Событие (теория вероятности)

редактировать

В теории вероятностей событие представляет собой набор из результатов из эксперимент (подмножество из выборки ), которому присвоена вероятность. Один результат может быть элементом множества различных событий, и разные события в эксперименте обычно не одинаково вероятны, так как они могут включать в себя очень разные группы результатов. Событие определяет дополнительное событие, а именно дополнительный набор (событие не происходит), и вместе они определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет?

Обычно, когда пространство выборки является конечным, любое подмножество пространства выборки является событием (т. Е. Все элементы набора мощности пространства выборки определены как события). Однако этот подход не работает в случаях, когда пространство выборки несчетно бесконечное. Таким образом, при определении вероятностного пространства можно и часто необходимо исключить определенные подмножества выборочного пространства из событий (см. События в вероятностных пространствах ниже).

Содержание

1 Простой пример
2 События в вероятностных пространствах
3 Примечание по нотации
4 См. Также
5 Примечания
6 Внешние ссылки

Простой пример

Если мы соберем колоду из 52 игральных карт без джокеров и вытащим одну карту из колоды, то пробное пространство будет набором из 52 элементов, поскольку каждая карта представляет собой возможный исход. Однако событие - это любое подмножество выборочного пространства, включая любой одноэлементный набор (элементарное событие ), пустой набор (невозможное событие, с вероятность ноль) и само пространство выборки (определенное событие с вероятностью единица). Другие события - это соответствующие подмножества пространства выборки, содержащие несколько элементов. Так, например, потенциальные события включают:

диаграмму Эйлера события. B - это пространство выборки, а A - событие.. По соотношению их площадей вероятность A составляет приблизительно 0,4.

«Красный и черный одновременно, но не шутник» (0 элементов),
«Пятерка червей» (1 элемент),
«Король» (4 элемента),
«Лицевая карта» (12 элементов),
«Пика» (13 элементов),
«Лицевая карта или красная масть» (32 элемента),
«Карта» (52 элемента).

Поскольку все события являются наборами, они обычно записываются в виде наборов (например, {1, 2, 3}) и представляются графически с использованием диаграмм Венна. В ситуации, когда каждый исход в пространстве выборки Ω равновероятен, вероятность $P {\ displaystyle P}$ $P$ события A представляет собой следующую формулу:.

P (A) = | А | | Ω | (альтернативно: Pr (A) = | A | | Ω |) {\ displaystyle \ mathrm {P} (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \, \ \ left ({\ text {альтернативно:}} \ \ Pr (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \ right)}

\ mathrm {P} (A) = {\ fra c {| A |} {| \ Omega |}} \, \ \ left ({\ text {альтернативно:}} \ \ Pr (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \ справа)

Это правило можно легко применить к каждому из приведенных выше примеров событий.

События в вероятностных пространствах

Определение всех подмножеств пространства выборки как событий хорошо работает, когда существует только конечное количество результатов, но вызывает проблемы, когда пространство выборки бесконечно. Для многих стандартных распределений вероятностей, таких как нормальное распределение, пространство выборки представляет собой набор действительных чисел или некоторое подмножество действительных чисел. Попытки определить вероятности для всех подмножеств действительных чисел наталкиваются на трудности, если рассматривать наборы с «плохим поведением», такие как те, которые неизмеримы. Следовательно, необходимо ограничить внимание более ограниченным семейством подмножеств. Чтобы стандартные инструменты теории вероятностей, такие как совместная и условные вероятности, работали, необходимо использовать σ-алгебру, то есть семья закрыта при пополнении и исчислении союзов ее членов. Наиболее естественным выбором σ-алгебры является измеримое по Борелю множество, полученное из объединений и пересечений интервалов. Однако более широкий класс измеримых по Лебегу множеств оказывается более полезным на практике.

В общем теоретико-мерном описании вероятностных пространств событие может быть определено как элемент выбранной σ-алгебры подмножества выборочного пространства. В соответствии с этим определением любое подмножество выборочного пространства, которое не является элементом σ-алгебры, не является событием и не имеет вероятности. Однако при разумной спецификации вероятностного пространства все интересующие события являются элементами σ-алгебры.

Примечание к нотации

Несмотря на то, что события являются подмножествами некоторого пространства выборки Ω, они часто записываются как предикаты или индикаторы, включающие случайные величины. Например, если X - случайная величина с действительным знаком, определенная в пространстве отсчетов Ω, событие

{ω ∈ Ω ∣ u < X ( ω) ≤ v } {\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u

\ {\ omega \ in \ Omega \ mid u <X (\ omega) \ leq v \} \,

может быть записано более удобно как просто

u < X ≤ v. {\displaystyle u

u <X \ leq v \,.

Это особенно часто встречается в формулы для вероятности, такие как

Pr (u < X ≤ v) = F ( v) − F ( u). {\displaystyle \Pr(u

\ Pr (u <X \ leq v) = F (v) -F (u) \,.

The устанавливает u < X ≤ v is an example of an обратное изображение под отображение X, потому что $ω ∈ X - 1 ((u, v]) {\ displaystyle \ omega \ in X ^ {- 1} ((u, v])}$ $\ omega \ in X ^ {- 1} ((u, v])$ тогда и только тогда, когда $u < X ( ω) ≤ v {\displaystyle u$ $u <X (\ omega) \ leq v$ .

См. также

Примечания

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с событием (теория вероятностей).

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Формальное определение в системе Мицара.