Теорема Карлесона

Теорема Карлесона является фундаментальным результатом в математическом анализе устанавливающего точечно ( лебегова ) сходимость почти всюду в ряде Фурье из L ² функций, доказанных Карлесонами  ( 1966 ). Это имя также часто используется для обозначения расширения результата Ричарда Ханта  ( 1968 ) на L ^p- функции для p  ∈ (1, ∞] (также известного как теорема Карлесона – Ханта ) и аналогичных результатов для поточечных почти всюду сходимость интегралов Фурье, эквивалентность которых можно показать методами переноса.

• 1 Формулировка теоремы
• 2 История
• 3 Оператор Карлесона
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Результат в форме его расширения Хантом можно формально сформулировать следующим образом:

Пусть ƒ - периодическая функция L ^p для некоторого p  ∈ (1, ∞] с коэффициентами Фурье. Тогда ${\ Displaystyle {\ шляпа {f}} (п)}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ sum _ {| n | \ leq N} {\ hat {f}} (n) e ^ {inx} = f (x)}$

почти для каждого  x.

Аналогичный результат для интегралов Фурье формально можно сформулировать следующим образом:

Пусть ƒ  ∈  L ^p ( R ) для некоторого p  ∈ (1, 2] имеет преобразование Фурье. Тогда ${\ Displaystyle {\ шляпа {f}} (\ xi)}$

${\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ int _ {| \ xi | \ leq R} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, d \ xi = f (x)}$

для почти каждого х  ∈  R.

Фундаментальный вопрос о рядах Фурье, заданный самим Фурье в начале XIX века, заключается в том, сходится ли ряд Фурье непрерывной функции поточечно к функции.

Слегка усилив предположение непрерывности, легко показать, что ряд Фурье всюду сходится. Например, если функция имеет ограниченную вариацию, то ее ряд Фурье всюду сходится к локальному среднему значению функции. В частности, если функция непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду. Это было доказано Дирихле, который выразил уверенность в том, что вскоре он сможет распространить свой результат на все непрерывные функции. Другой способ добиться сходимости везде - изменить метод суммирования. Например, теорема Фейера показывает, что если заменить обычное суммирование суммированием Чезаро, то ряд Фурье любой непрерывной функции равномерно сходится к функции. Кроме того, легко показать, что ряд Фурье любой L ² функции сходится к ней в L ² нормы.

После результата Дирихле несколько экспертов, включая Дирихле, Римана, Вейерштрасса и Дедекинда, заявили о своей уверенности в том, что ряд Фурье любой непрерывной функции будет везде сходиться. Это было опровергнуто Полем дю Буа-Реймоном, который в 1876 году показал, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке.

Почти всюду сходимость рядов Фурье для L ² функций постулировались Н. Н. Лузин  ( 1915 ), и проблема была известна как гипотеза Лузин (вплоть до ее доказательства по Карлесону (1966) ). Колмогоров (1923) показал, что аналог результата Карлесона для L ¹ неверен, найдя такую ​​функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду (немного улучшенный в 1926 г. до расходящегося всюду). До результата Карлесона наиболее известной оценкой частных сумм s n ряда Фурье функции из L ^p была

${\ displaystyle s_ {n} (x) = o (\ log (n) ^ {1 / p}) {\ text {почти везде}}, \,}$

доказано Колмогоровым – Селиверстовым – Плесснером для p  = 2, GH Hardy для p  = 1 и Литтлвудом – Пэли для p  gt; 1 ( Zygmund 2002 ). Этот результат не улучшался в течение нескольких десятилетий, что заставило некоторых экспертов подозревать, что он был наилучшим из возможных и что гипотеза Лузина была ложной. Контрпример Колмогорова в L ¹ был неограничен в любом интервале, но считалось, что обнаружение непрерывного контрпримера является лишь вопросом времени. Карлесон сказал в интервью Raussen amp; Skau (2007), что он начал с попытки найти непрерывный контрпример и в какой-то момент подумал, что у него есть метод, который его построит, но в конце концов понял, что его подход не может работать. Затем он попытался вместо этого доказать гипотезу Лузина, поскольку неудача его контрпримера убедила его в том, что это, вероятно, правда.

