Группа Галуа

В математике, в области абстрактной алгебры известная как теория Галуа, группа Галуа определенного типа расширения поля представляет собой конкретную группу, связанную с расширением поля. Изучение расширений полей и их связи с полиномами, которые их порождают через группы Галуа, называется теорией Галуа, названной так в честь Эвариста Галуа, который впервые их обнаружил.

Для более элементарного обсуждения групп Галуа в терминах групп перестановок см. Статью о теории Галуа.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Группа Галуа полинома
• 2 Структура групп Галуа
  • 2.1 Основная теорема теории Галуа
  • 2.2 Структура решетки
    • 2.2.1 Индукция
• 3 Примеры
  • 3.1 Вычислительные инструменты
    • 3.1.1 Мощность группы Галуа и степень расширения поля
    • 3.1.2 Критерий Эйзенштейна
  • 3.2 Тривиальная группа
  • 3.3 Конечные абелевы группы
    • 3.3.1 Квадратичные расширения
    • 3.3.2 Произведение квадратичных расширения
    • 3.3.3 Циклотомические расширения
    • 3.3.4 Конечные поля
    • 3.3.5 Примеры степени 4
  • 3.4 Конечные неабелевы группы
    • 3.4.1 Кватернионная группа
    • 3.4.2 Симметричная группа простого порядка
  • 3.5 Бесконечные группы
• 4 Свойства
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Определение

Предположим, что $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$является расширением field $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$(записывается как $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$и читается как «E вместо F "). автоморфизм из $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$определяется как автоморфизм $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$который исправляет $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$точечно. Другими словами, автоморфизм $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$- это изоморфизм $\alpha :\; E\; \to \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha:\; E\; \backslash \; to\; E\}$так, чтобы $\alpha \; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (x)\; =\; x\}$для каждого $x\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; F\}$. Множество всех автоморфизмов $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$образует группу с операцией композиции функций. Эту группу иногда обозначают $Aut\; \; (E\; /\; F).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (E\; /\; F).\}$

Если $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$является расширением Галуа, тогда $Aut\; \; (E\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (E\; /\; F)\}$называется группой Галуа из $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$и обычно обозначается как $Gal\; \; (E\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; F)\}$.

Если $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$не является расширением Галуа, тогда группа Галуа $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$иногда определяется как $Aut\; \; (K\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (K\; /\; F)\}$, где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- это Замыкание Галуа из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$.

Группа Галуа полинома

Другое определение группы Галуа происходит от группы Галуа полинома $f\; \in \; F\; [\; х]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; F\; [x]\}$. Если существует поле $K\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; /\; F\}$такое, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$множится как произведение линейных многочленов

$е\; (Икс)\; знак\; равно\; (Икс\; -\; \alpha \; 1)\; \cdots \; (Икс\; -\; \alpha \; К)\; \in \; К\; [Икс]\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х)\; =\; (х-\; \backslash \; альфа\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (х-\; \backslash \; альфа\; \_\; \{k\})\; \backslash \; in\; K\; [x]\}$

над полем $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, затем группа Галуа многочлена $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$определяется как группа Галуа $K\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; /\; F\}$, где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$минимально среди всех таких полей.

Структура групп Галуа

Основная теорема теории Галуа

Одна из важных структурных теорем теории Галуа исходит из фундаментальной теоремы теории Галуа. Это означает, что для данного конечного расширения Галуа $K\; /\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; /\; k\}$существует взаимно однозначное соответствие между набором подполей $k\; \subset \; E\; \subset \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; подмножество\; E\; \backslash \; subset\; K\}$и подгруппы $H\; \subset \; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; subset\; G.\}$Тогда $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$задается набором инвариантов $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$под действием $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, поэтому

$E\; =\; KH\; =\; \{a\; \in \; K:\; ga\; =\; a,\; где\; g\; \in \; H\}\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; K\; ^\; \{H\}\; =\; \backslash \; \{a\; \backslash \; in\; K:\; ga\; =\; a\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; g\; \backslash \; in\; H\; \backslash \}\}$

Более того, если $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- нормальная подгруппа, тогда $G\; /\; H\; \cong \; Gal\; \; (E\; /\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; k)\}$. И наоборот, если $E\; /\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; k\}$является нормальным расширением поля, то соответствующая подгруппа в $Gal\; \; (K\; /\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Gal\}\; (K\; /\; k)\}$- нормальная группа.

