Простая функция

редактировать

В поле Mathematical в реальном анализе, простая функция является вещественной (или комплексной ) -значной функцией над подмножеством вещественной линии, аналогичной ступенчатой функции. Простые функции достаточно «хороши», поэтому их использование упрощает математические рассуждения, теорию и доказательство. Например, простые функции принимают только конечное число значений. Некоторые авторы также требуют, чтобы простые функции были измеримыми ; на практике они всегда так и есть.

Базовым примером простой функции является функция пола на полуоткрытом интервале [1, 9), единственными значениями которой являются {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Более сложным примером является функция Дирихле над вещественной линией, которая принимает значение 1, если x рационально, и 0 в противном случае. (Таким образом, «простая» или «простая функция» имеет техническое значение, несколько расходящееся с общепринятым языком.) Все пошаговые функции просты.

Простые функции используются в качестве первого этапа в разработке теорий интеграции, таких как интеграл Лебега, потому что легко определить интеграцию для простого функция, а также легко аппроксимировать более общие функции последовательностями простых функций.

Содержание

1 Определение
2 Свойства простых функций
3 Интегрирование простых функций
4 Отношение к интеграции Лебега
5 Ссылки

Определение

Формально, простая функция - это конечная линейная комбинация индикаторных функций из измеримых множеств. Точнее, пусть (X, Σ) - измеримое пространство. Пусть A 1,..., A n ∈ Σ будет последовательностью непересекающихся измеримых множеств, и пусть a 1,..., a n - это последовательность действительных или комплексных чисел. Простая функция - это функция $f: X → C {\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$ $f: X \ to {\ mathbb {C}}$ формы

f (x) = ∑ k = 1 nak 1 A К (Икс), {\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {к = 1} ^ {п} а_ {к} {\ mathbf {1}} _ {А_ {к}} (х),}

f (x) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} {{\ mathbf 1}} _ {{A_ {k} }} (x),

где $1 A {\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$ ${{\ mathbf 1}} _ {A}$ - это индикаторная функция набора A.

Свойства простых функций

Сумма, разность и произведение двух простых функций снова являются простыми функциями, а умножение на константу делает простую функцию простой; отсюда следует, что совокупность всех простых функций на данном измеримом пространстве образует коммутативную алгебру над $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ .

Интегрирование простых функций

Если мера μ определена в пространстве (X, Σ), интеграл функции f относительно μ равен

∑ k = 1 nak μ (A k), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}),}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}),

, если все слагаемые конечны.

Отношение к интеграции Лебега

Любая неотрицательная измеримая функция $f: X → R + {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {R } ^ {+}}$ $f \ двоеточие X \ до {\ mathbb {R}} ^ {{+}}$ - точечный предел монотонно возрастающей последовательности неотрицательных простых функций. В самом деле, пусть $f {\ displaystyle f}$ $f$ будет неотрицательной измеримой функцией, определенной в пространстве измерений $(X, Σ, μ) {\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ $(X, \ Sigma, \ mu)$ как раньше. Для каждого $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb N}$ разделите диапазон $f {\ displaystyle f}$ $f$ на $2 2 n + 1 {\ displaystyle 2 ^ {2n} +1}$ $2 ^ {{2n}} + 1$ интервалы, $2 2 n {\ displaystyle 2 ^ {2n}}$ $2 ^ {2n}$ из которых имеют длину $2 - n {\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ $2 ^ {- n}$ . Для каждого $n {\ displaystyle n}$ $n$ установите

I n, k = [k - 1 2 n, k 2 n) {\ displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right)}

I _ {{n, k}} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right)

для

k = 1, 2,…, 2 2 n {\ displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}

k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {{2n}}

I n, 2 2 n + 1 = [2 n, ∞) {\ displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} +1} = [2 ^ {n}, \ infty)}

I _ {{ n, 2 ^ {{2n}} + 1}} = [2 ^ {n}, \ infty)

(Обратите внимание, что для фиксированного $n {\ displaystyle n}$ $n$ , наборы $I n, k {\ displaystyle I_ {n, k}}$ $I _ {{n, k}}$ не пересекаются и покрывают неотрицательную вещественную линию.)

Теперь определите измеримый наборы

A n, k = f - 1 (I n, k) {\ displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) \,}

A_ { {n, k}} = f ^ {{- 1}} (I _ {{n, k}}) \,

для

k = 1, 2,…, 2 2 n + 1 {\ displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n} +1}

k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {{2n}} +1

Тогда возрастающая последовательность простых функций

Fn знак равно ∑ К знак равно 1 2 2 N + 1 К - 1 2 N 1 A N, K {\ Displaystyle F_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} +1} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}

f_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{2 ^ {{2n}) } +1}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {{\ mathbf 1}} _ {{A _ {{n, k}}}}

сходится поточечно к $f {\ displaystyle f}$ $f$ как $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ . Обратите внимание, что, когда $f {\ displaystyle f}$ $f$ ограничен, сходимость является равномерной. Это приближение $f {\ displaystyle f}$ $f$ простыми функциями (которые легко интегрируются) позволяет нам определить сам интеграл $f {\ displaystyle f}$ $f$ ; подробнее см. статью Интеграция Лебега.

Ссылки

J. Ф. К. Кингман, С. Дж. Тейлор. Введение в меру и вероятность, 1966, Кембридж.
С. Ланг. Реальный и функциональный анализ, 1993, Springer-Verlag.
W. Рудин. Реальный и комплексный анализ, 1987, McGraw-Hill.
H. Л. Ройден. Реальный анализ, 1968, Collier Macmillan.