Потенциал двойного слоя

В теории потенциала, область математики, двойная потенциал слоя является решением уравнения Лапласа, соответствующего электростатическому или магнитному потенциалу, связанному с дипольным распределением на замкнутой поверхность S в трех измерениях. Таким образом, потенциал двойного слоя u (x ) является скалярной функцией от x∈ R, задаваемой как

$u\; (x)\; =\; -\; 1\; 4\; \pi \; \int \; S\; \rho \; (y)\; \partial \; \partial \; \nu \; 1\; |\; х\; -\; у\; |\; d\; \sigma \; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{y\})\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; nu\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; |\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; mathbf\; \{y\})\}$

где ρ означает дипольное распределение, ∂ / ∂ν обозначает производную по направлению в направлении внешней единичной нормали в переменной y, а dσ - поверхностная мера на S.

В более общем смысле, потенциал двойного слоя связан с гиперповерхность S в n-мерном евклидовом пространстве с помощью

$u\; (x)\; =\; \int \; S\; \rho \; (y)\; \partial \; \partial \; \nu \; P\; (x\; -\; y)\; d\; \sigma \; (\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{y\})\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; nu\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\; \backslash ,\; d\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; mathbf\; \{y\})\}$

, где P (y ) - это ньютоновское ядро ​​ в n измерениях.

• Потенциал одного слоя
• Теория потенциала
• Электростатика
• Лапласиан индикатора

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II, Wiley-Interscience.
• Келлог, О.Д. (1953), Основы теории потенциала, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60144-1.
• Шишмарев И.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.