Суммирование Чезаро

редактировать

Модифицированный метод суммирования, применимый к некоторым расходящимся рядам

В математическом анализе, Суммирование Чезаро (также известное как среднее Чезаро ) присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле. Сумма Чезаро определяется как предел, когда n стремится к бесконечности, последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда.

Этот частный случай метода суммирования матриц назван в честь итальянского аналитика Эрнесто Чезаро (1859–1906).

Термин «суммирование» может вводить в заблуждение, поскольку можно сказать, что некоторые утверждения и доказательства, касающиеся суммирования Чезаро, подразумевают мошенничество Эйленберга – Мазура. Например, его обычно применяют к ряду Гранди с выводом, что сумма этого ряда равна 1/2.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Первый пример
- 2.2 Второй пример
3 (C, α) суммирование
4 Суммирование интеграла по Чезаро
5 См. также
6 источников

Определение

Пусть $(an) n = 1 ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $(a_n) _ {n = 1} ^ \ infty$ будет последовательностью, и пусть

sk = a 1 + ⋯ + ak = ∑ n = 1 kan {\ displaystyle s_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {k} a_ {n}}

{\ displaystyle s_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {k} a_ {n}}

быть его k-й частичной суммой.

Последовательность (a n) называется суммируемая по Чезаро, с суммой Чезаро A ∈ ℝ, если, когда n стремится к бесконечности, среднее арифметическое его первых n частичных сумм s 1, s 2,..., s n стремится к A:

lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 nsk = A. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} = A.}

\ lim _ {n \ to \ infty } {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} = A.

Значение полученный предел называется суммой Чезаро ряда $∑ n = 1 ∞ an. {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$ Если этот ряд сходится, то он суммируемый по Чезаро и его сумма Чезаро является обычной суммой.

Примеры

Первый пример

Пусть a n = (−1) для n ≥ 0. То есть $(an) n Знак равно 0 ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ - это последовательность

(1, - 1, 1, - 1,…). {\ displaystyle (1, -1,1, -1, \ ldots).}

{\ displaystyle (1, -1,1, -1, \ ldots).}

Пусть G обозначает ряд

G = ∑ n = 0 ∞ an = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ⋯ {\ displaystyle G = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- \ cdots}

{\ displaystyle G = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- \ cdots}

Серия G известна как серия Гранди.

Пусть $(sk) k = 0 ∞ {\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty} }$ обозначает последовательность частичных сумм G:

sk = ∑ n = 0 kan (sk) = (1, 0, 1, 0,…). {\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} \\ (s_ {k}) = (1,0,1,0, \ ldots). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} \\ (s_ {k}) = (1,0,1,0, \ ldots). \ End {align}}}

Эта последовательность частичных сумм не сходится, поэтому ряд G расходится. Однако G суммируема по Чезаро. Пусть $(tn) n = 1 ∞ {\ displaystyle (t_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (t_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ - последовательность средних арифметических первых n частичных сумм. :

tn = 1 n ∑ k = 0 n - 1 sk (tn) = (1 1, 1 2, 2 3, 2 4, 3 5, 3 6, 4 7, 4 8,…). {\ displaystyle {\ begin {align} t_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} \\ (t_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {2} {3}}, {\ frac {2} {4}}, {\ frac {3} {5}}, {\ frac {3} {6}}, {\ frac {4} {7}}, {\ frac {4} {8}}, \ ldots \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} t_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} \\ (t_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {2} {3}}, {\ frac { 2} {4}}, {\ frac {3} {5}}, {\ frac {3} {6}}, { \ frac {4} {7}}, {\ frac {4} {8}}, \ ldots \ right). \ end {align}}}

Тогда

lim n → ∞ tn = 1/2, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = 1/2,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = 1/2,}

следовательно, сумма Чезаро ряда G равна 1/2.

Второй пример

В качестве другого примера пусть a n = n для n ≥ 1. То есть $(an) n = 1 ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $(a_n) _ {n = 1} ^ \ infty$ - последовательность

(1, 2, 3, 4,…). {\ displaystyle (1,2,3,4, \ ldots).}

{ \ displaystyle (1,2,3,4, \ ldots).}

Пусть G теперь обозначает ряд

G = ∑ n = 1 ∞ an = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ {\ displaystyle G = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots}

{\ displaystyle G = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots}

Тогда последовательность частичных сумм $(sk) k = 1 ∞ {\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ равно

(1, 3, 6, 10,…). {\ displaystyle (1,3,6,10, \ ldots).}

{\ displaystyle (1,3,6,10, \ ldots).}

Поскольку последовательность частичных сумм неограниченно растет, ряд G расходится до бесконечности. Последовательность (t n) средств частичных сумм G равна

(1 1, 4 2, 10 3, 20 4,…). {\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {4} {2}}, {\ frac {10} {3}}, {\ frac {20} {4}}, \ ldots \ right).}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {4} {2}}, {\ frac {10} {3}}, {\ frac {20} { 4}}, \ ldots \ right).}

Эта последовательность также расходится до бесконечности, поэтому G не суммируема по Чезаро. Фактически, для любой последовательности, расходящейся до (положительной или отрицательной) бесконечности, метод Чезаро также приводит к последовательности, которая расходится аналогично, и, следовательно, такой ряд не суммируется по Чезаро.

