Теорема обращения Фурье

В математике в теореме об обращении Фурье говорится, что для многих типов функций можно восстановить функцию из ее преобразования Фурье. Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что, если мы знаем всю информацию о частоте и фазе о волне, то мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция $f:\; R\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, удовлетворяющая определенным условиям, и мы используем соглашение для преобразования Фурье, согласно которому

$(F\; f)\; (\xi ):\; =\; \int \; R\; e\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy,\}$

тогда

$f\; (x)\; =\; \int \; R\; e\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; (F\; f)\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Другими словами, теорема утверждает, что

$f\; (x)\; =\; \int \; \int \; R\; 2\; e\; 2\; \pi \; i\; (x\; -\; y)\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dyd\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; (xy)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .

Другой способ сформулировать теорему: если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это переворот оператор ie $(R\; f)\; (x):\; =\; f\; (-\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Rf)\; (x):\; =\; f\; (-x)\}$, затем

$F\; -\; 1\; =\; FR\; =\; RF.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; R\; =\; R\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}.\}$

Теорема верна, если оба $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и его преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ), а $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывно в точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.

• 1 Положение
  • 1.1 Обратное преобразование Фурье как интеграл
  • 1.2 Интегральная теорема Фурье
  • 1.3 Обратное преобразование в терминах оператора переворачивания
  • 1.4 Двустороннее обратное
• 2 Условия на функции
  • 2.1 Функции Шварца
  • 2.2 Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье
  • 2.3 Интегрируемые функции в одном измерении
  • 2.4 Квадратные интегрируемые функции
  • 2.5 Закаленные распределения
• 3 Связь с рядами Фурье
• 4 Приложения
• 5 Свойства обратного преобразования
• 6 Доказательство
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

В этом разделе мы предполагаем, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- интегрируемая непрерывная функция. Используйте соглашение для преобразования Фурье :

$(F\; f)\; (\xi ):\; =\; \int \; R\; n\; e\; -\; 2\; \pi \; i\; y\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; d\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (\; y)\; \backslash ,\; dy.\}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Самым распространенным утверждением теоремы об обращении Фурье является формулировка обратного преобразования как интеграла. Для любой интегрируемой функции $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и всех $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$положим

$F\; -\; 1\; g\; (x):\; =\; \int \; R\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; g\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; (x):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; g\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Тогда для всех $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$мы имеем

$F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\}$

Интегральная теорема Фурье

Теорема может можно переформулировать как

$f\; (x)\; =\; \int \; R\; n\; \int \; R\; ne\; 2\; \pi \; i\; (x\; -\; y)\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dyd\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; (xy)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\; \}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Если f является действительным знаком, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получаем

$f\; (x)\; =\; \int \; R\; n\; R\; n\; cos\; \; (2\; \pi \; (x\; -\; y)\; \cdot \; \xi )\; f\; (y)\; dyd\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; pi\; (xy)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi)\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Обратное преобразование в терминах оператора переворота

Для любой функции $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$определите оператор переворота $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$на

$R\; g\; (x):\; =\; g\; (-\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; Rg\; (x):\; =\; g\; (-x).\}$

Тогда мы можем вместо этого определить

$F\; -\; 1\; f:\; =\; R\; F\; f\; =\; F\; R\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f:\; =\; R\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; Rf.\}$

Это непосредственно из определения Фурье преобразование и оператор переворота, которые оба $RF\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\}$и $FR\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; Rf\}$соответствуют целочисленному определению $F\; -\; 1\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f\}$, и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют $F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; f\; (\; x)\}$.

Поскольку $R\; f\; =\; RF\; -\; 1\; F\; f\; =\; RRFF\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\; =\; R\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\; =\; RR\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{FF\}\}\; f\}$у нас есть $R\; =\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{2\}\}$и

$F\; -\; 1\; =\; F\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{3\}.\}$

Двусторонняя обратная

Форма сформулированной теоремы обращения Фурье выше, как это принято,

$F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\}$

Другими словами, $F\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$является левым обратным преобразованию Фурье. Однако он также является правым обратным преобразованию Фурье, т.е.

