Pierpont prime

редактировать

Pierpont prime
Назван в честь	James Pierpont
№ известных терминов	Тысячи
Предполагаемое количество терминов	Бесконечное
Подпоследовательность of	Число Пирпонта
Первые термины	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Наибольший известный термин	9 · 2 + 1
OEIS index	A005109

A Простое число Пирпонта - это простое число формы

2 u 3 v + 1 {\ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1 \,}

{\ displaystyle 2 ^ {u } 3 ^ {v} +1 \,}

для некоторых неотрицательных целых чисел u и v. То есть они являются простыми числами p, для которых p - 1 - это 3-гладкий. Они названы в честь математика Джеймса Пирпонта, который представил их при изучении правильных многоугольников, которые можно построить с помощью конических сечений.

Простое число Пирпонта с v = 0. имеет форму $2 u + 1 {\ displaystyle 2 ^ {u} +1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} +1}$ и, следовательно, является простым числом Ферма (если u = 0). Если v положительный, тогда u также должно быть положительным (потому что число в форме $3 v + 1 {\ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ будет четным и, следовательно, непростое, так как 2 не может быть выражено как $3 v + 1 {\ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ , когда v является положительным целым числом), и, следовательно, не-Ферма Все простые числа Пермонта имеют вид 6k + 1, когда k является положительным целым числом (за исключением 2, когда u = v = 0).

Первые несколько простых чисел Пирпонта:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329,... (последовательность A005109 в OEIS )

Содержание

1 Распределение
2 Тест на первичность
3 простых числа Пирпонта, найденных как факторы Числа Ферма
4 Построение многоугольника
5 Обобщение
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Распределение

Нерешенная математическая задача :. Есть ли бесконечно много простых чисел Пьерпонта? (больше нерешенных задач в математике)

Распределение показателей для меньших простых чисел Пирпонта

Эмпирически простые числа Пирпонта не кажутся особенно редкими или редко распределенными. Существует 42 простых числа Пирпонта меньше 10, 65 меньше 10, 157 меньше 10 и 795 меньше 10. Есть несколько ограничений со стороны алгебры. Раика разложения на простые числа Пьерпонта, поэтому нет таких требований, как простое число Мерсенна, что показатель степени должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди n-значных чисел правильной формы $2 u 3 v + 1 {\ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1 }$ , доля простые числа должны быть пропорциональны 1 / n, такой же пропорции, как и пропорция простых чисел среди всех n-значных чисел. Поскольку в этом диапазоне есть $Θ (n 2) {\ displaystyle \ Theta (n ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ Theta (n ^ {2})}$ чисел правильной формы, должно быть $Θ (n 2) {\ displaystyle \ Theta (n ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ Theta (n ^ {2})}$ Простые числа Пирпонта.

Эндрю М. Глисон сделал это рассуждение явным, предположив, что существует бесконечно много простых чисел Пирпонта, а точнее, что должно быть приблизительно 9n простых чисел Пирпонта до 10. Согласно гипотезе Глисона существует $Θ (log ⁡ N) {\ displaystyle \ Theta (\ log N)}$ ${\ displaystyle \ Theta (\ log N)}$ простые числа Пирпонта меньше N, в отличие от меньшего предположительного числа $O (log ⁡ log ⁡ N) {\ displaystyle O (\ log \ log N)}$ ${\ displaystyle O (\ log \ log N)}$ простых чисел Мерсенна в этом диапазоне.

Проверка первичности

Когда $2 u>3 v {\ displaystyle 2 ^ {u}>3 ^ {v}}$ $2^{u}>3 ^ {v}$ , простота $2 u 3 v + 1 {\ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1 }$ можно проверить по теореме Прота. С другой стороны, когда $2 u < 3 v {\displaystyle 2^{u}<3^{v}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {u} <3 ^ {v}}$ альтернативные тесты простоты для $M = 2 u 3 v + 1 {\ displaystyle M = 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ ${\ displaystyle M = 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1 }$ возможны на основе факторизации $M - 1 {\ displaystyle M-1}$ $M-1$ как маленькое четное число, умноженное на большую степень тройки.

