Полу-дифференцируемость

В исчислении, раздел математики, понятия односторонней дифференцируемости и полудифференцируемости вещественная -значная функция f действующей переменной слабее, чем дифференцируемость. В частности, функция f называется дифференцируемой справа в точке a, если, грубо говоря, производная может быть определена, когда аргумент функции x перемещается в точку a справа, и дифференцируемый слева в a, если производная может быть определена как x перемещается в a слева.

• 1 Одномерный случай
  • 1.1 Определения
  • 1.2 Замечания и примеры
  • 1.3 Применение
  • 1.4 Дифференциальные операторы, действующие слева или справа
• 2 Многомерный случай
• 3 Свойства
• 4 Обобщение
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция не сплошной есть. Однако он имеет правую производную во всех точках, причем $\partial \; +\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{+\}\; f\; (a)\}$постоянно равно 0.

In математика, левая производная и правая производная - это производные (скорость изменения функции), начало для движения только в одном направлении (влево или вправо, то есть на меньшие или большие значения) аргумент функции.

Определения

Пусть f обозначает функцию с действительными значениями, определенную на подмножестве I действительных чисел.

Еслиa ∈ I является предельной точкой I ∩ [a, ∞) и односторонним пределом

$\partial \; +\; f\; (a):\; =\; lim\; x\; \to \; a\; +\; x\; \in \; I\; f\; (x)\; -\; f\; (a)\; x\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{+\}\; f\; (a):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; scriptstyle\; x\; \backslash \; to\; a\; ^\; \{+\}\; \backslash \; atop\; \backslash \; стиль\; сценария\; x\; \backslash \; in\; I\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (\; a)\}\; \{xa\}\}\}$

существует как действительное число, тогда f называется правым дифференцируемым в a и предел ∂ + f (a) называется правой производной функции f в точке a.

Если a ∈ I - предельная точка I ∩ (–∞, a] и односторонний предел

$\partial \; -\; f\; (a):\; =\; lim\; x\; \to \; a\; -\; x\; \in \; I\; f\; (\; х)\; -\; е\; (а)\; х\; -\; а\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{-\}\; f\; (a):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; scriptstyle\; x\; \backslash \; to\; a\; ^\; \{-\}\; \backslash \; atop\; \backslash \; scriptstyle\; x\; \backslash \; in\; I\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (a)\}\; \{xa\}\}\}$

существует как действительное число, тогда f называется дифференцируемой слева в точке a, а предел ∂ - f (a) называется левой производной функции f в точке a.

Если a ∈ I является предельной точкой I ∩ [a, ∞) и I ∩ (–∞, a], и если f дифференцируема слева и справа в a, то f называется полудифференцируемой в a.

Еслилевая и правая производные равны, то они имеют одинаковое значение как обычную ("двунаправленную") производную. Можно также определить симметричную производную, которая равна среднему арифметическому левой и правой производных (когда они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная отсутствует.

Замечания и примеры

• Функция дифференцируема при внутренняя точка a его области тогда и только тогда, когда она полудифференцируема в a и левая производная равна правой производной.
• Пример полу- дифференцируемая функция, которая не является дифференцируемой, является абсолютным значением при a = 0.
• Если функция полудифференцируема в точке a, это означает, что она непрерывна в точке a.
• индикаторная функция 1 [0, ∞) дифференцируема справа в каждом действительном a, но разрывна в нуле (обратите внимание, что эта индикаторная функция не дифференцируема слева в

Применение

Если действительная дифференцируемая функция f, определенная на интервале I действительной прямой, везде имеетнулевуюпроизводную, то она постоянна, как приложение Теорема о среднем значении показывает. Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости f. Версия для дифференцируемых справа функций приведена ниже, версия для дифференцируемых слева функций аналогична.

Теорема - Пусть f - вещественная непрерывная функция, определенная на произвольном интервале I вещественной прямой. Если f дифференцируема справа в каждой точке a ∈ I, которая не является супремумом интервала, и если эта правая производная всегда равна нулю, то f константа.

Доказательство -

Для доказательства от противного предположим, что существует < b in I such that f(a) ≠ f(b). Then

$\epsilon :\; =\; |\; f\; (b)\; -\; f\; (a)\; |\; 2\; (б\; -\; а)>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; f\; (b)\; -f\; (a)\; |\}\; \{2\; (ba)\}\}>0.\}$

Определите c как инфимум всех этих x в интервале (a, b], для которого разностное отношение функции f превышает ε по модулю, то есть

$c\; =\; inf\; \{x\; \in \; (a,\; b]\; \mid \; |\; f\; (x)\; -\; е\; (а)\; |>\epsilon \; (х\; -\; а)\},\; \{\backslash \; Displaystyle\; с\; =\; \backslash \; инф\; \backslash \; \{\backslash ,\; х\; \backslash \; в\; (а,\; б]\; \backslash \; середина\; |\; е\; (х)\; -f\; (а)\; |>\backslash \; varepsilon\; (\; xa)\; \backslash ,\; \backslash \}.\}$

Из-за непрерывности f следует, что c < b and |f(c) – f(a)| = ε(c – a). At c the right derivative of f is zero by assumption, hence there exists d in the interval (c,b] with |f(x) – f(c)| ≤ ε(x – c) for all x in (c,d]. Hence, by the неравенство треугольника,

$|\; f\; (x)\; -\; f\; (a)\; |\; \le \; |\; е\; (Икс)\; -\; е\; (с)\; |\; +\; |\; е\; (с)\; -\; е\; (а)\; |\; \le \; \epsilon \; (х\; -\; а)\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; е\; (х)\; -f\; (а)\; |\; \backslash \; Leq\; |\; f\; (х)\; -f\; (c)\; |\; +\; |\; f\; (c)\; -f\; (a)\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; varepsilon\; (xa)\}$

для всех x в [c, d), что противоречит определению c.

Дифференциальныеоператоры, действующие влево или вправо

Другое распространенное использование - описывать производные, рассматриваемые как бинарные операторы винфиксной нотации, в которой производные для применения к левому или правому операнду. Это полезно, например, при определении обобщений скобки Пуассона. Для пары функций f и g левая и правая производные соответственно определяются как

$f\; \partial \; \leftarrow \; xg\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; \cdot \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; leftarrow\}\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{\; x\}\; g\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; cdot\; g\}$

$f\; \partial \; \to \; xg\; =\; f\; \cdot \; \partial \; g\; \partial \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; rightarrow\}\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{x\}\; g\; =\; f\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}.\}$

В бюстгальтере– Кет-нотация, оператор производной может действовать на правый операнд как регулярная производная или на левый как отрицательная производная.

Многомерный случай

Это определение выше может быть обобщено к действительным функциям f, определенным на подмножествах R, с использованием более слабой версии производной по направлению. Пусть a - внутренняя точка области определения f. Тогда f называется полудифференцируемой в точке a, если для любого направления u ∈ R предел

$\partial \; uf\; (a)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; +\; f\; (a\; +\; hu)\; -\; f\; (a)\; час\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{u\}\; f\; (a)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (a\; +\; h\; \backslash ,\; u)\; -f\; (a)\}\; \{h\; \}\}\}$

существует как действительное число.

Полудифференцируемость, таким образом, слабее, чем дифференцируемость по Гато, для которой принимают предел выше h → 0, не ограничивая h только положительными значениями.

Например, функция $f\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\; \}\}\}\}$является полудифференцируемым в $(0,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,0)\}$, но не дифференцируемым по Гато там.

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для n = 1, поскольку концепция односторонних предельных точек заменена более сильной концепцией внутренних точек.)

Свойства

• Любая выпуклая функция на выпуклом открытомподмножестве из R является полудифференцируемой.
• В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывно; это больше не верно для нескольких переменных.

Обобщение

Вместо функций с действительными значениями можно рассматривать функции, принимающие значения в R или в банаховом пространстве.

См. Также

• Производная
• Направленная производная
• Частная производная
• Градиент
• Производная Гато
• Производная Фреше
• Производная (обобщения)
• Формулировка фазового пространства # Звездное произведение
• Производные Дини

Ссылки

• Preda, V.; Chiescu, I. (1999). «О квалификации ограничений в задачах многокритериальной оптимизации: полудифференцируемый случай». J. Optim. Теория Appl. 100 (2): 417–433. doi :10. 1023/A:1021794505701.