Структура решетки

Предположим, $K\; 1,\; K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\},\; K\_\; \{2\}\}$являются расширениями Галуа для $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$с группами Галуа $G\; 1,\; G\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\},\; G\_\; \{2\}.\}$Поле $K\; 1\; K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; K\_\; \{2\}\}$с группой Галуа $G\; =\; Gal\; \; (K\; 1\; K\; 2\; /\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (K\_\; \{1\}\; K\_\; \{2\}\; /\; k)\}$имеет инъекцию $G\; \to \; G\; 1\; \times \; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; to\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; G\_\; \{2\}\}$, который является изоморфизмом всякий раз, когда $K\; 1\; \cap \; K\; 2\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; cap\; K\_\; \{2\}\; =\; k\}$.

Индукция

Как следствие, это можно ввести конечное число раз. Учитывая расширения Галуа $K\; 1,\dots ,\; K\; n\; /\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; K\_\; \{n\}\; /\; k\}$, где $K\; i\; +\; 1\; \cap \; (K\; 1\; \cdots \; K\; i)\; =\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; cap\; (K\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; K\_\; \{i\})\; =\; k,\}$, то существует изоморфизм соответствующего Галуа группы:

$Gal\; \; (K\; 1\; \cdots \; K\; n\; /\; k)\; \cong \; G\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; G\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (K\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; K\_\; \{n\}\; /\; k)\; \backslash \; cong\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; G\_\; \{n\}.\}$

Примеры

В следующих примерах $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это поле, а $C,\; R,\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; mathbb\; \{\; Q\}\}$- это поля комплексных, действительных и рациональных чисел соответственно. Обозначение F (a) указывает расширение поля, полученное путем присоединения элемента a к полю F.

Вычислительные инструменты

Мощность группы Галуа и степень расширение поля

Одно из основных утверждений, требуемых для полного определения групп Галуа конечного расширения поля, заключается в следующем: для заданного многочлена $f\; (x)\; \in \; F\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\; x)\; \backslash \; in\; F\; [x]\}$, пусть $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$будет его расширением поля разделения. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть

$|\; Gal\; \; (E\; /\; F)\; |\; =\; [E:\; F]\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; F)\; |\; =\; [E:\; F]\}$

критерий Эйзенштейна

Полезный инструмент для определения группы Галуа многочлена происходит из критерия Эйзенштейна. Если многочлен $f\; \in \; F\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; F\; [x]\}$делится на неприводимые многочлены $f\; =\; f\; 1\; \cdots \; fk\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\_\; \{1\; \}\; \backslash \; cdots\; f\_\; \{k\}\}$группа Галуа $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$может быть определена с использованием групп Галуа каждого $fi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\}$, поскольку группа Галуа $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$содержит каждую из групп Галуа $fi.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}.\}$

Тривиальная группа

$Gal\; \; (F\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (F\; /\; F)\}$- тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.

Другой пример тривиальной группы Галуа - это $Aut\; \; (R\; /\; Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$Действительно, можно показать, что любой автоморфизм $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}$должен сохранять порядок действительных чисел и, следовательно, должен быть идентичностью.

Рассмотрим поле $K\; =\; Q\; (2\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}).\}$Группа $Aut\; \; (K\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Aut\}\; (K\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$содержит только тождественный автоморфизм. Это потому, что $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$не является нормальным расширением, поскольку два других кубических корня из $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$, $exp\; \; (2\; \pi \; я\; 3)\; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}\}$и $ехр\; \; (4\; \pi \; я\; 3)\; 2\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{4\; \backslash \; pi\; i\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\; 2\}\},\}$отсутствуют в расширении - другими словами, K не является полем расщепления.

Конечные абелевы группы

Группа Галуа $Gal\; \; (\; C\; /\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$имеет два элемента: тождественный автоморфизм и автоморфизм комплексного сопряжения.