(C, α) суммирование

В 1890 году Эрнесто Чезаро сформулировал более широкое семейство методов суммирования, которые с тех пор называются (C, α) для неотрицательных целых чисел α. Метод (C, 0) - это обычное суммирование, а (C, 1) - это суммирование по Чезаро, как описано выше.

Методы высшего порядка можно описать следующим образом: для ряда ∑a n определить величины

A n - 1 = an A n α = ∑ k = 0 n A К α - 1 {\ Displaystyle {\ begin {align} A_ {n} ^ {- 1} = a_ {n} \\ A_ {n} ^ {\ alpha} = \ sum _ {k = 0 } ^ {n} A_ {k} ^ {\ alpha -1} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A_ {n} ^ {- 1} = a_ {n} \\ A_ {n} ^ {\ alpha} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} ^ {\ alpha -1} \ end {align}}}

(где верхние индексы не обозначают экспоненты) и определить E. nкак A. nдля серия 1 + 0 + 0 + 0 +…. Тогда (C, α) сумма ∑a n обозначается (C, α) -a n и имеет значение

(C, α) - ∑ j знак равно 0 ∞ aj знак равно lim n → ∞ A n α E n α {\ displaystyle (\ mathrm {C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {A_ {n} ^ {\ alpha}} {E_ {n} ^ {\ alpha}}}}

{\ displaystyle (\ mathrm {C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {A_ {n} ^ {\ alpha}} {E_ {n} ^ {\ alpha}}}}

, если он существует (Shawyer Watson 1994, стр. 16-17). Это описание представляет собой повторенное α-кратное применение метода начального суммирования и может быть переформулировано как

(C, α) - ∑ j = 0 ∞ aj = lim n → ∞ ∑ j = 0 n (nj) (n + α j) aj. {\ displaystyle (\ mathrm {C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {\ binom {n} {j}} {\ binom {n + \ alpha} {j}}} a_ {j}.}

{\ displaystyle (\ mathrm { C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {\ binom {n} {j}} {\ binom {n + \ alpha} {j}}} a_ {j}.}

В более общем смысле, для α ∈ ℝ \ ℤ, пусть A. nнеявно задается коэффициентами ряда

∑ ​​n = 0 ∞ A n α xn = ∑ n = 0 ∞ dancingn (1 - x) 1 + α, {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} ^ {\ alpha} x ^ {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}} {(1-x) ^ {1+ \ alpha}}},}

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} ^ {\ alpha} x ^ {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}} {(1-x) ^ {1 + \ alpha}}},

и E. n, как указано выше. В частности, E. n- это биномиальные коэффициенты степени -1 - α. Тогда (C, α) сумма ∑a n определяется, как указано выше.

Если ∑a n имеет (C, α) сумму, то он также имеет (C, β) сумму для каждого β>α, и суммы совпадают; кроме того, у нас есть n = o (n), если α>−1 (см. краткое обозначение ).

Суммируемость интеграла по Чезаро

Пусть α ≥ 0. интеграл $∫ 0 ∞ f (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ { 0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$ $\ textstyle \ int_0 ^ \ infty f (x) \, dx$ является (C, α) суммируемым, если

lim λ → ∞ ∫ 0 λ (1 - x λ) α f (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \, dx}

\ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1- { \ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \, dx

существует и является конечным (Titchmarsh 1948, §1.15) harv error: no target: CITEREFTitchmarsh1948 (help ). Значение этого предела, если оно существует, представляет собой (C, α) сумму интеграла. Аналогично случаю суммы ряда, если α = 0, результатом является сходимость несобственного интеграла. В случае α = 1 (C, 1) сходимость эквивалентна существованию предела

lim λ → ∞ 1 λ ∫ 0 λ ∫ 0 xf (y) dydx {\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ в \ infty} {\ frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ int _ {0} ^ {x} f (y) \, dy \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} {\ frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ int _ {0} ^ {x} f (y) \, dy \, dx}

что является пределом средних частных интегралов.

Как и в случае с рядами, если интеграл суммируется (C, α) для некоторого значения α ≥ 0, то он также суммируется (C, β) для всех β>α, а значение результирующего предела такая же.

См. Также

Литература

Shawyer, Bruce; Уотсон, Брюс (1994), Борельские методы суммирования: теория и приложения, Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
Титчмарш, EC (1986) [ 1948], Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0324-5
Волков II ( 2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Zygmund, Antoni (1988) [1968], Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9