Первоначальное доказательство Карлесона исключительно трудно читать, и, хотя некоторые авторы упростили рассуждение, до сих пор нет простых доказательств его теоремы. Экспозиции оригинальной статьи Карлесона (1966) включают Кахане (1995), Моззочи (1971), Jørsboe amp; Mejlbro (1982) и Ариас де Рейна (2002). Чарльз Фефферман  ( 1973 ) опубликовал новое доказательство расширения Ханта, в котором был ограничен максимальный оператор. Это, в свою очередь, вдохновило много упрощенного доказательства L ² результата по Майклу Лэйси и Кристоф Тиль ( 2000 ), что объясняется более подробно в Лейси (2004). Книги Fremlin (2003) и Grafakos (2009) также содержат доказательства теоремы Карлесона. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrafakos2009 ( справка )

Кацнельсон (1966) показал, что для любого множества меры 0 существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках этого множества (и, возможно, в других местах). В сочетании с теоремой Карлесона это показывает, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках данного набора действительных чисел тогда и только тогда, когда это множество имеет меру 0.

Распространение теоремы Карлесона на L ^p при p  gt; 1 было заявлено как «довольно очевидное» расширение случая p  = 2 в работе Карлесона и было доказано Хантом (1968). Результат Карлесона был улучшен Шёлином (1971) до пространства L log + ( L ) log + log + ( L ) и Антоновым (1996) до пространства L log + ( L ) log + log + log + ( L ).. (Здесь log + ( L ) - это log ( L ), если L gt; 1, и 0 в противном случае, и если φ - функция, то φ ( L ) обозначает пространство функций f таких, что φ (| f ( x ) |) является интегрируемый.)

Конягин (2000) улучшил контрпример Колмогорова, найдя функции со всюду расходящимися рядами Фурье в пространстве, немного превышающем L log + ( L ) ^1/2. Можно спросить, существует ли в каком-то смысле наибольшее естественное пространство функций, ряды Фурье которых сходятся почти всюду. Простейшим кандидатом на такое пространство, которое согласуется с результатами Антонова и Конягина, является L log + ( L ).

Распространение теоремы Карлесона на ряды Фурье и интегралы от нескольких переменных усложняется, поскольку существует множество различных способов суммирования коэффициентов; например, можно суммировать по увеличивающимся шарам или увеличивающимся прямоугольникам. Сходимость прямоугольных частичных сумм (и действительно общие полигональные частичные суммы) следует из одномерного случая, но сферическая проблема суммирования по - прежнему открыта для L ².

Оператор Карлесона C - это нелинейный оператор, определяемый формулой

${\ Displaystyle Cf (x) = \ sup _ {N} \ left | \ int _ {- N} ^ {N} {\ hat {f}} (y) e ^ {2 \ pi ixy} \, dy \ право |}$

Относительно легко показать, что теорема Карлесона – Ханта следует из ограниченности оператора Карлесона из L ^p ( R ) в себя при 1 lt;  p  lt;∞. Однако доказать его ограниченность сложно, и Карлесон именно это и доказал.

• Сходимость рядов Фурье.

