Абстрактное винеровское пространство

редактировать

Концепция абстрактного винеровского пространства- это математическая конструкция, разработанная Леонардом Гроссом для понимания структуры гауссовских мер на бесконечномерных пространствах. Конструкция подчеркивает фундаментальную роль пространства Камерона – Мартина. классическое винеровское пространство является прототипом.

Структурная теорема для гауссовских мер утверждает, что всегауссовские меры могут быть представлены с помощью конструкции абстрактного винеровского пространства.

Содержание

1 Мотивация
2 Математическое описание
- 2.1 Измерение цилиндра на $H {\ displaystyle H}$ $H$
- 2.2 Отсутствие меры на $H {\ displaystyle H}$ $H$
- 2.3 Существование меры на $B {\ displaystyle B}$ $B$
- 2.4 Универсальность конструкции
3 Свойства
4 Пример: классическое винеровское пространство
5 См. Также
6 Ссылки

Мотивация

Пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет реальным гильбертовым пространством, которое предполагается бесконечномерным и разделимым. В физической литературе часто встречаются интегралы вида

1 Z ∫ H f (v) e - 1 2 ‖ v ‖ 2 D v, {\ displaystyle {\ frac {1} {Z}} \ int _ {H} f (v) e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ Vert v \ Vert ^ {2}} Dv,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {Z}} \ int _ {H} f (v) e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ Vert v \ Vert ^ {2}} Dv,}

где $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ должен быть константой нормализации, а $D v {\ displaystyle Dv}$ ${\ displaystyle Dv}$ должен быть несуществующей мерой Лебега на $H { \ Displaystyle H}$ $H$ . Такие интегралы возникают, в частности, в контексте формулировки евклидова интеграла по путям квантовой теории поля. На математическом уровне такой интеграл не может быть интерпретирован как интегрирование с показателем в исходном гильбертовом пространстве $H {\ displaystyle H}$ $H$ . С другой стороны, предположим, что $B {\ displaystyle B}$ $B$ - это банахово пространство, содержащее $H {\ displaystyle H}$ $H$ в качестве плотного подпространства. Если $B {\ displaystyle B}$ $B$ «достаточно больше», чем $H {\ displaystyle H}$ $H$ , то указанный выше интеграл можно интерпретировать как интегрирование по скважине. -определенная (гауссова) мера на $B {\ displaystyle B}$ $B$ . В этом случае пара $(H, B) {\ displaystyle (H, B)}$ ${\ displaystyle (H, B)}$ называется абстрактным винеровским пространством.

Типичным примером является классическое винеровское пространство, в котором $H {\ displaystyle H}$ $H$ - гильбертово пространство функций с действительными значениями $b {\ displaystyle b}$ $b$ на интервале $[0, T] {\ displaystyle [0, T]}$ $[0,T ]$ с одной производной в $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ и удовлетворяет $b (0) = 0 {\ displaystyle b (0) = 0}$ ${\ displaystyle b (0) = 0}$ , с нормой, заданной как

‖ b ‖ 2 = ∫ 0 T b ′ (t) 2 dt. {\ displaystyle \ left \ Vert b \ right \ Vert ^ {2} = \ int _ {0} ^ {T} b '(t) ^ {2} \, dt.}

\left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.

В этом случае $B {\ displaystyle B}$ $B$ можно принять за банахово пространство непрерывных функций на $[0, T] {\ displaystyle [0, T]}$ $[0,T ]$ с норма супремума. В этом случае мера на $B {\ displaystyle B}$ $B$ - это мера Винера, описывающая броуновское движение, начиная с начала координат. Исходное подпространство $H ⊂ B {\ displaystyle H \ subset B}$ ${\ displaystyle H \ subset B}$ называется пространством Камерона – Мартина, которое образует множество нулевой меры относительно меры Винера..

