Интеграл Гаусса

Интеграл функции Гаусса, равный sqrt (π) График $f\; (x)\; =\; e\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\}$и область между функцией и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$-ось, которая равна $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$.

интеграл Гаусса, также известный как интеграл Эйлера – Пуассона, является интегралом от функции Гаусса $f\; (x)\; =\; e\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\}$по всей реальной строке. Названный в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, интеграл равен

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; d\; x\; =\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

Абрахам де Муавр первоначально открыл этот тип интеграла в 1733 году, а Гаусс опубликовал точный интеграл в 1809 году. У интеграла есть широкий спектр приложений. Например, при небольшом изменении переменных он используется для вычисления нормализующей константы для нормального распределения. Один и тот же интеграл с конечными пределами тесно связан как с функцией ошибок , так и с функцией кумулятивного распределения нормального распределения . В физике этот тип интеграла часто появляется, например, в квантовой механике, чтобы найти плотность вероятности основного состояния гармонического осциллятора. Этот интеграл также используется в формулировке интеграла по путям, чтобы найти пропагатор гармонического осциллятора, и в статистической механике, чтобы найти его статистическую сумму.

, хотя нет элементарной функции существует для функции ошибок, как может быть доказано с помощью алгоритма Риша, интеграл Гаусса может быть решен аналитически с помощью методов многомерного исчисления. То есть не существует элементарного неопределенного интеграла для

$\int \; e\; -\; x\; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

, но определенный интеграл

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

можно оценить. Определенный интеграл произвольной функции Гаусса равен

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; a\; (x\; +\; b)\; 2\; d\; x\; =\; \pi \; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; a\; (x\; +\; b)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\}.\}$

Содержание

• 1 Вычисление
  • 1.1 По полярным координатам
    • 1.1.1 Полное доказательство
  • 1.2 По декартовым координатам
• 2 Связь с гамма-функцией
• 3 Обобщения
  • 3.1 Интеграл от функции Гаусса
  • 3.2 n-мерное и функциональное обобщение
  • 3.3 n-мерное с линейным членом
  • 3.4 Интегралы аналогичной формы
  • 3.5 Полиномы высшего порядка
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
  • 5.1 Цитаты
  • 5.2 Источники

Вычисление

По полярным координатам

Стандартный способ вычисления интеграла Гаусса, идея которого восходит к Пуассону., заключается в использовании того свойства, что:

$(\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx)\; 2\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; \int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; y\; 2\; dy\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; е\; -\; (х\; 2\; +\; у\; 2)\; dxdy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; y\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy.\}$

Рассмотрим функция $e\; -\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; =\; e\; -\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; =\; e\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\}\; \}$на плоскости $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$, и вычислить его интеграл двумя способами:

1. с одной стороны, при двойном интегрировании в декартовой системе координат его интеграл представляет собой квадрат:

   $(\int \; e\; -\; x\; 2\; dx)\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\};\}$

2. , с другой стороны, посредством интеграции оболочки (случай двойного интегрирования в полярных координатах ), его интеграл вычисляется как $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$

Сравнение этих двух вычислений дает интеграл, хотя следует позаботиться о задействованы несобственные интегралы.

$R\; 2\; e\; -\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; dxdy\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; r\; 2\; rdrd\; \theta \; =\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \infty \; re\; -\; r\; 2\; dr\; =\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; 0\; 1\; 2\; esdss\; =\; -\; r\; 2\; знак\; равно\; \pi \; \int \; -\; \infty \; 0\; esds\; =\; \pi \; (e\; 0\; -\; e\; -\; \infty )\; =\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; dx\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\}\; r\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; re\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dr\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{0\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{s\}\; \backslash ,\; ds\; s\; =\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{0\}\; e\; ^\; \{s\}\; \backslash ,\; ds\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; pi\; (e\; ^\; \{0\}\; -e\; ^\; \{-\; \backslash \; infty\})\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; =\; \backslash \; pi,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где множитель r является определителем Якоби, который появляется из-за преобразования в полярные координаты (r dr dθ - стандартная мера на плоскости, выраженная в полярных координатах Wikibooks: Calculus / Polar Integration # Generalization ), а при замене берется s = −r, поэтому ds = −2r dr.

