p адический анализ

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами на их дуальной группе Понтрягина

В математике, р -адическая анализ является филиалом теории чисел, которая посвящена математическим анализом функций р -адических чисел.

Теория комплекснозначных числовых функций от p -адических чисел является частью теории локально компактных групп. Обычный смысл p -адического анализа - это теория p -адико-значных функций на интересующих нас пространствах.

Применения p -адического анализа были в основном в теории чисел, где он играет важную роль в диофантовой геометрии и диофантовом приближении. Некоторые приложения потребовали развития p -адического функционального анализа и спектральной теории. Во многом р -адической анализ менее тонкая, чем классический анализ, так как ультраметрические неравенства средств, например, что сходимость бесконечного ряда из р -адических чисел гораздо проще. Топологические векторные пространства над p -адическими полями имеют отличительные особенности; например, аспекты, относящиеся к выпуклости и теореме Хана – Банаха, различны.

• 1 Важные результаты
  • 1.1 Теорема Островского
  • 1.2 Теорема Малера
  • 1.3 Лемма Гензеля
• 2 Приложения
  • 2.1 P-адическая квантовая механика
  • 2.2 Локально-глобальный принцип
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Дальнейшее чтение

Теорема Островского

Основная статья: теорема Островского

Теорема Островского, принадлежащая Александру Островскому (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

Теорема Малера

Основная статья: теорема Малера

Теорема Малера, введенная Куртом Малером, выражает непрерывные p -адические функции в терминах полиномов.

В любом поле в характеристике 0, один имеет следующий результат. Позволять

${\ Displaystyle (\ Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x)}$

быть оператором прямой разницы. Тогда для полиномиальных функций f мы имеем ряд Ньютона :

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ Delta ^ {k} f) (0) {x \ choose k},}$

куда

${\ displaystyle {x \ choose k} = {\ frac {x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)} {k!}}}$

- k- й полином биномиальных коэффициентов.

Над полем действительных чисел предположение о том, что функция f является многочленом, можно ослабить, но нельзя полностью ослабить до простой непрерывности.

Малер доказал следующий результат:

Малера теорема: если F является непрерывным р-адических значной функции на р -адических чисел, то же тождество.

Лемма Гензеля

Основная статья: лемма Гензеля

Лемма Гензеля, также известная как лемма Гензеля о поднятии, названная в честь Курта Гензеля, является результатом модульной арифметики, утверждающим, что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю простого числа p, то этот корень соответствует единственному корню того же уравнения по модулю любой высшей степени p, который можно найти, итеративно « поднимая » решение по модулю последовательных степеней p. В более общем смысле он используется как общее название для аналогов полных коммутативных колец (включая p -адические поля, в частности) метода Ньютона для решения уравнений. Поскольку p -адический анализ в некотором смысле проще реального анализа, существуют относительно простые критерии, гарантирующие корень многочлена.

Чтобы сформулировать результат, пусть будет многочлен с целыми (или p- адическими целыми) коэффициентами, и пусть m, k будут положительными целыми числами, такими, что m ≤ k. Если r - такое целое число, что ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle е (г) \ эквив 0 {\ pmod {p ^ {k}}}}$ а также ${\ Displaystyle F '(г) \ not \ Equiv 0 {\ pmod {p}}}$

то существует такое целое число s, что

${\ Displaystyle е (ы) \ эквив 0 {\ pmod {p ^ {k + m}}}}$ а также ${\ displaystyle r \ Equiv s {\ pmod {p ^ {k}}}.}$

Кроме того, это s единственно по модулю p ^{k + m} и может быть явно вычислено как

${\ displaystyle s = r + tp ^ {k}}$ куда ${\ displaystyle t = - {\ frac {f (r)} {p ^ {k}}} \ cdot (f '(r) ^ {- 1}).}$

P-адическая квантовая механика

Основная статья: P-адическая квантовая механика

P-адическая квантовая механика - относительно недавний подход к пониманию природы фундаментальной физики. Это приложение p-адического анализа к квантовой механике. В р-адические числа являются интуитивно арифметическая система (но геометрически противоречит здравому смыслу), который был обнаружен немецким математиком Kurt Гензелем примерно 1899 и немецкий математик Куммер (1810-1893) ранее в элементарной форме. Тесно связанные адели и идели были введены в 1930 году Шевалле и Вейль. Их исследования теперь превратились в важный раздел математики. Иногда их применяли к физическим наукам, но только после публикации русского математика Воловича в 1987 году этот предмет стал серьезно восприниматься в мире физики. В настоящее время есть сотни исследовательских статей по этой теме, а также международные журналы.

Есть два основных подхода к этому вопросу. Первый рассматривает частицы в p-адической потенциальной яме, и цель состоит в том, чтобы найти решения с плавно изменяющимися комплексными волновыми функциями. Здесь решения должны иметь некоторое знакомство с обычной жизнью. Второй рассматривает частицы в p-адических потенциальных ямах, и цель состоит в том, чтобы найти p-адические волновые функции. В этом случае физическая интерпретация более трудна. Однако математика часто демонстрирует поразительные особенности, поэтому люди продолжают ее изучать. В 2005 году один ученый охарактеризовал ситуацию следующим образом: «Я просто не могу думать обо всем этом как о череде забавных случайностей и отвергать это как« игрушечную модель ». Я думаю, что дальнейшая работа над этим необходима и стоит».

Локально-глобальный принцип

Основная статья: Локально-глобальный принцип

Локально-глобальный принцип Хельмута Хассе, также известный как принцип Хассе, заключается в том, что можно найти целочисленное решение уравнения, используя китайскую теорему об остатках для объединения решений по модулю степеней каждого простого числа. Это обрабатывается путем анализа уравнения в доработках этих рациональных чисел : в действительных числах и р -адических числах. Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p.

• Локально компактное пространство
• Реальный анализ

• Коблиц, Нил (1980). p-адический анализ: краткий курс последних работ. Серия лекций Лондонского математического общества. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-28060-5. Zbl   0439.12011.
• Касселс, JWS (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-31525-5. Zbl   0595.12006.
• Чистов, Александр; Карпинский, Марек (1997). «Сложность определения разрешимости полиномиальных уравнений над p-адическими целыми числами». Univ. Боннских отчетов CS 85183. S2CID   120604553.
• Карпинский, Марек ; ван дер Поортен, Альф; Шпарлинский, Игорь (2000). «Нулевое тестирование p-адических и модулярных многочленов». Теоретическая информатика. 233 (1-2): 309-317. DOI : 10.1016 / S0304-3975 (99) 00133-4. ( препринт )
• Курс p-адического анализа, Ален Роберт, Springer, 2000, ISBN   978-0-387-98669-2
• Ультраметрическое исчисление: введение в P-адический анализ, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN   978-0-521-03287-2
• P-адические дифференциальные уравнения, Киран С. Кедлая, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-76879-5