Предыдущий пример означает, что у нас есть формальное выражение для меры Винера, заданное как

d μ (b) = 1 Z exp ⁡ {- 1 2 ∫ 0 T b ′ (t) 2 dt} D b. {\ displaystyle d \ mu (b) = {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} b '( t) ^ {2} \, dt \ right \} \, Db.}

d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.

Хотя это формальное выражение предполагает, что мера Винера должна существовать в пространстве путей, для которых $∫ 0 T b ′ (t) 2 dt < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$ $\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty$ , на самом деле это не так. (Известно, что броуновские пути нигде не дифференцируются с вероятностью единица.)

Конструкция абстрактного винеровского пространства Гросса абстрагирует ситуацию для классического винеровского пространства и обеспечивает необходимое и достаточное (иногда трудно проверить) условие для гауссовского мера существует на $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Хотя мера Гаусса $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ живет на $B {\ displaystyle B}$ $B$ , а не на $H {\ displaystyle H}$ $H$ , это геометрия $H {\ displaystyle H}$ $H$ , а не $B {\ displaystyle B}$ $B$ , которая управляет свойствами $μ {\ Displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Как выразился сам Гросс (адаптированный к нашим обозначениям): «Однако только после работы И. Е. Сигала, посвященной нормальному распределению в реальном гильбертовом пространстве, стало очевидно, что роль гильбертова пространства $H {\ displaystyle H}$ $H$ действительно был центральным, и что в том, что касается анализа $B {\ displaystyle B}$ $B$ , роль $B {\ displaystyle B}$ $B$ сам по себе был вспомогательным для многих теорем Кэмерона и Мартина, а в некоторых случаях даже ненужным ». Одна из привлекательных особенностей построения абстрактного винеровского пространства Гросса заключается в том, что оно принимает $H {\ displaystyle H}$ $H$ в качестве отправной точки и обрабатывает $B {\ displaystyle B}$ $B$ как вспомогательный объект.

Хотя формальные выражения для $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , представленные ранее в этом разделе, являются чисто формальными выражениями в физическом стиле, они очень полезны для понимания свойств из $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Примечательно, что с помощью этих выражений можно легко вывести (правильную!) Формулу для плотности переведенной меры $d μ (b + h) {\ displaystyle d \ mu (b + h)}$ ${\ displaystyle d \ mu (b + h)}$ относительно $d μ (b) {\ displaystyle d \ mu (b)}$ ${\ displaystyle d \ mu (b)}$ для $h ∈ H {\ displaystyle h \ in H}$ $h \ in H$ . (См. теорему Камерона – Мартина.)

Математическое описание

Измерение множества цилиндров на $H {\ displaystyle H}$ $H$
Пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ - гильбертово пространство, определенное над действительными числами, которое предполагается бесконечномерным и разделимым. набор цилиндровв $H {\ displaystyle H}$ $H$ - это набор, определенный в терминах значений конечного набора линейных функционалов на $H {\ displaystyle H }$ $H$ . В частности, предположим, что $ϕ 1,…, ϕ n {\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {n}}$ являются непрерывными линейными функционалами на $H {\ displaystyle H}$ $H$ и $E {\ displaystyle E}$ $E$ - это набор Бореля в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Тогда мы можем рассмотреть множество
$C = {v ∈ H | (ϕ 1 (v),…, ϕ n (v)) ∈ E}. {\ Displaystyle C = \ left \ {v \ in H | (\ phi _ {1} (v), \ ldots, \ phi _ {n} (v)) \ in E \ right \}.}$ ${\ displaystyle C = \ left \ {v \ in H | (\ phi _ {1} (v), \ ldots, \ phi _ {n} (v)) \ in E \ right \}.}$
Любой набор этого типа называется набором цилиндров. Набор всех цилиндрических наборов образует алгебру наборов в $H {\ displaystyle H}$ $H$ , но это не $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ сигма$ -алгебра.