Объединение этих результатов

$(\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx)\; 2\; =\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; pi,\}$

, поэтому

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$.

Полное доказательство

Чтобы оправдать неправильные двойные интегралы и приравнять два выражения, начнем с аппроксимирующей функции:

$I\; (a)\; =\; \int \; -\; aae\; -\; x\; 2\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (a)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; dx.\}$

Если интеграл

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

были бы абсолютно сходящимися, мы бы получили это Главное значение Коши, то есть предел

$lim\; a\; \to \; \infty \; I\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{a\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; I\; (a)\}$

, будет совпадать с

$\int \; -\; \infty \; \infty \; е\; -\; х\; 2\; дх.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Чтобы убедиться, что это так, примите во внимание, что

, чтобы мы могли вычислить

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

просто взяв предел

$lim\; a\; \to \; \infty \; I\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{a\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; I\; (a)\}$.

Взяв квадрат $I\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (a)\}$дает

$I\; 2\; (a)\; =\; (\int \; -\; aae\; -\; x\; 2\; dx)\; (\int \; -\; aae\; -\; y\; 2\; dy)\; =\; \int \; -\; aa\; (\int \; -\; aae\; -\; y\; 2\; dy)\; e\; -\; x\; 2\; dx\; =\; \int \; -\; aa\; \int \; -\; aae\; -\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; dydx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; I\; ^\; \{2\}\; (a)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; e\; ^\; \{-\; y\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; e\; ^\; \{-\; y\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dx.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Используя теорему Фубини, указанный выше двойной интеграл можно рассматривать как интеграл площадей

$\iint \; [-\; a,\; a]\; \times \; [-\; a,\; a]\; e\; -\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; d\; (x,\; y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \_\; \{[-\; a,\; a]\; \backslash \; times\; [-a,\; a]\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; d\; (x,\; y),\}$

взято над квадратом с вершинами {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} на xy- plane.

Поскольку экспоненциальная функция больше 0 для всех действительных чисел, из этого следует, что интеграл, взятый по вписанной в квадрат окружности, должен быть меньше $I\; (a)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (a)\; ^\; \{2\}\}$, и аналогично интеграл, взятый по описанной окружности квадрата, должен быть больше $I\; (a)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Я\; (а)\; ^\; \{2\}\}$. Интегралы по двум дискам можно легко вычислить, переключившись с декартовых координат на полярные координаты :

$x\; =\; r\; cos\; \; \theta \; y\; =\; r\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$J\; (r,\; \theta )\; =\; [\partial \; x\; \partial \; r\; \partial \; x\; \partial \; \theta \; \partial \; y\; \partial \; r\; \partial \; y\; \partial \; \theta ]\; =\; [cos\; \; \theta \; -\; р\; грех\; \; \theta \; грех\; \; \theta \; р\; соз\; \; \theta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; (r,\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \backslash \; [1em]\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; и\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$d\; (x,\; y)\; =\; |\; J\; (r,\; \theta )\; |\; d\; (r,\; \theta )\; =\; r\; d\; (r,\; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; |\; J\; (r,\; \backslash \; theta)\; |\; d\; (r,\; \backslash \; theta)\; =\; r\; \backslash ,\; d\; (r,\; \backslash \; theta).\}$

(См. в полярных координатах от декартовых координат для помощи с полярным преобразованием.)