Квадратичные расширения

Расширение поля степени два $Q\; (2)\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{\; Q\}\}$имеет группу Галуа $Gal\; \; (Q\; (2)\; /\; Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$с двумя элементами, тождественным автоморфизмом и автоморфизмом $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, который меняет местами √2 и −√2. Этот пример является обобщением для простого числа $p\; \in \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}.\}$

Произведение квадратичных расширений

Используя решеточную структуру групп Галуа, для не равных простых чисел $p\; 1,\dots ,\; pk\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{k\}\}$группа Галуа $Q\; (p\; 1,\dots ,\; pk)\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; right)\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$is

$Gal\; \; (Q\; (p\; 1,\dots ,\; pk)\; /\; Q)\; \cong \; Gal\; \; (Q\; (p\; 1)\; /\; Q)\; \times \; \cdots \; \times \; Gal\; \; (Q\; (pk)\; /\; Q)\; \cong \; Z\; /\; 2\; \times \; \cdots \; \times \; Z\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Gal\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{k\}\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{\; Gal\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{1\}\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{k\}\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\}$

Циклотомические расширения

Другой полезный класс примеров исходит из полей разбиения циклотомических многочленов. Это многочлены $\Phi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{n\}\}$, определенные как

$\Phi \; n\; (x)\; =\; \prod \; 1\; \le \; k\; \le \; n\; НОД\; (k,\; n)\; =\; 1\; (\; Икс\; -\; е\; 2\; ik\; \pi \; N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; \backslash \; Leq\; k\; \backslash \; Leq\; n\; \backslash \backslash \backslash \; gcd\; (k,\; n)\; =\; 1\; \backslash \; end\; \{матрица\}\}\; \backslash \; left\; (xe\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2ik\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}$

со степенью $\varphi \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (n)\}$, Общая функция Эйлера в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Тогда поле разделения по $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$равно $Q\; (\zeta \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{n\})\; \}$и имеет автоморфизмы $\sigma \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\}$отправка $\zeta \; n\; \mapsto \; \zeta \; na\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\; ^\; \{a\}\}$для относительно простое с $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа. Если $n\; =\; p\; 1\; a\; 1\; \cdots \; pkak,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{a\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{k\}\; ^\; \{a\_\; \{k\}\},\}$тогда

$Гал\; \; (Q\; (\zeta \; n)\; /\; Q)\; \cong \; \prod \; ai\; Gal\; \; (Q\; (\zeta \; piai)\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{n\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; prod\; \_\; \{a\_\; \{i\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\_\; \{i\}\; ^\; \{a\_\; \{i\}\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; right)\}$

Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является простым числом $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, тогда a Следствием этого является

$Gal\; \; (Q\; (\zeta \; p)\; /\; Q)\; \cong \; Z\; /\; (p\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; (p-1)\}$

Фактически, любую конечную абелеву группу можно найти как группу Галуа некоторого подполя расширения кругового поля с помощью Кронекера –Теорема Вебера.

Конечные поля

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами исходит из конечных полей. Если q - степень простого числа, и если $F\; =\; F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$и $E\; =\; F\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\; ^\; \{n\}\}\}$обозначают поля Галуа порядка $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$и $qn\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{n\}\}$соответственно, затем $Gal\; \; (E\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; F)\}$является циклическим порядка n и порождается гомоморфизмом Фробениуса.

Примеры степени 4

Расширение поля $Q\; (2,\; 3)\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$- пример поля степени $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$расширение. У этого есть два автоморфизма $\sigma ,\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau\}$, где $\sigma \; (2)\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$и $\tau \; (3)\; =\; -\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}.\}$Поскольку эти два генератора определяют группу порядка $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$, четырехгруппа Клейна, они определяют всю группу Галуа.

Другой пример дается из поля разделения $E\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$полинома

$f\; (x)\; =\; x\; 4\; +\; x\; 3\; +\; x\; 2\; +\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{4\}\; +\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1\}$

Обратите внимание, потому что $(x\; -\; 1)\; f\; (x)\; =\; x\; 5-1,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{5\}\; -1,\}$корни $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$равны $exp\; \; (2\; k\; \pi \; я\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{2k\; \backslash \; pi\; i\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right).\}$Есть автоморфизмы

$\{\sigma \; l:\; E\; \to \; E\; exp\; \; (2\; \pi \; я\; 5)\; \mapsto \; (ехр\; \; (2\; \pi \; я\; 5))\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{l\}:\; E\; \backslash \; to\; E\; \backslash \backslash \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; left\; (\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{l\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

создание группы порядка $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$. Поскольку $\sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}$генерирует эту группу, группа Галуа изоморфна $Z\; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 4\}$.