$F\; (F\; -\; 1\; f)\; (\xi )\; =\; f\; (\xi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; =\; f\; (\backslash \; xi).\}$

Поскольку $F\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$настолько похож на $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, это очень легко следует из теорема обращения Фурье (изменение переменных $\zeta :\; =\; -\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta:\; =\; -\; \backslash \; zeta\}$):

$f\; =\; F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; \int \; R\; n\; \int \; R\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; e\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dyd\; \xi \; =\; \int \; R\; n\; \int \; R\; ne\; -\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \zeta \; e\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \zeta \; f\; (y)\; dyd\; \zeta \; =\; F\; (F\; -\; 1\; f)\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{\; R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{\; -2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; zeta\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; zeta\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\; \}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f)\; (x).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В качестве альтернативы, это можно увидеть из отношения между $F\; -\; 1\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f\}$и оператор переворачивания и ассоциативность композиции функции, поскольку

$f\; =\; F\; -\; 1\; (F\; f)\; =\; FRF\; f\; =\; F\; (F\; -\; 1\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; R\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\; \}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f).\}$

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, и теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье верна для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые являются абсолютно интегрируемыми (т. Е. $L\; 1\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в разделе операторов.

. Небольшой вариант - отказаться от условия, что функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$должна быть непрерывной, но при этом требовать, чтобы она и его преобразование Фурье абсолютно интегрируемо. Тогда $f\; =\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; g\}$почти всюду, где g - непрерывная функция, и $F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; g\; (x)\}$для каждого $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$.

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкие; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (например, $f\; \in \; L\; 1\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$) и является кусочно гладким, то справедлива версия теоремы обращения Фурье. В этом случае мы определяем

$F\; -\; 1\; g\; (x):\; =\; lim\; R\; \to \; \infty \; \int \; -\; R\; R\; e\; 2\; \pi \; i\; x\; \xi \; g\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; (x):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{R\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; R\}\; ^\; \{R\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; g\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Тогда для всех $x\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$

$F\; -\; 1\; (F\; f)\; (х)\; знак\; равно\; 1\; 2\; (е\; (х\; -)\; +\; е\; (х\; +)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (f\; (x\; \_\; \{-\})\; +\; f\; (x\; \_\; \{+\})),\}$

т.е. $F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\}$равно среднее значение левого и правого пределов $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. В точках, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным, это просто равно $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$.

многомерный аналог этой формы Теорема также верна, но, по словам Фолланда (1992), она «довольно деликатна и не очень полезна».

кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (например, $f\; \in \; L\; 1\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$), но просто кусочно-непрерывный, то версия теоремы об обращении Фурье все еще верна. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; в частности, мы определяем

$F\; -\; 1\; g\; (x):\; =\; lim\; R\; \to \; \infty \; \int \; R\; \phi \; (\xi \; /\; R)\; e\; 2\; \pi \; i\; x\; \xi \; g\; (\xi )\; d\; \xi ,\; \phi \; (\xi ):\; =\; e\; -\; \xi \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; (x):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{R\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi\; /\; R)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; g\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi):\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\}.\}$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным и абсолютно интегрируемым на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой функцией отсечения, т.е.

$F\; -\; 1\; g\; (x):\; =\; lim\; R\; \to \; \infty \; \int \; R\; n\; \phi \; (\xi \; /\; R)\; e\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; g\; (\xi )\; d\; \xi ,\; \phi \; (\xi ):\; =\; e\; -\; |\; \xi \; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; (x):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{R\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi\; /\; R)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; g\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi):\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; vert\; \backslash \; xi\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\}.\}$

Теперь вывод простой: для всех $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$

$F\; -\; 1\; (F\; f)\; (х)\; =\; е\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если мы отбросим все предположения о (кусочной) непрерывности $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и предположим просто, что оно абсолютно интегрируемо, тогда версия теоремы все еще держит. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого отсечения, но с выводом, что

$F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\; =\; f\; (x)\}$

для почти для каждого $x\; \in \; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого он определяется аргументом плотности (см. статью о преобразовании Фурье ). Например, положив

$g\; k\; (\xi ):\; =\; \int \; \{y\; \in \; R\; n:\; |\; y\; |\; \le \; к\}\; е\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \xi \; е\; (y)\; dy,\; к\; \in \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{k\}\; (\backslash \; xi):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; \{y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \}:\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; y\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy,\; \backslash \; qquad\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\}$

мы можем установить $F\; f:\; =\; lim\; k\; \to \; \infty \; gk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f:\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; g\_\; \{k\}\}$где предел берется в $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$-norm. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворота. Тогда мы имеем

$f\; (x)\; =\; F\; (F\; -\; 1\; f)\; (x)\; =\; F\; -\; 1\; (F\; f)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f)\; (x)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (x)\}$

