Слабая производная

редактировать

В математике слабая производная является обобщением концепции производной функции (сильная производная) для функций, которые не предполагаются дифференцируемыми, но только интегрируемыми, т.е. к li е в пробел L $L 1 ([a, b]) {\ displaystyle L ^ {1} ([a, b])}$ $L ^ 1 ([a, b])$ . См. дистрибутивы для более общего определения.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Расширения
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Пусть $u {\ displaystyle u}$ $u$ быть функцией в пространстве Лебега $L 1 ([a, b]) {\ displaystyle L ^ {1} ([a, b])}$ $L ^ 1 ([a, b])$ . Мы говорим, что $v {\ displaystyle v}$ $v$ в $L 1 ([a, b]) {\ displaystyle L ^ {1} ([a, b])}$ $L ^ 1 ([a, b])$ является слабой производной от $u {\ displaystyle u}$ $u$ , если

∫ abu (t) φ ′ (t) dt = - ∫ abv (t) φ (t) dt {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (t) \ varphi '(t) \, dt = - \ int _ {a} ^ {b} v (t) \ varphi (t) \, dt }

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt

для всех бесконечно дифференцируемых функций $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ с $φ (a) = φ (b) Знак равно 0 {\ Displaystyle \ varphi (a) = \ varphi (b) = 0}$ $\ varphi (a) = \ varphi (b) = 0$ . Это определение мотивировано техникой интеграции интеграции по частям.

Обобщение до размеров $n {\ displaystyle n}$ $n$ , если $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ находятся в пространстве $L loc 1 (U) {\ displaystyle L _ {\ text {loc}} ^ {1} (U) }$ ${\ displaystyle L _ {\ text {loc}} ^ {1} (U)}$ из локально интегрируемых функций для некоторого открытого множества $U ⊂ R n {\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subset \ mathbb {R} ^ n$ , и если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ является мультииндексным, мы говорим, что $v {\ displaystyle v}$ $v$ - $α th {\ displaystyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ -слабая производная от $u {\ displaystyle u}$ $u$ , если

∫ U u D α φ = (- 1) | α | ∫ U v φ, {\ displaystyle \ int _ {U} uD ^ {\ alpha} \ varphi = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {U} v \ varphi,}

{\ displaystyle \ int _ {U} uD ^ {\ alpha} \ varphi = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ { U} v \ varphi,}

для всех $φ ∈ C c ∞ (U) {\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ , то есть для всех бесконечно дифференцируемых функций $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ с компактной опорой в $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Здесь $D α φ {\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi}$ определяется как

D α φ = ∂ | α | φ ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n. {\ displaystyle \ qquad D ^ {\ alpha} \ varphi = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}.}

{\ displaystyle \ qquad D ^ {\ alpha} \ varphi = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ { \ alpha _ {n}}}}.}

Если $u {\ displaystyle u}$ $u$ имеет слабую производную, это часто записывается как $D α u {\ displaystyle D ^ {\ alpha} u}$ $D ^ {\ alpha} u$ , поскольку слабые производные уникальны (по крайней мере, до набора нулевой меры, см. ниже).

Примеры

Функция абсолютного значения u: [−1, 1] → [0, 1], u (t) = | t |, которая не дифференцируема в t = 0, имеет слабую производную v, известную как знаковая функция , задаваемая как

v: [- 1, 1] → [- 1, 1]; t ↦ v (t) = {1, если t>0; 0, если t = 0; - 1, если t < 0. {\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,{\text{if }}t>0; \\ 0, {\ text {if}} t = 0; \\ - 1, {\ text {if}} t <0.\end{cases}}}

v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,{\text{if }}t>0; \\ 0, {\ text {if}} t = 0; \\ - 1, {\ text {if}} t <0.\end{cases}}

Это не единственная слабая производная для u: любая w, которая равна v почти всюду также является слабой производной для u. Обычно это не проблема, так как в теории пространств L и пространств Соболева идентифицируются почти всюду равные функции.

Характеристическая функция рациональных чисел $1 Q {\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ $1 _ {\ mathbb {Q}}$ нигде не дифференцируемо, но имеет слабую производную. Поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю,

∫ 1 Q (t) φ (t) dt = 0. {\ displaystyle \ int 1 _ {\ mathbb {Q}} (t) \ varphi (t) \, dt = 0.}

{\ displaystyle \ int 1 _ {\ mathbb {Q}} (t) \ varphi (t) \, dt = 0.}

Таким образом,

v (t) = 0 {\ displaystyle v (t) = 0}

v (t) = 0

- слабая производная от

1 Q {\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}

1 _ {\ mathbb {Q}}

. Обратите внимание, что это согласуется с нашей интуицией, поскольку, когда он рассматривается как член пространства Lp,

1 Q {\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}

1 _ {\ mathbb {Q}}

идентифицируется с нулевой функцией.

Функция Кантора c не имеет слабой производной, несмотря на то, что она дифференцируема почти везде. Это связано с тем, что любая слабая производная от c должна быть почти всюду равна классической производной от c, которая почти всюду равна нулю. Но нулевая функция не является слабой производной от c, что можно увидеть при сравнении с соответствующей тестовой функцией $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Теоретически c не имеет слабой производной, потому что его производная по распределению, а именно распределение Кантора, является особой мерой и поэтому не может быть представлена функцией.

Свойства

Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, они равны, за исключением набора с мерой Лебега нулем, т.е. они равны почти везде. Если мы рассматриваем классы эквивалентности функций такие, что две функции эквивалентны, если они равны почти всюду, то слабая производная единственна.

Кроме того, если u дифференцируемо в обычном смысле, то его слабая производная идентична (в смысле, указанном выше) своей обычной (сильной) производной. Таким образом, слабая производная является обобщением сильной. Кроме того, классические правила для производных сумм и произведений функций также выполняются для слабой производной.

Расширения

Эта концепция приводит к определению слабых решений в пространствах Соболева, которые полезны для задач дифференциальных уравнений и в функциональном анализе.

См. Также

Ссылки

Gilbarg, D.; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. Берлин: Springer. п. 149. ISBN 3-540-41160-7.
Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
Кнабнер, Питер; Ангерманн, Лутц (2003). Численные методы решения эллиптических и параболических уравнений в частных производных. Нью-Йорк: Спрингер. п. 53. ISBN 0-387-95449-X.