В математике, то симметричное производное представляет собой операцию, обобщающей обычную производную. Он определяется как
Выражение под предельным значением иногда называют симметричным разностным фактором. Функция называется симметрично дифференцируемой в точке x, если в этой точке существует ее симметричная производная.
Если функция дифференцируема (в обычном смысле) в точке, то она также симметрично дифференцируема, но обратное неверно. Хорошо известный контрпример - функция абсолютного значения f ( x) = | х |, которая не дифференцируема при x = 0, но симметрично дифференцируема здесь с симметричной производной 0. Для дифференцируемых функций симметричное разностное отношение действительно обеспечивает лучшее численное приближение производной, чем обычное разностное отношение.
Симметричной производной в данной точке равно среднее арифметическое из левых и правых производных в этой точке, если последние две оба существуют.
Для симметричной производной не верны ни теорема Ролля, ни теорема о среднем значении ; были доказаны некоторые похожие, но более слабые утверждения.
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Примеры
- 1.1 Функция абсолютного значения
- 1.2 Функция x −2
- 1.3 Функция Дирихле
- 2 Теорема о квазисреднем значении
- 3 Обобщения
- 3.1 Вторая симметричная производная
- 4 См. Также
- 5 Примечания
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Примеры
Функция абсолютного значения
График функции абсолютного значения. Обратите внимание на резкий поворот при x = 0, приводящий к недифференцируемости кривой при x = 0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0. Однако симметричная производная существует для функции при x = 0.
Для абсолютного значения функции, используя обозначение для симметричной производной, мы имеем в том, что
Следовательно, симметричная производная функции абсолютного значения существует в точке и равна нулю, даже если ее обычная производная не существует в этой точке (из-за «резкого» поворота кривой в точке).
Обратите внимание, что в этом примере левая и правая производные в 0 существуют, но они не равны (одна равна -1, а другая - +1); их среднее значение равно 0, как и ожидалось.
Функция x −2
График y = 1 / x
2. Обратите внимание на разрыв при x = 0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0. Однако симметричная производная существует для функции при x = 0.
Для функции при мы имеем
Опять же, для этой функции симметричная производная существует в точке, в то время как ее обычная производная не существует в точке из-за разрыва кривой там. Кроме того, ни левая, ни правая производная не конечны в 0, т. Е. Это существенный разрыв.
Функция Дирихле
Функция Дирихле, определяемая как
имеет симметричную производную в каждом, но не является симметрично дифференцируемой ни в какой ; т.е. симметричная производная существует в рациональных числах, но не в иррациональных числах.
Теорема о квазисреднем значении
Симметричная производная не подчиняется обычной теореме о среднем значении (Лагранжа). В качестве контрпримера симметричная производная функции f ( x) = | х | имеет изображение {−1, 0, 1}, но секущие для f могут иметь более широкий диапазон углов наклона; например, на интервале [-1, 2] теорема о среднем значении требует, чтобы существовала точка, в которой (симметричная) производная принимает значение.
Теорема, отчасти аналогичная теореме Ролля, но для симметричной производной, была установлена в 1967 г. К. Э. Оуллом, который назвал ее квазиролльской теоремой. Если f непрерывна на отрезке [ a, b ] и симметрично дифференцируема на открытом отрезке ( a, b) и f ( a) = f ( b) = 0, то существуют две точки x, y на отрезке ( a, b) такие, что f s ( x) ≥ 0 и f s ( y) ≤ 0. Лемма, также установленная Aull как ступенька к этой теореме, утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a, b ] и симметрично дифференцируемым на открытом интервале ( a, b), и дополнительно f ( b)gt; f ( a), то существует точка z в ( a, b), где симметричная производная неотрицательна, или с обозначением использованное выше, f s ( z) ≥ 0. Аналогично, если f ( b) lt; f ( a), то существует точка z в ( a, b), где f s ( z) ≤ 0.
Теорема о квазисреднем значении для симметрично дифференцируемой функции утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a, b ] и симметрично дифференцируема на открытом интервале ( a, b), то существуют x, y в ( a, б) такие, что
В качестве приложения теорема о квазисреднем значении для f ( x) = | х | на интервале, содержащем 0 предсказывает, что наклон любой секущей из F находится в диапазоне от -1 до 1.
Если симметричная производная от f обладает свойством Дарбу, то (форма) регулярной теоремы (Лагранжа) о среднем значении верна, т.е. существует z в ( a, b) такое, что
Как следствие, если функция непрерывна и ее симметричная производная также непрерывна (таким образом, обладает свойством Дарбу), то функция дифференцируема в обычном смысле.
Обобщения
Это понятие обобщается на симметрические производные высшего порядка, а также на n -мерные евклидовы пространства.
Вторая симметричная производная
Вторая симметричная производная определяется как
Если (обычная) вторая производная существует, то вторая симметричная производная существует и равна ей. Однако вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычной) второй производной нет. В качестве примера рассмотрим знаковую функцию, которая определяется как
Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому второй производной для не существует. Но вторая симметричная производная существует для:
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства вещественных функций. Марсель Деккер. ISBN 0-8247-9230-0.
- А.Б. Харазишвили (2005). Странные функции в реальном анализе (2-е изд.). CRC Press. п. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
- Aull, CE (1967). «Первая симметричная производная». Являюсь. Математика. Пн. 74 (6): 708–711. DOI : 10.1080 / 00029890.1967.12000020.
Внешние ссылки