Интегрирование,

По теореме сжатия это дает гауссовский интеграл

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; =\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}.\}$

По декартовым координатам

Другая техника, восходящая к Лапласу (1812 г.), заключается в следующем. Пусть

$y\; =\; x\; s\; d\; y\; =\; x\; d\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; =\; xs\; \backslash \backslash \; dy\; =\; x\; \backslash ,\; ds.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку пределы s при y → ± ∞ зависят от знака x, это упрощает при вычислении используется тот факт, что e является четной функцией , и, следовательно, интеграл по всем действительным числам равен удвоенному интегралу от нуля до бесконечности. То есть

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; d\; x\; =\; 2\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; x\; 2\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\; \}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Таким образом, в диапазоне интегрирования x ≥ 0, а переменные y и s имеют одинаковые пределы. Это дает:

$I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e - (x 2 + y 2) dydx = 4 ∫ 0 ∞ (∫ 0 ∞ e - (x 2 + y 2) dy) dx = 4 ∫ 0 ∞ (∫ 0 ∞ e - x 2 (1 + s 2) xds) dx = 4 ∫ 0 ∞ (∫ 0 ∞ e - x 2 (1 + s 2) xdx) ds = 4 ∫ 0 ∞ [1-2 (1 + s 2) e - x 2 (1 + s 2)] x = 0 x = ∞ ds = 4 (1 2 ∫ 0 ∞ ds 1 + s 2) = 2 [arctan ⁡ s] 0 ∞ = π. {\ displaystyle {\ begin {align} I ^ {2} = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} dy \, dx \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dy \ right) \, dx \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} (1 + s ^ {2})} x \, ds \ right) \, dx \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} (1 + s ^ {2})} x \, dx \ right) \, ds \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {- 2 (1 + s ^ {2})}} e ^ {- x ^ {2} (1 + s ^ {2})} \ right] _ {x = 0} ^ {x = \ infty} \, ds \\ [6pt] = 4 \ left ({\ frac {1} {2}} \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {ds} {1 + s ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] = 2 {\ Big [} \ arctan s {\ Big]} _ {0 } ^ {\ infty} \\ [6pt] = \ pi. \ end {align}}}$

Следовательно, $I\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$, как и ожидалось.

Связь с гамма-функцией

Подынтегральное выражение - это четная функция,

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; =\; 2\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; x\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; dx\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; dx\}$

Таким образом, после замены переменной $x\; =\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\}\}\}$это превращается в интеграл Эйлера

$2\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; Икс\; 2\; dx\; знак\; равно\; 2\; \int \; 0\; \infty \; 1\; 2\; e\; -\; tt\; -\; 1\; 2\; dt\; =\; \Gamma \; (1\; 2)\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; \}\; dx\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; t\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; dt\; =\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$

где $\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; tz\; -\; 1\; e\; -\; tdt\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; dt\}$- это гамма-функция. Это показывает, почему факториал полуцелого числа является рациональным кратным $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$. В более общем смысле,

$\int \; 0\; \infty \; xne\; -\; axbdx\; =\; \Gamma \; ((n\; +\; 1)\; /\; b)\; ba\; (n\; +\; 1)\; /\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\; \}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{b\}\}\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; ((n\; +\; 1)\; /\; b\; \backslash \; right)\}\; \{ba\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; /\; b\}\}\},\}$

, который можно получить, подставив $t\; =\; axb\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; ax\; ^\; \{b\}\}$в подынтегральное выражение гамма-функции, чтобы получить $\Gamma \; (z)\; =\; azb\; \int \; 0\; \infty \; xbz\; -\; 1\; e\; -\; axbdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; a\; ^\; \{z\}\; b\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{bz-1\}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{b\}\; \}\; dx\}$.

