Производная Хассе

В математике производная Хассе является обобщение производной, которое позволяет сформулировать теорему Тейлора в координатных кольцах алгебраических многообразий.

Пусть k [X] - кольцо полиномов над полем k. R-я производная Хассе от X равна

$D\; (r)\; X\; n\; =\; (nr)\; X\; n\; -\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{(r)\}\; X\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{\; r\}\}\; X\; ^\; \{nr\},\}$

, если n ≥ r, и ноль в противном случае. В характеристике ноль мы имеем

$D\; (r)\; =\; 1\; r!\; (д\; д\; X)\; р.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{(r)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r!\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; X\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{r\; \}\; \backslash .\}$

Производная Хассе является обобщенным выводом на k [X] и расширяется до обобщенного вывода на поле функций k (X), удовлетворяющих аналогу правила продукта

$D\; (r)\; (fg)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; r\; D\; (i)\; (f)\; D\; (r\; -\; i)\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{(r)\}\; (fg)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{r\}\; D\; ^\; \{(i)\}\; (f)\; D\; ^\; \{(ri)\}\; (g)\}$

и аналог цепного правила. Обратите внимание, что $D\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{(r)\}\}$сами по себе не являются производными в целом, но тесно связаны между собой.

Форма теоремы Тейлора верна для функции f, определенной в терминах локального параметра t на алгебраическом многообразии:

$f\; =\; \sum \; r\; D\; (r)\; (f)\; \cdot \; тр.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\}\; D\; ^\; \{(r)\}\; (f)\; \backslash \; cdot\; t\; ^\; \{r\}\; \backslash .\}$

• Голдшмидт, Дэвид М. (2003). Алгебраические функции и проективные кривые. Тексты для выпускников по математике. 215 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5. Zbl 1034.14011.