Существует естественный способ определения «меры» на цилиндрических множествах следующим образом. По теореме Рисса линейные функционалы $ϕ 1,… ϕ n {\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots \ phi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots \ phi _ {n}}$ задаются как внутреннее произведение с векторами $v 1,…, vn {\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ в $H {\ displaystyle H}$ $H$ . В свете процедуры Грама – Шмидта безвредно предположить, что $v 1,…, v n {\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ ортонормированы. В этом случае мы можем связать с определенным выше набором цилиндров $C {\ displaystyle C}$ $C$ меру $E {\ displaystyle E}$ $E$ относительно стандартная гауссовская мера на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . То есть, мы определяем
$μ (C) = (2 π) - n / 2 ∫ E ⊂ R ne - ‖ x ‖ 2/2 dx, {\ displaystyle \ mu (C) = (2 \ pi) ^ {-n / 2} \ int _ {E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2} / 2} \, dx,}$ ${\ displaystyle \ mu (C) = (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ int _ {E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2} / 2 } \, dx,}$
где $dx {\ displaystyle dx}$ $dx$ - стандартная мера Лебега на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Из-за структуры произведения стандартной гауссовской меры на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ нетрудно показать, что $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ хорошо определено. То есть, хотя один и тот же набор $C {\ displaystyle C}$ $C$ может быть представлен как набор цилиндров более чем одним способом, значение $μ (C) {\ displaystyle \ mu (C)}$ ${\ displaystyle \ mu (C)}$ всегда одно и то же.

Отсутствие меры на $H {\ displaystyle H}$ $H$
Функционал набора $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ называется стандартным гауссовским цилиндр установлен размер на $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Если предположить (как это делаем мы), что $H {\ displaystyle H}$ $H$ бесконечномерно, $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ не распространяется на счетно-аддитивную меру на $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ сигма$ -алгебре, сгенерированной набором наборов цилиндров в $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Можно понять сложность, рассмотрев поведение стандартной гауссовской меры на $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\ mathbb {R} ^ {n},$ , заданном как
$(2 π) - n / 2 e - x ‖ 2/2 dx. {\ displaystyle (2 \ pi) ^ {- n / 2} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2} / 2} \, dx.}$ ${\ displaystyle (2 \ pi) ^ {- n / 2} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2} / 2} \, dx.}$
Среднее значение квадрата нормы относительно этого мера вычисляется как элементарный интеграл Гаусса как
$(2 π) - n / 2 ∫ R n ‖ x ‖ 2 e - ‖ x ‖ 2/2 dx = ∑ i = 1 n ∫ R xi 2 e - xi 2/2 dxi = n. {\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {- п / 2} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ Vert x \ Vert ^ {2} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2 } / 2} \, dx = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {\ mathbb {R}} x_ {i} ^ {2} e ^ {- x_ {i} ^ {2} / 2} \, dx_ {i} = n.}$ ${\ displaystyle (2 \ pi ) ^ {- n / 2} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ Vert x \ Vert ^ {2} e ^ {- \ Vert x \ Vert ^ {2} / 2} \, dx = \ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ int _ {\ mathbb {R}} x_ {i} ^ {2} e ^ {- x_ {i} ^ {2} / 2} \, dx_ {i} = n.}$
То есть типичное расстояние от начала вектора, случайно выбранного в соответствии со стандартной гауссовой мерой на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ равно $n. {\ displaystyle {\ sqrt {n}}.}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}.}$ Поскольку $n {\ displaystyle n}$ $п$ стремится к бесконечности, это типичное расстояние стремится к бесконечности, что указывает на отсутствие четко определенная "стандартная гауссовская" мера на $H {\ displaystyle H}$ $H$ . (Типичное расстояние от начала координат будет бесконечным, так что мера фактически не будет существовать в пространстве $H {\ displaystyle H}$ $H$ .)