в среднеквадратичная норма. В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что он сходится для почти для каждого x∈ℝ - это теорема Карлесона, но ее гораздо труднее доказать, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные распределения

Преобразование Фурье может быть определено в пространстве умеренных распределений $S\; \text{'}(R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\; \}\; \text{'}(\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$в силу двойственности преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. В частности, для $f\; \in \; S\; \prime \; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \text{'}(\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$и для всех тестовых функций $\phi \; \in \; S\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$мы устанавливаем

$⟨F\; f\; \phi ⟩:\; знак\; равно\; ⟨е,\; F\; \phi ⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f,\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle:\; =\; \backslash \; langle\; f,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle,\}$

где $F\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; varphi\}$определяется с использованием интегральной формулы. Если $е\; \in \; L\; 1\; (R\; n)\; \cap \; L\; 2\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; cap\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$то это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование $F\; -\; 1:\; S\; \prime \; (R\; n)\; \to \; S\; \prime \; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \text{'}(\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\text{'}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$, либо по двойственности из обратного преобразования по Шварцу функционирует таким же образом или определив его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда имеем

$F\; F\; -\; 1\; =\; F\; -\; 1\; F\; =\; Id\; S\; \prime \; (R\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \text{'}(\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}.\}$

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала на $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$(или $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$-периодический). В этом разделе мы вместо этого используем несколько необычное соглашение, согласно которому $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$действует на $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$, поскольку это соответствует соглашению о преобразовании Фурье, используемом здесь.

Теорема обращения Фурье аналогична сходимости ряда Фурье. В случае преобразования Фурье мы имеем

$f:\; R\; n\; \to \; C,\; f\; ^:\; R\; n\; \to \; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\}$

$f\; ^\; (\xi ):\; =\; \int \; R\; ne\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy,\}$

$f\; (x)\; =\; R\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; f\; ^\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; е\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

В случае ряда Фурье вместо этого мы имеем

$f:\; [0,\; 1]\; n\; \to \; C,\; f\; ^:\; Z\; n\; \to \; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; [0,1]\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\}$

$f\; ^\; (k):\; =\; \int \; [0,\; 1]\; ne\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; kf\; (y)\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (k):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{[0,1]\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; k\}\; \backslash ,\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy,\}$

$f\; (x)\; =\; \sum \; k\; \in \; Z\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; kf\; ^\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; k\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (k).\}$

В частности, в одном измерении $k\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, а сумма идет от $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}\; От$до $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$.

Некоторые проблемы, такие как некоторые дифференциальные уравнения, легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной проблемы восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В применениях преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема об обращении Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как о операторе (см. преобразование Фурье в функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье для $f\; \in \; L\; 2\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на $L\; 2\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$.

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье выполняются для обратного преобразования Фурье, такие как теорема о свертке и лемма Римана – Лебега.

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив функцию поиска с помощью оператора переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

$f\; (x)\; =\; rect\; \; (a\; x)\; \Rightarrow \; (F\; f)\; (\xi )\; =\; 1\; |\; а\; |\; sinc\; \; (\xi \; a),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; (ax)\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; a\; |\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; !,\}$

, поэтому соответствующий факт для обратного преобразования равен

$g\; (\xi )\; =\; rect\; \; (a\; \xi )\; \Rightarrow \; (F\; -\; 1\; g)\; (x)\; =\; 1\; |\; а\; |\; sinc\; \; (-\; х\; а).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; xi)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; (a\; \backslash \; xi)\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g)\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; a\; |\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; !.\}$

Доказательство использует несколько фактов, учитывая $е\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (y)\}$и $F\; f\; (\xi )\; =\; \int \; R\; ne\; -\; 2\; \pi \; iy\; \cdot \; \xi \; f\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\; (\backslash \; xi)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; iy\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$.

