D-модуль

редактировать

В математике D-модуль - это модуль по кольцу D дифференциальных операторов. Наибольший интерес такие D-модули представляют как подход к теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Примерно с 1970 года теория D-модулей строилась, в основном как ответ на идеи Микио Сато о алгебраическом анализе, а также расширение работ Сато и Джозеф Бернштейн о полиноме Бернштейна – Сато.

Первыми основными результатами были результаты Масаки Касивара. Методы теории D-модулей всегда черпались из теории пучков и других методов, вдохновленных работами Александра Гротендика в алгебраической геометрии. Подход носит глобальный характер и отличается от методов функционального анализа, традиционно используемых для изучения дифференциальных операторов. Наиболее сильные результаты получены для сверхдетерминированных систем (голономных систем ), а также для характерного разнообразия , вырезанного символами , в хорошем случае, когда это лагранжево подмногообразие котангенсного расслоения максимальной размерности (инволютивные системы ). Со стороны школы Гротендика эти методы были заимствованы Зогманом Мебхаутом, который получил общую, производную категорию версию соответствия Римана – Гильберта во всех Габаритные размеры.

Содержание

1 Введение: модули над алгеброй Вейля
2 D-модули на алгебраических многообразиях
- 2.1 Функториальность
3 Голономные модули
- 3.1 Голономные модули над алгеброй Вейля
- 3.2 Общее определение
- 3.3 Свойства и характеристики
4 Приложения
- 4.1 Гипотеза Каждана – Люстига
- 4.2 Соответствие Римана – Гильберта
- 4.3 Геометрическая теория представлений
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Введение: модули над алгеброй Вейля

Первый случай алгебраических D-модулей - это модули над алгеброй Вейля An(K) над полем K из характеристика ноль. Это алгебра, состоящая из полиномов от следующих переменных

x1,..., x n, ∂ 1,..., ∂ n.

, где переменные x i и ∂ j по отдельности коммутируют друг с другом, а x i и ∂ j коммутируют для i ≠ j, но коммутатор удовлетворяет соотношению

[∂i, x i ] = ∂ ixi- x i∂i= 1.

Для любого полинома f (x 1,..., x n), отсюда следует соотношение

[∂i, f] = ∂f / ∂x i,

, тем самым связывая алгебру Вейля с дифференциальными уравнениями.

(алгебраический) D-модуль - это, по определению, левый модуль над кольцом A n (K). Примеры для D-модулей включают саму алгебру Вейля (действующую на себя посредством умножения слева), (коммутативное) кольцо многочленов K [x 1,..., x n ], где x i действует посредством умножения, а ∂ j действует посредством частичного дифференцирования относительно x j и, аналогичным образом кольцо $O (C n) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$ ${\ mathcal O} ({\ mathbf C} ^ {n })$ голоморфных функций на C (функции n комплексных переменных.)

Дан некоторый дифференциальный оператор P = a n (x) ∂ +... + a 1 (x) ∂ + a 0 (x), где x - комплексная переменная, a i (x) - многочлены, фактор-модуль M = A 1(C) / A 1(C) P тесно связан с пространством решений дифференциального уравнения

P f = 0,

, где f - некоторая голоморфная функция, скажем, в C . Векторное пространство, состоящее из решений этого уравнения, задается пространством гомоморфизмов D-модулей $H om (M, O (C)) {\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O }} (\ mathbf {C}))}$ ${\ mathrm {Hom }} (М, {\ mathcal O} ({\ mathbf C}))$ .

D-модули на алгебраических многообразиях

Общая теория D-модулей разработана на гладком алгебраическом многообразии X определено над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики, например K = C . Пучок дифференциальных операторов D X определяется как O X -алгебра, генерируемая векторными полями на X, интерпретируемая как производные. A (слева) D X -модуль M - это O X -модуль с левым действием из D X на нем. Выполнение такого действия эквивалентно указанию K-линейного отображения

∇: DX → End K ⁡ (M), v ↦ ∇ v {\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {End} _ { K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}

{\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {Конец} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}

удовлетворяет

∇ fv (m) = f ∇ v (m) {\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \ \ nabla _ {v} (m)}

{\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}

∇ v (fm) = v (f) m + f ∇ v (m) {\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + е \, \ nabla _ {v} (m)}

{\ displayst yle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}

(правило Лейбница )

∇ [v, w] (m) = [∇ v, ∇ w] (m) {\ displaystyle \ nabla _ {[ v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}

{\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}

Здесь f - регулярная функция на X, v и w - векторные поля, ma локальная секция M, [-, -] обозначает коммутатор . Следовательно, если M дополнительно является локально свободным O X -модулем, предоставление M структуры D-модуля является не чем иным, как оснащением векторного пучка, связанного с M, плоским (или интегрируемые) соединение.