Конечные неабелевы группы

Теперь рассмотрим $L\; =\; Q\; (2\; 3,\; \omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\; \},\; \backslash \; omega),\}$где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- примитивный кубический корень из единицы. Группа $Gal\; \; (L\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$изоморфна S 3, диэдральная группа порядка 6, и L фактически является полем разделения $x\; 3-2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -2\}$над $Q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}.\}$

Группа кватернионов

Группа кватернионов может быть найдена как группа Галуа расширения поля $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$. Например, расширение поля

$Q\; (2,\; 3,\; (2\; +\; 2)\; (3\; +\; 3))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; \}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{(2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}$

имеет заданную группу Галуа.

Симметричная группа простого порядка

Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является неприводимым многочленом простой степени $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$с рациональными коэффициентами и ровно двумя не действительными корнями, то группа Галуа $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является полной симметричной группой $S\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{p\}.\}$

Например, $f\; (x)\; =\; x\; 5–4\; x\; +\; 2\; \in \; Q\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{5\}\; -4x\; +2\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [x]\}$неприводимо из критерия Эйзенштейна. Построение графика $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$с помощью графического программного обеспечения или бумаги показывает, что он имеет три реальных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что его группа Галуа равна $S\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{5\}\}$.

Бесконечные группы

Базовым примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является $Aut\; \; (C\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$, поскольку он содержит каждое расширение алгебраического поля $E\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$. Например, расширения поля $Q\; (a)\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$для бесквадратного элемент $a\; \in \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$каждый имеет уникальную степень $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$автоморфизм, вызывая автоморфизм в $Aut\; \; (C\; /\; Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$

Один из наиболее изученных классов примеров бесконечных групп Галуа происходит от Абсолютной группы Галуа, которые являются проконечными группами. Это бесконечные группы, определенные как обратный предел групп Галуа всех конечных расширений Галуа $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$для фиксированного поля. Обратный предел обозначается

$Gal\; \; (F\; ¯\; /\; F):\; =\; lim\; \leftarrow \; E\; /\; F\; конечное\; разделимое\; \; Gal\; \; (E\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\{\backslash \; overline\; \{F\}\}\; /\; F):\; =\; \backslash \; varprojlim\; \_\; \{E\; /\; F\; \{\backslash \; text\; \{конечное\; разделимое\}\}\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; F)\}\}$

где $F\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{F\; \}\}\}$- разделимое закрытие поля. Обратите внимание, что эта группа является Топологической группой. Вот несколько основных примеров: $Gal\; \; (Q\; ¯\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$и

$Гал\; \; (F\; ¯\; q\; /\; F\; q)\; \cong \; Z\; ^\; \cong \; \prod \; p\; Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{F\}\}\}\; \_\; \{q\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{F\; \}\; \_\; \{q\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$

Другой легко вычислимый пример взят из расширения поля $Q\; (2,\; 3,\; 5,\dots )\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\},\; \backslash \; ldots)\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, содержащий квадратный корень из каждого положительного простого числа. У него есть группа Галуа

$Gal\; \; (Q\; (2,\; 3,\; 5,\dots )\; /\; Q)\; \cong \; \prod \; p\; Z\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\},\; \backslash \; ldots)\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\}$

которые могут быть выводится из проконечного предела

$\cdots \; \to \; Gal\; \; (Q\; (2,\; 3,\; 5)\; /\; Q)\; \to \; Gal\; \; (Q\; (2,\; 3)\; /\; Q)\; \to \; Gal\; \; (Q\; (2)\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdots\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$

и с использованием вычисления групп Галуа.

Свойства

Значение расширения Галуа в том, что оно подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа : замкнутой (по отношению к топологии Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.

Если $E\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; F\}$является расширением Галуа, то $Gal\; \; (E\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (E\; /\; F)\}$может быть задана топология, называемая топологией Крулля, которая превращается в проконечную группу.

См. Также

• Основная теорема Теория Галуа
• Абсолютная группа Галуа
• Группа Демушкина
• Разрешаемая группа

Примечания

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (2009) [1985]. Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

Внешние ссылки

• , Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Группа Галуа и группа Кватерниона
• «Группы Галуа». MathPages.com.