Мера Дирака

Мера, которая равна 1 тогда и только тогда, когда указанный элемент находится в наборе Диаграмма, показывающая все возможные подмножества 3- набор точек {x, y, z}. Мера Дирака δ x присваивает размер 1 всем наборам в верхней левой половине диаграммы и 0 всем наборам в нижней правой половине.

В математике, мера Дирака назначает размер набору исключительно на основе того, содержит ли он фиксированный элемент x или нет. Это один из способов формализации идеи дельта-функции Дирака, важного инструмента в физике и других технических областях.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Свойства меры Дирака
• 3 Обобщения
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Определение

A Мера Дирака - это мера δxна множестве X (с любой σ-алгеброй из подмножеств X), определенным для данного x ∈ X и любого (измеримого) множества A ⊆ X по

$\delta \; x\; (A)\; =\; 1\; A\; (x)\; =\; \{0,\; x\; \notin \; A;\; 1,\; x\; \in \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\}\; (A)\; =\; 1\_\; \{A\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0,\; x\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; A;\; \backslash \backslash \; 1,\; x\; \backslash \; in\; A.\; \backslash \; end\; \{cases\}\; \}\}$

где 1 A - это индикаторная функция для A.

Мера Дирака - это вероятностная мера, и в терминах с вероятностью он представляет почти верный результат x в пространстве выборки X. Мы также можем сказать, что мера - это единственный атом в точке x; однако рассматривать меру Дирака как атомарную меру неверно, если мы рассматриваем последовательное определение дельты Дирака как предела a. Меры Дирака - это крайние точки выпуклого множества вероятностных мер на X.

Название является бэк-формацией из дельта-функции Дирака, рассматриваемой как распределение Шварца, например, на вещественной линии ; меры могут быть особым видом распределения. Тождество

$\int \; Икс\; е\; (Y)\; d\; \delta \; Икс\; (Y)\; =\; F\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\}\; (\; y)\; =\; f\; (x),\}$

который в форме

$\int \; X\; f\; (y)\; \delta \; x\; (y)\; dy\; =\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; (y)\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\}\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; f\; (x),\}$

часто считается частью определения «дельта-функции», как теорема о Интегрирование Лебега.

Свойства меры Дирака

Пусть δ x обозначает меру Дирака с центром в некоторой фиксированной точке x в некотором измеримом пространстве (X, Σ).

• δx- вероятностная мера и, следовательно, конечная мера.

. Предположим, что (X, T) является топологическим пространством и что Σ по крайней мере так же хорошо, как Борелевское σ-алгебра σ (T) на X.

• δxявляется строго положительной мерой тогда и только тогда, когда топология T такова, что x лежит внутри каждого непустого открытый набор, например в случае тривиальной топологии {∅, X}.
• Поскольку δ x - вероятностная мера, она также является локально конечной мерой.
• Если X является хаусдорфовым топологическим пространством с его борелевской σ-алгеброй, то δ x удовлетворяет условию внутренней регулярной меры, поскольку одноэлементные наборы, такие как {x}, всегда компактные. Следовательно, δ x также является мерой Радона.
• Предполагая, что топология T достаточно хороша, чтобы {x} был замкнутым, что имеет место в большинстве приложений, поддерживает из δ x равно {x}. (В противном случае supp (δ x) является замыканием {x} в (X, T).) Кроме того, δ x - единственная вероятностная мера, поддержка которой равна {x}.
• Если X является n-мерным евклидовым пространством ℝс его обычной σ-алгеброй и n-мерным мерой Лебега λ, то δ x является особой мерой относительно λ: просто разложите ℝ как A = ℝ \ {x} и B = {x} и заметьте, что δ x (A) = λ (B) = 0.
• Мера Дирака - это сигма-конечная мера

Обобщения

A дискретная мера похожа на Мера Дирака, за исключением того, что она сосредоточена в счетном множестве точек, а не в одной точке. Более формально, мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (по отношению к мере Лебега ), если ее поддержка не более чем счетное множество.

См. также

• Дискретная мера
• дельта-функция Дирака

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1976). «Примеры мер». Трактат по анализу, часть 2. Академическая пресса. п. 100. ISBN 0-12-215502-5.
• Бенедетто, Джон (1997). «§2.1.3 Определение, δ». Гармонический анализ и приложения. CRC Press. п. 72. ISBN 0-8493-7879-6.