Существование меры на $B {\ displaystyle B}$ $B$
Теперь предположим, что $B {\ displaystyle B}$ $B$ является разделяемым банаховым пространством и что $i: H → B {\ displaystyle i: H \ rightarrow B}$ ${\ displ aystyle i: H \ rightarrow B}$ - это injective непрерывная линейная карта, изображение которой плотно расположено в $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Тогда безвредно (и удобно) идентифицировать $H {\ displaystyle H}$ $H$ с его изображением внутри $B {\ displaystyle B}$ $B$ и, таким образом, учитывать $H {\ displaystyle H}$ $H$ как плотное подмножество $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Затем мы можем построить меру набора цилиндров на $B {\ displaystyle B}$ $B$ , определив меру множества цилиндров $C ⊂ B {\ displaystyle C \ subset B}$ ${\ displaystyle C \ subset B}$ , чтобы быть ранее определенным размером набора цилиндров $C ∩ H {\ displaystyle C \ cap H}$ ${\ displaystyle C \ cap H}$ , который представляет собой цилиндр, установленный в $H {\ displaystyle H}$ $H$ .

Идея построения абстрактного винеровского пространства состоит в том, что если $B {\ displaystyle B}$ $B$ достаточно больше, чем $H {\ displaystyle H}$ $H$ , то цилиндр устанавливается измерение на $B {\ displaystyle B}$ $B$ , в отличие от измерения набора цилиндров на $H {\ displaystyle H}$ $H$ , будет расширяться до счетно-аддитивной меры на сгенерированном $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ сигма$ -алгебра. Исходная статья Гросса дает необходимое и достаточное условие для $B {\ displaystyle B}$ $B$ , чтобы это имело место. Мера на $B {\ displaystyle B}$ $B$ называется гауссовской мерой, а подпространство $H ⊂ B {\ displaystyle H \ subset B}$ ${\ displaystyle H \ subset B}$ называется пространством Камерона – Мартина. Важно подчеркнуть, что $H {\ displaystyle H}$ $H$ образует набор нулевой меры внутри $B {\ displaystyle B}$ $B$ , подчеркивая, что гауссовская мера живет только на $B {\ displaystyle B}$ $B$ , а не на $H {\ displaystyle H}$ $H$ .

Результатом всего этого обсуждения является то, что гауссовские интегралы того типа, который описан в разделе мотивации имеют строгую математическую интерпретацию, но они не живут в пространстве, норма которого встречается в экспоненте формального выражения. Скорее, они живут на более просторном пространстве.

Универсальность конструкции

Построение абстрактного винеровского пространства - это не просто один из методов построения гауссовских мер. Скорее, всякая гауссовская мера в бесконечномерном банаховом пространстве возникает таким образом. (См. Теорему о структуре для гауссовских мер.) То есть, учитывая гауссову меру $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве (более $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ), можно идентифицировать подпространство Камерона – Мартина $H ⊂ B {\ displaystyle H \ subset B}$ ${\ displaystyle H \ subset B}$ , в этот момент пара $(H, B) {\ displaystyle (H, B)}$ ${\ displaystyle (H, B)}$ становится абстрактным винеровским пространством и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - соответствующая гауссовская мера.

Свойства

$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - это мера Бореля : она определена на сгенерированной борелевской σ-алгебре открытыми подмножествами из B.
$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ является гауссовской мерой в том смысле, что f ∗( $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ) является гауссовской мерой на Rдля любого линейного функционала f ∈ B, f ≠ 0.
Следовательно, $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ строго положительный и локально конечный.
Поведение $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ при перевод описывается теоремой Камерона – Мартина.
Даны два абстрактных винеровских пространства i 1 : H 1 → B 1 и я 2 : H 2 → B 2 , можно показать, что $γ 12 = γ 1 ⊗ γ 2 {\ displaystyle \ gamma _ { 12} = \ gamma _ {1} \ otimes \ gamma _ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {12} = \ gamma _ {1} \ otimes \ gamma _ {2}}$ . Полностью:

(i 1 × i 2) ∗ (μ H 1 × H 2) = (i 1) ∗ (μ H 1) ⊗ (i 2) ∗ (μ H 2), {\ displaystyle (i_ {1} \ times i_ {2}) _ {*} (\ mu ^ {H_ {1} \ times H_ {2}}) = (i_ {1}) _ {*} \ left (\ mu ^ {H_ {1}} \ right) \ otimes (i_ {2}) _ {*} \ left (\ mu ^ {H_ {2}} \ right),}

{\ displaystyle (i_ {1} \ times i_ {2}) _ {* } (\ mu ^ {H_ {1} \ times H_ {2}}) = (i_ {1}) _ {*} \ left (\ mu ^ {H_ {1}} \ right) \ otimes (i_ {2 }) _ {*} \ left (\ mu ^ {H_ {2}} \ right),}

т.е. абстрактная мера Винера

μ 12 {\ displaystyle \ mu _ {12}}

\mu_{12}

на декартовом произведении B1× B 2 - произведение абстрактных мер Винера на два фактора B 1 и B 2.

Если H (и B) бесконечномерны, то изображение H имеет нулевую меру. Этот факт является следствием закона нуля или единицы Колмогорова.

Пример: классическое винеровское пространство

Прототипным примером абстрактного винеровского пространства является пространство непрерывных путей, и известно как классическое винеровское пространство. Это абстрактное винеровское пространство, в котором $H {\ displaystyle H}$ $H$ задается как

H: = L 0 2, 1 ([0, T]; R n): = { пути, начинающиеся с 0 с интегрируемой с квадратом первой производной} {\ displaystyle H: = L_ {0} ^ {2,1} ([0, T]; \ mathbb {R} ^ {n}): = \ {{\ text {пути, начинающиеся с 0 с интегрируемой с квадратом первой производной}} \}}

{\ displaystyle H: = L_ {0} ^ {2,1} ([0, T]; \ mathbb {R} ^ {n}): = \ {{ \ text {пути, начинающиеся с 0 с интегрируемой квадратом первой производной}} \}}

с внутренним произведением, заданным как

⟨σ 1, σ 2⟩ L 0 2, 1: = ∫ 0 T ⟨σ ˙ 1 (T), σ ˙ 2 (T)⟩ R ndt, {\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2} \ rangle _ {L_ {0} ^ {2,1 }}: = \ int _ {0} ^ {T} \ langle {\ dot {\ sigma}} _ {1} (t), {\ dot {\ sigma}} _ {2} (t) \ rangle _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \, \ mathrm {d} t,}

\ langle \ sigma _ {{1}}, \ sigma _ {{2 }} \ rangle _ {{L _ {{0}} ^ {{2,1}}}}: = \ int _ {{0}} ^ {{T}} \ langle {\ dot {\ sigma}} _ {{1}} (t), {\ dot {\ sigma}} _ {{2}} (t) \ rangle _ {{{{\ mathbb {R}} ^ {{n}}}} \, {\ mathrm {d}} t,

и $B {\ displaystyle B}$ $B$ - это пространство непрерывных отображений $[0, T] {\ displaystyle [0, T]}$ $[0,T ]$ в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ начиная с 0, с единая норма. В этом случае гауссовская мера $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - это мера Винера, которая описывает броуновское движение в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , начиная с начала координат.

Общий результат, заключающийся в том, что $H {\ displaystyle H}$ $H$ образует набор нулевой меры по отношению к $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ в этом случае отражает грубость типичного броуновского пути, который, как известно, нигде не дифференцируем. Это контрастирует с предполагаемой дифференцируемостью путей в $H {\ displaystyle H}$ $H$ .

См. Также

Ссылки

Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявэна. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. х + 113. ISBN 0-486-44994-7. MR 2250060. (См. Раздел 1.1)
Гросс, Леонард (1967). «Абстрактные винеровские пространства». Proc. Пятый симпозиум в Беркли. Математика. Статист. and Probability (Беркли, Калифорния, 1965/66), Vol. II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1. Беркли, Калифорния: Univ. California Press. С. 31–42. MR 0212152.
Куо, Хуэй Сюн (1975). Гауссовские меры в банаховых пространствах. Берлин – Нью-Йорк: Springer. п. 232. ISBN 978-1419645808.