Симметричная производная

редактировать

В математике, то симметричное производное представляет собой операцию, обобщающей обычную производную. Он определяется как

Lim час 0 ж ( Икс + час ) - ж ( Икс - час ) 2 час . {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}.}

Выражение под предельным значением иногда называют симметричным разностным фактором. Функция называется симметрично дифференцируемой в точке x, если в этой точке существует ее симметричная производная.

Если функция дифференцируема (в обычном смысле) в точке, то она также симметрично дифференцируема, но обратное неверно. Хорошо известный контрпример - функция абсолютного значения f ( x) = | х |, которая не дифференцируема при x = 0, но симметрично дифференцируема здесь с симметричной производной 0. Для дифференцируемых функций симметричное разностное отношение действительно обеспечивает лучшее численное приближение производной, чем обычное разностное отношение.

Симметричной производной в данной точке равно среднее арифметическое из левых и правых производных в этой точке, если последние две оба существуют.

Для симметричной производной не верны ни теорема Ролля, ни теорема о среднем значении ; были доказаны некоторые похожие, но более слабые утверждения.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Примеры
    • 1.1 Функция абсолютного значения
    • 1.2 Функция x −2
    • 1.3 Функция Дирихле
  • 2 Теорема о квазисреднем значении
  • 3 Обобщения
    • 3.1 Вторая симметричная производная
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Примеры

Функция абсолютного значения

График функции абсолютного значения. Обратите внимание на резкий поворот при x  =  0, приводящий к недифференцируемости кривой при x  =  0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0. Однако симметричная производная существует для функции при x  =  0.

Для абсолютного значения функции, используя обозначение для симметричной производной, мы имеем в том, что ж ( Икс ) знак равно | Икс | {\ Displaystyle f (x) = | x |} ж s ( Икс ) {\ displaystyle f_ {s} (x)} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}

ж s ( 0 ) знак равно Lim час 0 ж ( 0 + час ) - ж ( 0 - час ) 2 час знак равно Lim час 0 ж ( час ) - ж ( - час ) 2 час знак равно Lim час 0 | час | - | - час | 2 час знак равно Lim час 0 | час | - | час | 2 час знак равно Lim час 0 0 2 час знак равно 0. {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {s} (0) amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (0 + h) -f (0-h)} {2h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (h) -f (-h)} {2h}} \\ amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| h | - | {-h} |} {2h}} \\ amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| h | - | h |} {2h}} = \ lim _ {h \ to 0} { \ frac {0} {2h}} = 0. \\\ конец {выровнен}}}

Следовательно, симметричная производная функции абсолютного значения существует в точке и равна нулю, даже если ее обычная производная не существует в этой точке (из-за «резкого» поворота кривой в точке). Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}

Обратите внимание, что в этом примере левая и правая производные в 0 существуют, но они не равны (одна равна -1, а другая - +1); их среднее значение равно 0, как и ожидалось.

Функция x −2

График y = 1 / x 2. Обратите внимание на разрыв при x = 0. Следовательно, функция не имеет обычной производной при x = 0. Однако симметричная производная существует для функции при x = 0.

Для функции при мы имеем ж ( Икс ) знак равно 1 / Икс 2 {\ Displaystyle е (х) = 1 / х ^ {2}} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}

ж s ( 0 ) знак равно Lim час 0 ж ( 0 + час ) - ж ( 0 - час ) 2 час знак равно Lim час 0 ж ( час ) - ж ( - час ) 2 час знак равно Lim час 0 1 / час 2 - 1 / ( - час ) 2 2 час знак равно Lim час 0 1 / час 2 - 1 / час 2 2 час знак равно Lim час 0 0 2 час знак равно 0. {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {s} (0) amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (0 + h) -f (0-h)} {2h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (h) -f (-h)} {2h}} \\ amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1 / h ^ { 2} -1 / (- h) ^ {2}} {2h}} \\ amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1 / h ^ {2} -1 / h ^ {2} } {2h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {0} {2h}} = 0. \ end {align}}}

Опять же, для этой функции симметричная производная существует в точке, в то время как ее обычная производная не существует в точке из-за разрыва кривой там. Кроме того, ни левая, ни правая производная не конечны в 0, т. Е. Это существенный разрыв. Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}

Функция Дирихле

Функция Дирихле, определяемая как

ж ( Икс ) знак равно { 1 , если  Икс  рационально 0 , если  Икс  иррационально {\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1, amp; {\ text {if}} x {\ text {isrational}} \\ 0, amp; {\ text {if}} x {\ text { иррационально}} \ end {cases}}}

имеет симметричную производную в каждом, но не является симметрично дифференцируемой ни в какой ; т.е. симметричная производная существует в рациональных числах, но не в иррациональных числах. Икс Q {\ Displaystyle х \ в \ mathbb {Q}} Икс р Q {\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}

