех i. ${\ Displaystyle е_ {я} (\ mathbf {а}) \ эквив 0 {\ bmod {\ mathfrak {m}}}}$${\ Displaystyle \ Det J _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {a})}$${\ Displaystyle b_ {я} \ эквив а_ {я} {\ bmod {\ mathfrak {м}}}}$

Когда n = 1, a = a является элементом A и гипотезы этой многомерной леммы Гензеля сводятся к тем, которые были сформулированы в лемме Гензеля об одной переменной. ${\ displaystyle J _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {a}) = J_ {f} (a) = f '(a).}$

Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало гензелевым свойством: Горо Адзумая в 1950 году определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее гензелевскому свойству для максимального идеала m, чтобы быть гензелевым кольцом.

Масаёши Нагата доказал в 1950-х годах, что для любого коммутативного локального кольца A с максимальным идеалом m всегда существует наименьшее кольцо A ^h, содержащее A такое, что A ^h является гензелевым относительно m A ^h. Это ^ч называется гензелизацией из A. Если является нетеровой, ^ч будет также нетеровой и ^ч явно алгебраическая как она строится как предел этальных окрестностей. Это означает, что A ^h обычно намного меньше завершения Â при сохранении гензелевского свойства и в той же категории.

• Теорема Хассе – Минковского
• Многоугольник Ньютона
• Локально компактное поле
• Лемма о поднятии экспоненты

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1, ISBN   978-0-387-94269-8, MR   1322960
• Милн, Дж. Г. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN   978-0-691-08238-7