Обобщения

Интеграл от функции Гаусса

Интеграл от произвольной функции Гаусса равен

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; a\; (\; x\; +\; b)\; 2\; dx\; =\; \pi \; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; a\; (x\; +\; b)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\}.\}$

Альтернативная форма:

$\int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; cdx\; =\; \pi \; aeb\; 2\; 4\; a\; +\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{4a\}\}\; +\; c\}.\}$

Эта форма полезна для вычисления ожиданий некоторых непрерывных распределений вероятностей, связанных с нормальным распределением, таких как логнормальное распределение, например.

n-мерное и функциональное обобщение

Предположим, что A - симметричная положительно определенная (следовательно, обратимая) матрица точности размера n × n , которая является матрицей, обратной матрице ковариационная матрица. Тогда

$\int \; -\; \infty \; \infty \; exp\; \; (-\; 1\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; n\; A\; ijxixj)\; dnx\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; exp\; \; (-\; 1\; 2\; x\; TA\; x)\; dnx\; =\; (2\; \pi )\; n\; det\; A\; Знак\; равно\; 1\; det\; (A\; /\; 2\; \pi )\; =\; det\; (2\; \pi \; A\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{ij\}\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{T\}\; Ax\; \backslash \; right)\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; det\; A\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; det\; (A\; /\; 2\; \backslash \; pi)\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; det\; (2\; \backslash \; pi\; A\; ^\; \{-\; 1\})\}\}\}$

где интеграл считается превышающим R . Этот факт применяется при исследовании многомерного нормального распределения .

Кроме того,

$\int \; xk\; 1\; \cdots \; xk\; 2\; N\; exp\; \; (-\; 1\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; n\; A\; ijxixj)\; dnx\; =\; (2\; \pi )\; n\; det\; A\; 1\; 2\; NN!\; \sum \; \sigma \; \in \; S\; 2\; N\; (A\; -\; 1)\; k\; \sigma \; (1)\; k\; \sigma \; (2)\; \cdots \; (A\; -\; 1)\; k\; \sigma \; (2\; N\; -\; 1)\; k\; \sigma \; (2\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; x\_\; \{k\_\; \{\; 1\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{k\_\; \{2N\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{ij\; \}\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; det\; A\}\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{N\}\; N!\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; S\_\; \{2N\}\}\; (A\; ^\; \{-\; 1\})\; \_\; \{k\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (1)\}\; k\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2)\}\}\; \backslash \; cdots\; (A\; ^\; \{-\; 1\})\; \_\; \{k\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2N-1)\}\; k\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2N)\}\}\}$

где σ - это перестановка из {1,..., 2N}, а дополнительный множитель в правой части - это сумма по всем комбинаторным парам {1,..., 2N} из N копий A.

В качестве альтернативы

$\int \; f\; (x\; \to )\; exp\; \; (-\; 1\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; n\; A\; ijxixj)\; dnx\; =\; (2\; \pi )\; n\; det\; A\; exp\; \; (1\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; n\; (\; A\; -\; 1)\; ij\; \partial \; \partial \; xi\; \partial \; \partial \; xj)\; f\; (x\; \to )\; |\; Икс\; \to \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; е\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{\; n\}\; A\_\; \{ij\}\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; \backslash \; det\; A\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left.\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; (\{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (A\; ^\; \{-\; 1\})\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\; \backslash \; right)\}\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; 0\}\}$

для некоторых аналитическая функция f, при условии, что она удовлетворяет некоторым подходящим ограничениям на ее рост и некоторым другим техническим критериям. (Он работает для некоторых функций и не работает для других. Полиномы - это хорошо.) Экспонента над дифференциальным оператором понимается как степенной ряд.

, в то время как функциональные интегралы не имеют строгого определения (или даже в большинстве случаев нестрогий вычислительный), мы можем определить гауссовский функциональный интеграл по аналогии с конечномерным случаем. Однако остается проблема, заключающаяся в том, что $(2\; \pi )\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$бесконечно, а также функциональный определитель Тоже было бы вообще бесконечно. Об этом можно позаботиться, если мы будем рассматривать только отношения:

$\int \; f\; (x\; 1)\; \cdots \; f\; (x\; 2\; N)\; exp\; \; [-\; \iint \; 1\; 2\; A\; (x\; 2\; N\; +\; 1,\; x\; 2\; N\; +\; 2)\; f\; (x\; 2\; N\; +\; 1)\; f\; (x\; 2\; N\; +\; 2)\; ddx\; 2\; N\; +\; 1\; ddx\; 2\; N\; +\; 2]\; D\; f\; \int \; exp\; \; [-\; \iint \; 1\; 2\; A\; (x\; 2\; N\; +\; 1,\; x\; 2\; N\; +\; 2)\; f\; (x\; 2\; N\; +\; 1)\; f\; (x\; 2\; N\; +\; 2)\; ddx\; 2\; N\; +\; 1\; ddx\; 2\; N\; +\; 2]\; D\; f\; =\; 1\; 2\; NN!\; \sum \; \sigma \; \in \; S\; 2\; N\; A\; -\; 1\; (x\; \sigma \; (1),\; x\; \sigma \; (2))\; \cdots \; A\; -\; 1\; (x\; \sigma \; (2\; N\; -\; 1),\; x\; \sigma \; (2\; N)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; f\; (x\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; f\; (x\_\; \{2N\})\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{-\; \backslash \; iint\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; A\; (x\_\; \{2N\; +\; 1\},\; x\_\; \{2N\; +\; 2\})\; f\; (x\_\; \{2N\; +\; 1\})\; f\; (x\_\; \{2N\; +\; 2\})\; d\; ^\; \{d\}\; x\_\; \{2N\; +\; 1\}\; d\; ^\; \{d\}\; x\_\; \{2N\; +\; 2\}\; \}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; f\}\; \{\backslash \; int\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{-\; \backslash \; iint\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; A\; (x\_\; \{2N\; +\; 1\},\; x\_\; \{2N\; +\; 2\}))\; f\; (x\_\; \{2N\; +\; 1\})\; f\; (x\_\; \{2N\; +\; 2\})\; d\; ^\; \{d\}\; x\_\; \{2N\; +\; 1\}\; d\; ^\; \{d\}\; x\_\; \{2N\; +\; 2\}\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\; \}\}\; f\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{N\}\; N!\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; S\_\; \{2N\}\}\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; (x\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (1)\},\; x\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2)\})\; \backslash \; cdots\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; (x\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2N-1)\},\; x\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (2N)\}).\}$

В DeWitt обозначение, уравнение выглядит идентично конечномерному случаю.

n-мерная с линейным членом

Если A снова является симметричной положительно определенной матрицей, то (при условии, что все являются векторами-столбцами)

$\int \; e\; -\; 1\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; n\; A\; ijxixj\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; B\; ixidnx\; =\; \int \; e\; -\; 1\; 2\; x\; \to \; TA\; x\; \to \; +\; B\; \to \; T\; x\; \to \; dnx\; =\; (2\; \pi )\; n\; det\; A\; e\; 1\; 2\; B\; \to \; TA\; -\; 1\; B\; \to .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{ij\}\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\}\; +\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}\}\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\; \}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}\; d\; ^\; \{n\}\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; det\; \{A\}\}\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{-1\}\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\}.\}$

Интегралы аналогичной формы

$\int \; 0\; \infty \; x\; 2\; ne\; -\; x\; 2\; a\; 2\; dx\; =\; \pi \; a\; 2\; n\; +\; 1\; (2\; n\; -\; 1)!\; !\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{2n\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; (2n-1)\; !!\}\; \{2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\}$

$\int \; 0\; \infty \; x\; 2\; n\; +\; 1\; e\; -\; х\; 2\; а\; 2\; дх\; =\; п!\; 2\; a\; 2\; n\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{2\}\}\; a\; ^\; \{2n\; +\; 2\}\}$