Так как кольцо D X некоммутативно, необходимо различать левый и правый D-модули. Однако эти два понятия можно поменять местами, поскольку существует эквивалентность категорий между обоими типами модулей, задаваемая отображением левого модуля M в тензорное произведение M ⊗ Ω X, где Ω X - линейный пучок , заданный наивысшей внешней мощностью дифференциальной 1-формы на X.Это расслоение имеет естественное правое действие, определяемое выражением

ω ⋅ v: = - Lie v (ω),

где v - дифференциальный оператор первого порядка, то есть вектор поле, ω является n-формой (n = dim X), а Ли обозначает производную Ли.

Локально, после выбора некоторой системы координат x1,..., x n (n = dim X) на X, которые определяют базис ∂ 1,..., ∂ n касательного пространства X, секции D X могут быть однозначно представлены в виде выражений

∑ fi 1,…, in ∂ 1 i 1 ⋯ ∂ nin {\ displaystyle \ sum f_ {i_ {1}, \ dots, i_ { n}} \ partial _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {i_ {n}}}

\ sum f _ {{i_ {1}, \ dots, i_ {n}}} \ partial _ {1} ^ {{i_ {1}}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {{i_ {n}}}

, где

fi 1,…, in { \ displaystyle f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}

f _ {{i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}

- это обычные функции на X.

В частности, когда X является n-мерным аффинное пространство, это D X является алгеброй Вейля от n переменных.

Многие основные свойства D-модулей являются локальными и параллельны ситуации когерентных пучков. Это основано на том факте, что D X является локально свободным пучком из O X -модулей, хотя и бесконечного ранга, как упомянутое выше O X - базис показывает. Можно показать, что D X -модуль, когерентный как O X -модуль, обязательно локально свободен (конечного ранга).

Функториальность

D-модули на различных алгебраических многообразиях связаны функторами возврата и продвижения, сравнимыми с таковыми для когерентных пучков. Для отображения f: X → Y гладких многообразий определения следующие:

DX → Y : = O X⊗f (O Y)f (D Y)

Он снабжен левым действием D X таким образом, который имитирует правило цепочки , и естественным правым действием f (D Y). откат определяется как

f (M): = D X → Y ⊗ f (D Y)f (M).

Здесь M - левый D Y -модуль, в то время как его откат является левым модулем над X. Этот функтор является точным справа, его левый производный функтор обозначается Lf. И наоборот, для правого D X -модуль N,

f∗(N): = f ∗ (N ⊗ DXDX → Y)

- правый D Y - модуль. Так как это смешивает правое точное тензорное произведение с точным левым прямым продвижением вперед, обычно вместо него устанавливается

f∗(N): = Rf ∗ (N ⊗ DXDX → Y).

Из-за этого большая часть теории D-модулей разрабатывается с использованием всех возможностей гомологической алгебры, в частности производных категорий.

Голономных модулей

Голономных модулей над Алгебра Вейля

Можно показать, что алгебра Вейля является (слева и справа) нётеровым кольцом. Более того, это простой, то есть его единственные двусторонние идеалы - это нулевой идеал и все кольцо. Эти свойства делают изучение D-модулей управляемым. Примечательно, что стандартные понятия из коммутативной алгебры, такие как полином Гильберта, кратность и длина модулей, переносятся на D-модули. Точнее, D X снабжен фильтрацией Бернштейна, то есть фильтрацией такой, что FA n (K) состоит из K-линейных комбинаций дифференциальных операторы x∂ с | α | + | β | ≤ p (используется мультииндексная запись ). Связанное градуированное кольцо очевидно изоморфно кольцу многочленов от 2n неопределенных. В частности, он коммутативен.

Конечно порожденные D-модули M наделены так называемыми "хорошими" фильтрациями FM, которые совместимы с FA n (K), по существу параллельными ситуации Лемма Артина – Риса. Многочлен Гильберта определяется как числовой многочлен , который согласуется с функцией

n ↦ dim KFM

для больших n. Размерность d (M) A n (K) -модуля M определяется как степень полинома Гильберта. Он ограничен неравенством Бернштейна

n ≤ d (M) ≤ 2n.