Теорема о квазисреднем значении

Симметричная производная не подчиняется обычной теореме о среднем значении (Лагранжа). В качестве контрпримера симметричная производная функции f ( x) = | х | имеет изображение {−1, 0, 1}, но секущие для f могут иметь более широкий диапазон углов наклона; например, на интервале [-1, 2] теорема о среднем значении требует, чтобы существовала точка, в которой (симметричная) производная принимает значение. | 2 | - | - 1 | 2 - ( - 1 ) знак равно 1 3 {\ displaystyle {\ frac {| 2 | - | -1 |} {2 - (- 1)}} = {\ frac {1} {3}}}

Теорема, отчасти аналогичная теореме Ролля, но для симметричной производной, была установлена ​​в 1967 г. К. Э. Оуллом, который назвал ее квазиролльской теоремой. Если f непрерывна на отрезке [ a,  b ] и симметрично дифференцируема на открытом отрезке ( a,  b) и f ( a) = f ( b) = 0, то существуют две точки x, y на отрезке ( a,  b) такие, что f s ( x) ≥ 0 и f s ( y) ≤ 0. Лемма, также установленная Aull как ступенька к этой теореме, утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a,  b ] и симметрично дифференцируемым на открытом интервале ( a,  b), и дополнительно f ( b)gt; f ( a), то существует точка z в ( a,  b), где симметричная производная неотрицательна, или с обозначением использованное выше, f s ( z) ≥ 0. Аналогично, если f ( b) lt; f ( a), то существует точка z в ( a,  b), где f s ( z) ≤ 0.

Теорема о квазисреднем значении для симметрично дифференцируемой функции утверждает, что если f непрерывна на отрезке [ a,  b ] и симметрично дифференцируема на открытом интервале ( a,  b), то существуют x, y в ( a,  б) такие, что

ж s ( Икс ) ж ( б ) - ж ( а ) б - а ж s ( у ) . {\ displaystyle f_ {s} (x) \ leq {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} \ leq f_ {s} (y).}

В качестве приложения теорема о квазисреднем значении для f ( x) = | х | на интервале, содержащем 0 предсказывает, что наклон любой секущей из F находится в диапазоне от -1 до 1.

Если симметричная производная от f обладает свойством Дарбу, то (форма) регулярной теоремы (Лагранжа) о среднем значении верна, т.е. существует z в ( a,  b) такое, что

ж s ( z ) знак равно ж ( б ) - ж ( а ) б - а . {\ displaystyle f_ {s} (z) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}

Как следствие, если функция непрерывна и ее симметричная производная также непрерывна (таким образом, обладает свойством Дарбу), то функция дифференцируема в обычном смысле.

Обобщения

Это понятие обобщается на симметрические производные высшего порядка, а также на n -мерные евклидовы пространства.

Вторая симметричная производная

Вторая симметричная производная определяется как

Lim час 0 ж ( Икс + час ) - 2 ж ( Икс ) + ж ( Икс - час ) час 2 . {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}.

Если (обычная) вторая производная существует, то вторая симметричная производная существует и равна ей. Однако вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычной) второй производной нет. В качестве примера рассмотрим знаковую функцию, которая определяется как sgn ( Икс ) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}

sgn ( Икс ) знак равно { - 1 если  Икс lt; 0 , 0 если  Икс знак равно 0 , 1 если  Икс gt; 0. {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 amp; {\ text {if}} x lt;0, \\ 0 amp; {\ text {if}} x = 0, \\ 1 amp; {\ текст {if}} xgt; 0. \ end {case}}}

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому второй производной для не существует. Но вторая симметричная производная существует для: Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}

Lim час 0 sgn ( 0 + час ) - 2 sgn ( 0 ) + sgn ( 0 - час ) час 2 знак равно Lim час 0 sgn ( час ) - 2 0 + ( - sgn ( час ) ) час 2 знак равно Lim час 0 0 час 2 знак равно 0. {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (0 + h) -2 \ operatorname {sgn} (0) + \ operatorname {sgn} (0-h)} {h ^ {2}}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (h) -2 \ cdot 0 + (- \ operatorname {sgn} (h))} {h ^ { 2}}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {0} {h ^ {2}}} = 0.}

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

  • Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства вещественных функций. Марсель Деккер. ISBN   0-8247-9230-0.
  • А.Б. Харазишвили (2005). Странные функции в реальном анализе (2-е изд.). CRC Press. п. 34. ISBN   978-1-4200-3484-4.
  • Aull, CE (1967). «Первая симметричная производная». Являюсь. Математика. Пн. 74 (6): 708–711. DOI : 10.1080 / 00029890.1967.12000020.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-19 01:38:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте