Интегральная теорема Кирхгофа

Интегральная теорема Кирхгофа (иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа) использует Тождества Грина для получения решения однородного волнового уравнения в произвольной точке P через значения решения волнового уравнения и его производной первого порядка во всех точках на произвольной поверхности, которая охватывает P.

• 1 Уравнение
  • 1.1 Монохроматические волны
  • 1.2 Немонохроматические волны
• 2 См. также
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература

Монохроматические волны

Для монохроматической волны интеграл имеет следующий вид:

$U\; (r)\; =\; 1\; 4\; \pi \; \int \; S\; [U\; \partial \; \partial \; N\; ^\; (eikss)\; -\; eikss\; \partial \; U\; \partial \; n\; ^]\; d\; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; left\; [\; U\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{iks\}\}\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{iks\}\}\; \{s\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mat\; hbf\; \{n\}\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; dS,\}$

где интегрирование выполняется по произвольной замкнутой поверхности S (включая r ), s - расстояние от элемент поверхности до точки r, а ∂ / ∂ n обозначает дифференцирование по нормали к поверхности (производная по нормали ). Обратите внимание, что в этом уравнении нормаль указывает внутрь замкнутого объема; если используется более обычный нормаль, указывающая наружу, интеграл будет иметь противоположный знак.

Немонохроматические волны

Для немонохроматических волн может быть получена более общая форма. Комплексная амплитуда волны может быть представлена ​​интегралом Фурье вида

$V\; (r,\; t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; U\; \omega \; (r)\; e\; -\; i\; \omega \; td\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (r,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; U\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (r)\; e\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega,\}$

где, согласно обращению Фурье, мы имеем

$U\; \omega \; (r)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; V\; (r,\; t)\; ei\; \omega \; tdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; V\; (r,\; t)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Интегральная теорема (см. Выше) применяется к каждой компоненте Фурье $U\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; omega\}\}$, и получается следующее выражение:

$V\; (r,\; t)\; =\; 1\; 4\; \pi \; \int \; S\; \{[V]\; \partial \; \partial \; N\; (1\; s)\; -\; 1\; cs\; \partial \; s\; \partial \; n\; [\partial \; V\; \partial \; t]\; -\; 1\; s\; [\partial \; V\; \partial \; n]\}\; d\; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (r,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{[V]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{cs\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right]\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \}\; dS,\}$

где квадратные скобки на V термины обозначают запаздывающие значения, то есть значения в момент времени t - s / c.

Кирхгоф показал, что приведенное выше уравнение во многих случаях можно аппроксимировать к более простой форме, известной как дифракционная формула Кирхгофа или Френеля-Кирхгофа, которая эквивалентна формуле Гюйгенса –Уравнение Френеля, но дает формулу для коэффициента наклона, который в последнем не определен. Дифракционный интеграл может применяться к широкому кругу задач оптики.

• формула дифракции Кирхгофа
• Векторное исчисление
• Интеграл
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Волновой фронт
• Поверхностный интеграл

1. ^G. Кирхгоф, Энн. d. Physik. 1883, 2, 18, с. 663.
2. ^ Макс Борн и Эмиль Вольф, Принципы оптики, 1999, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 417–420.
3. ^Введение в фурье-оптику Дж. Гудман сек. 3.3.3

• Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3
• Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры, Y.B. Band, John Wiley Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0
• The Light Fantastic - Introduction to Classic and Quantum Optics, I.R. Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-856646-5
• Энциклопедия физики (2-е издание), R.G. Лернер, Г.Л. Тригг, издательство VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3