$\int \; 0\; \infty \; x\; 2\; ne\; -\; ax\; 2\; dx\; =\; (2\; n\; -\; 1)!\; !\; an\; 2\; n\; +\; 1\; \pi \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{2n\}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-1)!\; !\}\; \{a\; ^\; \{n\}\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\}\}$

$\int \; 0\; \infty \; x\; 2\; n\; +\; 1\; e\; -\; ax\; 2\; dx\; =\; п!\; 2\; an\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{2a\; ^\; \{\; n\; +\; 1\}\}\}\}$

$\int \; 0\; \infty \; xne\; -\; ax\; 2\; dx\; =\; \Gamma \; (n\; +\; 1\; 2)\; 2\; an\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; ax\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\})\}\; \{2a\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; \}\}\}$

где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- положительное целое число, а $!\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; !!\}$обозначает двойной факториал.

Легкий способ получить их - дифференцировать под знаком интеграла.

$\int \; -\; \infty \; \infty \; x\; 2\; ne\; -\; \alpha \; x\; 2\; dx\; =\; (-\; 1)\; n\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \partial \; n\; \partial \; \alpha \; ne\; -\; \alpha \; x\; 2\; dx\; =\; (-\; 1)\; n\; \partial \; n\; \partial \; \alpha \; n\; \int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; \alpha \; x\; 2\; dx\; =\; \pi \; (-\; 1)\; N\; \partial \; N\; \partial \; \alpha \; N\; \alpha \; -\; 1\; 2\; знак\; равно\; \pi \; \alpha \; (2\; N\; -\; 1)!\; !\; (2\; \alpha )\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{2n\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; справа)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; альфа\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-1)\; !!\}\; \{\backslash \; left\; (2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Можно также интегрировать по частям и найдите рекуррентное отношение, чтобы решить эту проблему.

Многочлены высшего порядка

Применение линейной замены базиса показывает, что интеграл экспоненты однородного многочлена от n переменных может зависеть только от SL (n) -инварианты полинома. Одним из таких инвариантов является дискриминант , нули которого отмечают особенности интеграла. Однако интеграл может также зависеть от других инвариантов.

Показатели других четных многочленов могут быть решены численно с использованием рядов. Их можно интерпретировать как формальные вычисления, когда нет сходимости. Например, решение интеграла от экспоненты полинома четвертой степени равно

$\int \; -\; \infty \; \infty \; eax\; 4\; +\; bx\; 3\; +\; cx\; 2\; +\; dx\; +\; fdx\; =\; 1\; 2\; ef\; \sum \; n,\; m,\; p\; =\; 0\; n\; +\; p\; =\; 0\; mod\; 2\; \infty \; bnn!\; с\; м\; м!\; д\; п\; п!\; Г\; (3\; п\; +\; 2\; м\; +\; р\; +\; 1\; 4)\; (-\; а)\; 3\; п\; +\; 2\; м\; +\; р\; +\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{ax\; ^\; \{4\}\; +\; bx\; ^\; \{3\}\; +\; cx\; ^\; \{2\}\; +\; dx\; +\; f\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{f\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; n,\; m,\; p\; =\; 0\; \backslash \backslash \; n\; +\; p\; =\; 0\; \backslash \; mod\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{m\}\}\; \{m!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{p\}\}\; \{p!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3n\; +\; 2m\; +\; p\; +\; 1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{(-\; a)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3n\; +\; 2m\; +\; p\; +\; 1\}\; \{4\}\}\}\}.\}$

Требование n + p = 0 mod 2 состоит в том, что интеграл от −∞ до 0 дает коэффициент (−1) / 2 для каждого члена, а интеграл от 0 до + ∞ дает коэффициент 1/2 для каждого члена. Эти интегралы появляются в таких предметах, как квантовая теория поля.

См. Также

• Математический портал
• Физический портал

• Список интегралов от функций Гаусса
• Общие интегралы в квантовой теории поля
• Нормальное распределение
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Функция ошибок
• Интеграл Березина

Ссылки

Цитаты

Источники