• Антонов, Н.Ю. (1996), «Сходимость рядов Фурье», East Journal on Approximations, 2 (2): 187–196, MR   1407066
• Ариас де Рейна, Хуан (2002), Точечная сходимость рядов Фурье, Лекционные заметки по математике, 1785, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / b83346, ISBN   978-3-540-43270-8, MR   1906800
• Карлесон, Леннарт (1966), "О сходимости и роста частичных сумм рядов Фурье", Acta Mathematica, 116 (1): 135-157, DOI : 10.1007 / BF02392815, МР   0199631
• Фефферман, Чарльз (1973), "Поточечная сходимость рядов Фурье", Анналы математики, вторая серия 98 (3): 551-571, DOI : 10,2307 / 1970917, JSTOR   1970917, МР   0340926
• Фремлин, Дэвид Х. (2003), Теория меры, 2, Торрес Фремлин, Колчестер, ISBN   978-0-9538129-2-9, MR   2462280, архивируются с оригинала на 2010-11-01, извлекаться 2010-09-09
• Графакос, Лукас (2014). Классический анализ Фурье. Тексты для выпускников по математике. 249 (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-1194-3. ISBN   978-1-4939-1193-6. Руководство по ремонту   3243734.
• Графакос, Лукас (2014). Современный анализ Фурье. Тексты для выпускников по математике. 250 (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-1230-8. ISBN   978-1-4939-1229-2. Руководство по ремонту   3243741.
• Хант, Ричард А. (1968), "О сходимости рядов Фурье", Ортогональные разложения и их непрерывные аналоги Proc. Conf., Эдвардсвилль, Иллинойс, 1967, Карбондейл, Иллинойс: Southern Illinois Univ. Press, стр. 235–255, MR   0238019
• Jørsboe, Ole G.; Мейлбро, Лейф (1982), Теорема Карлесона-Ханта о рядах Фурье, Лекционные заметки по математике, 911, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0094072, ISBN   978-3-540-11198-6, MR   0653477
• Кахане, Жан-Пьер (1995), "Sommes partielles des séries de Fourier (d'après L. Carleson)", Séminaire Bourbaki, 9, Париж: Société Mathématique de France, стр. 491–507, MR   1610981
• Кацнельсон, Ицхак (1966), "Сур ле ансамблей де дивергенции де SERIES trigonométriques", Studia Mathematica, 26 (3): 301-304, DOI : 10,4064 / см-26-3-305-306, МР   0199632
• Колмогоров Андрей Николаевич (1923), "Une série де Фурье-Лебега divergente Преск паспарту", Fundamenta Mathematicae, 4 : 324-328, DOI : 10,4064 / фм-4-1-324-328
• Конягин С.В. (2000), "О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье", Российская академия наук. Математический сборник, 191 (1): 103–126, Bibcode : 2000SbMat.191... 97K, doi : 10.1070 / sm2000v191n01abeh000449, MR   1753494
• Лейси, Майкл Т. (2004), «Теорема Карлесона: доказательство, дополнения, вариации», Publicacions Matemàtiques, 48 (2): 251–307, arXiv : math / 0307008, doi : 10.5565 / publmat_48204_01, MR   2091007
• Лейси, Майкл; Тиле, Кристоф (2000), "Доказательство ограниченности оператора Карлесона", Математический Research Letters, 7 (4): 361-370, DOI : 10,4310 / mrl.2000.v7.n4.a1, МР   1783613, заархивирован из оригинал от 05.07.2008
• Лузин Н. Н. Интегральный и тригонометрический ряды (1915), Москва-Ленинград. (Дипломная работа; также: Собрание сочинений, т. 1, М., 1953, с. 48–212).
• Моззочи, Чарльз Дж. (1971), О поточечной сходимости рядов Фурье, Лекционные заметки по математике, Vol. 199, 199, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0061167, ISBN   978-3-540-05475-7, Руководство по ремонту   0445205 «Эта монография представляет собой подробное и, по сути, самостоятельное изложение работ Карлесона и Ханта».
• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2007), «Интервью с лауреатом Абелевской премии Леннартом Карлесоном» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 54 (2): 223–229, MR   2285126
• Sjölin, Per (1971), "Сходимость почти всюду некоторых сингулярных интегралов и кратных рядов Фурье", Arkiv för Matematik, 9 (1–2): 65–90, Bibcode : 1971ArM..... 9... 65S, DOI : 10.1007 / BF02383638, МР   0336222
• Теляковский, С.А. (2001) [1994], "Теорема Карлесона", Энциклопедия математики, EMS Press
• Зигмунд, А. (2002) [1935], Тригонометрические ряды. Vol. I, II, Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-89053-3, MR   1963498