1. Если $Икс\; \in \; р\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и $g\; (\xi )\; =\; e\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; \psi \; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; xi)\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash \; psi\; (\backslash \; xi)\}$, затем $(F\; g)\; (y)\; =\; (F\; \psi )\; (Y\; -\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; g)\; (y)\; =\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; psi)\; (yx)\}$.
2. Если $\epsilon \; \in \; R\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $\psi \; (\xi )\; =\; \phi \; (\epsilon \; \xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; xi)\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; varepsilon\; \backslash \; xi)\}$, тогда $(F\; \psi )\; (y)\; =\; (F\; \phi )\; (y\; /\; \epsilon )\; /\; |\; \epsilon \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; psi)\; (y)\; =\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; varphi)\; (y\; /\; \backslash \; varepsilon)\; /\; |\; \backslash \; varepsilon\; |\}$.
3. Для $f,\; g\; \in \; L\; 1\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$, Теорема Фубини означает, что $\int \; g\; (\xi )\; \cdot \; (F\; е)\; (\xi )\; d\; \xi \; знак\; равно\; \int \; (F\; g)\; (y)\; \cdot \; е\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; g\; (\backslash \; xi)\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; int\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; g)\; (y)\; \backslash \; cdot\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$.
4. Определить $\phi \; (\xi )\; =\; e\; -\; \pi \; |\; \xi \; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; vert\; \backslash \; xi\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\}\}$; тогда $(F\; \phi )\; (y)\; =\; \phi \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; varphi)\; (y)\; =\; \backslash \; varphi\; (y)\}$.
5. Определить $\phi \; \epsilon \; (\; y)\; знак\; равно\; \phi \; (Y\; /\; \epsilon )\; /\; \epsilon \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (y)\; =\; \backslash \; varphi\; (y\; /\; \backslash \; varepsilon)\; /\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{n\}\}$. Тогда с $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$, обозначающим свертку, $\phi \; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}$равно приближение к тождеству : для любого непрерывного $f\; \in \; L\; 1\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$и точка $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, $lim\; \epsilon \; \to \; 0\; (\phi \; \epsilon \; \ast \; f)\; (x)\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \backslash \; ast\; f)\; (x)\; =\; f\; (x)\}$(где сходимость поточечная).

Поскольку, по предположению, $F\; е\; \in \; L\; 1\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$, то по теореме о доминирующей сходимости следует, что

$\int \; R\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; (F\; f)\; (\xi )\; d\; \xi \; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; \int \; R\; ne\; -\; \pi \; \epsilon \; 2\; |\; \xi \; |\; 2\; +\; 2\; \pi \; i\; x\; \cdot \; \xi \; (F\; f)\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\; |\; \backslash \; xi\; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Определить $gx\; (\xi )\; =\; e\; -\; \pi \; \epsilon \; 2\; |\; \xi \; |\; 2\; +\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{x\}\; (\backslash \; xi)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; xi\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; pi\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; х\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\}$. Применяя факты 1, 2 и 4, при необходимости многократно для кратных интегралов, получаем

$(F\; g\; x)\; (y)\; =\; 1\; \epsilon \; n\; e\; -\; \pi \; \epsilon \; 2\; |\; х\; -\; у\; |\; 2\; =\; \phi \; \epsilon \; (x\; -\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; g\_\; \{x\})\; (y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\}\; |\; xy\; |\; ^\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (xy).\}$

Использование факта 3 в $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $gx\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{x\}\}$, для каждого $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, имеем

$\int \; R\; ne\; -\; \pi \; \epsilon \; 2\; |\; \xi \; |\; 2\; +\; 2\; \pi \; i\; x\; \cdot \; \xi \; (F\; f)\; (\xi )\; d\; \xi \; =\; \int \; R\; n\; 1\; \epsilon \; n\; e\; -\; \pi \; \epsilon \; 2\; |\; х\; -\; у\; |\; 2\; е\; (y)\; dy\; знак\; равно\; (\phi \; \epsilon \; \ast \; f)\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\; |\; \backslash \; xi\; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\}\; |\; xy\; |\; ^\; \{2\}\}\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; (\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; *\; f)\; (x),\}$

свертка $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$с приблизительной идентичностью. Но поскольку $f\; \in \; L\; 1\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$, факт 5 говорит, что

$lim\; \epsilon \; \to \; 0\; (\phi \; \epsilon \; \ast \; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; *\; f)\; (x)\; =\; f\; (x).\}$

Собирая все вышесказанное, мы показали, что

$\int \; R\; ne\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \xi \; (F\; f)\; (\xi )\; d\; \xi \; =\; f\; (x).\; ◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; f)\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; =\; f\; (x).\; \backslash \; qquad\; \backslash \; square\}$

• Folland, GB (1992). Фурье-анализ и его приложения. Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN 0-534-17094-3.
• Фолланд, Г.Б. (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 978-0-691-04361-6.

1. ^"DMat0101, примечания 3: преобразование Фурье на L ^ 1". Я проснулся в странном месте. 2011-03-10. Проверено 12 февраля 2018 г.