Модуль, размерность которого достигает наименьшего возможного значения n, называется голономным.

A 1 (K) -модуль M = A 1 (K) / A 1 (K) P (см. Выше) голономна для любого ненулевого дифференциального оператора P, но аналогичное утверждение для многомерных алгебр Вейля неверно.

Общее определение

Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D-модулям на аффинном пространстве. Фильтрация Бернштейна недоступна на D X для общих многообразий X, определение обобщается на произвольные аффинные гладкие многообразия X с помощью порядковой фильтрации на D X, определяемой порядок дифференциальных операторов. Соответствующее градуированное кольцо gr D X задается регулярными функциями на котангенсном расслоении TX.

Характеристическая разновидность определяется как подмножество котангенциального пучка, вырезанное радикалом аннигилятора gr M, где M снова снабжен подходящей фильтрацией (в соответствии с порядком фильтрации на D X). Как обычно, аффинная конструкция затем склеивается с произвольными многообразиями.

Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия X. Хотя оценка сверху является непосредственным следствием приведенной выше интерпретации gr D X в терминах кокасательного расслоения, нижняя граница более тонкая.

Свойства и характеристики

Голономные модули имеют тенденцию вести себя как конечномерные векторные пространства. Например, их длина конечна. Кроме того, M голономно тогда и только тогда, когда все группы когомологий комплекса Li (M) являются конечномерными K-векторными пространствами, где i - замкнутое погружение любой точки X.

Для любого D-модуля M двойственный модуль определяется как

D (M): = R Hom ⁡ (M, DX) ⊗ Ω X - 1 [dim ⁡ X]. {\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X ].}

{\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname { Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X].}

Голономные модули также можно охарактеризовать гомологическим условием: M является голономным тогда и только тогда, когда D (M) сконцентрирован (рассматривается как объект в производной категории D-модулей) в степени 0. Этот факт дает первое представление о двойственности Вердье и соответствии Римана – Гильберта. Это доказывается путем распространения гомологического исследования регулярных колец (особенно того, что связано с глобальной гомологической размерностью ) на фильтрованное кольцо D X.

Другая характеристика голономных модулей - через симплектическая геометрия. Характеристическое многообразие Ch (M) любого D-модуля M рассматривается как подмногообразие кокасательного расслоения TX модуля X, инволютивное многообразие. Модуль является голономным тогда и только тогда, когда Ch (M) лагранжева.

Приложения

Одним из первых приложений голономных D-модулей был многочлен Бернштейна – Сато.

Каждан –Гипотеза Люстига

Гипотеза Каждана – Люстига была доказана с использованием D-модулей.

Соответствие Римана – Гильберта

Соответствие Римана – Гильберта устанавливает связь между некоторыми D-модулями и конструктивными пучками. Таким образом, это послужило мотивацией для внедрения извращенных пучков.

Теория геометрического представления

, в которой также применяются D-модули. Основным результатом в этой области является локализация Бейлинсона – Бернштейна. Он связывает D-модули на разновидностях флагов G / B с представлениями алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ восстановительной группы G. D-модули также имеют решающее значение при разработке геометрической программы Ленглендса.

Ссылки

Бейлинсон, А.А. ; Бернштейн, Джозеф (1981), «Локализация g-модулей», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 292 (1): 15–18, ISSN 0249-6291, MR 0610137
Björk, J.-E. (1979), Кольца дифференциальных операторов, Математическая библиотека Северной Голландии, 21, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85292-2, MR 0549189
Брылински, Жан-Люк; Кашивара, Масаки (1981), «Гипотеза Каждана – Люстига и голономные системы», Inventiones Mathematicae, 64(3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272, ISSN 0020-9910, MR 0632980
Coutinho, SC (1995), Учебник по алгебраическим D-модулям, Тексты студентов Лондонского математического общества, 33, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55119-9, MR 1356713
Borel, Armand, ed. (1987), Алгебраические D-модули, Перспективы в математике, 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12- 117740-9
MGM ван Дорн (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений (PDF), Progress in Mathematics, 236, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, заархивировано из исходного (PDF) 03.03.2016, получено 10.12.2009

Внешние ссылки

Бернштейн, Джозеф, Алгебраическая теория D-модулей (PDF)
Гайтсгори, Деннис, Лекции по теории геометрических представлений (PDF), заархивировано из оригинального (PDF) от 26 марта 2015 г., извлечено 14 декабря 2011 г.
Миличич, Драган, Лекции по алгебраической теории D-модулей