Простые числа Пирпонта, найденные как множители чисел Ферма

В рамках продолжающегося во всем мире поиска множителей для чисел Ферма некоторые простые числа Пирпонта были объявлены множителями. В следующей таблице приведены значения m, k и n, такие что

k ⋅ 2 n + 1 делит 2 2 m + 1. {\ displaystyle k \ cdot 2 ^ {n} +1 {\ text {divides}} 2 ^ {2 ^ {m}} + 1. \,}

k \ cdot 2 ^ {n} +1 {\ text {divides}} 2 ^ {{2 ^ {m} }} + 1. \,

le сторона ft является простым числом Пирпонта, когда k равно степени числа 3; правая часть - число Ферма.


m	k	n	Год	Первооткрыватель
38	3	41	1903	Каллен, Каннингем и Вестерн
63	9	67	1956	Робинсон
207	3	209	1956	Робинсон
452	27	455	1956	Робинсон
9428	9	9431	1983	Келлер
12185	81	12189	1993	Дубнер
28281	81	28285	1996	Таура
157167	3	157169	1995	Янг
213319	3	213321	1996	Янг
303088	3	303093	1998	Янг
382447	3	382449	1999	Косгрейв и Галлот
461076	9	461081	2003	Нохара, Джоблинг, Уолтман и Галлот
495728	243	495732	2007	Кейзер, Джоблинг, Penné Fougeron
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman Gallot
2543548	9	2543551	2011	Браун, Рейнольдс, Пенне и Фужерон

По состоянию на 2020 год наибольшее известное простое число Пьерпонта составляет 9 · 2 + 1, простота которого была обнаружена в марте 2020 года.

Построение многоугольника

В математике складывания бумаги аксиомы Хузиты определяют шесть из семи возможных типов складывания. Было показано, что этих складок достаточно, чтобы построить точки, которые решают любое кубическое уравнение. Отсюда следует, что они позволяют сформировать любой правильный многоугольник из N сторон, если N ≥ 3 и имеет форму 23ρ, где ρ - произведение различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, что и те, которые могут быть построены с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Правильные многоугольники, которые могут быть построены только с помощью циркуля и линейки (конструируемые многоугольники ), являются частным случаем, когда n = 0 и ρ - произведение различных простых чисел Ферма, которые сами являются подмножеством Пирпонта. простые числа.

В 1895 году Джеймс Пирпон изучал тот же класс правильных многоугольников; его работа - это то, что дало название простым числам Пьерпонта. Pierpont обобщил конструкции компаса и линейки по-другому, добавив возможность рисовать конические секции, коэффициенты которых берутся из ранее построенных точек. Как он показал, правильные N-угольники, которые можно построить с помощью этих операций, - это такие, что totient N является 3-гладким. Поскольку общее число простого числа образуется путем вычитания из него единицы, простые числа N, для которых работает конструкция Пирпонта, являются в точности простыми числами Пьерпона. Однако Пьерпон не описал форму составных чисел с 3-мя гладкими числами. Как позже показал Глисон, эти числа в точности соответствуют приведенной выше форме 23ρ.

Наименьшее простое число, не являющееся простым числом Пирпонта (или Ферма), равно 11; следовательно, пятиугольник - это наименьший правильный многоугольник, который нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трехугольника (оригами или конических секций). Все остальные правильные N-угольники с 3 ≤ N ≤ 21 могут быть построены с помощью циркуля, линейки и трисектора.

Обобщение

A Простое число Пирпонта второго рода - это простое число вида 23 - 1. Эти числа:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327,... (последовательность A005105 в OEIS )

Наибольшие известные простые числа этого типа - простые числа Мерсенна ; в настоящее время наибольшее известное число - $2 82589933 - 1 {\ displaystyle 2 ^ { 82589933} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {82589933} -1}$ . Наибольшее известное простое число Пирпонта второго типа, не являющееся числом Мерсенна, равно $3 ⋅ 2 11895718 - 1 {\ displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {11895718} -1 }$ ${\ displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {11895718} -1}$ , найденное с помощью PrimeGrid.

A обобщенное простое число Пирпонта, является простым числом вида $p 1 n 1 ⋅ p 2 n 2 ⋅ p 3 n 3 ⋅... ⋅ pknk + 1 {\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ { 1}} \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \ cdot... \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} + 1}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \ cdot... \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} + 1}$ с k фиксированными простыми числами {p 1, p 2, p 3,..., p k }, p i< pjдля i < j. A обобщенное простое число Пирпонта второго рода является простым числом вида $p 1 n 1 ⋅ p 2 n 2 ⋅ p 3 n 3 ⋅... ⋅ pknk - 1 {\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \ cdot... \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} - 1}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1 }} \ cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} \ cdot... \ cdot p_ {k} ^ {n_ {k}} - 1}$ с k фиксированными простыми числами {p 1, p 2, p 3,..., p k }, p i< pjдля i < j. Since all primes greater than 2 are odd, in both kinds p1должно быть 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS следующие:

{p1, p 2, p 3,..., p k}	+1	−1
{2}	OEIS : A092506	OEIS : A000668
{2, 3}	OEIS : A005109	OEIS : A005105
{2, 5}	OEIS : A077497	OEIS : A077313
{2, 3, 5}	OEIS : A002200	OEIS : A293194
{2, 7}	OEIS : A077498	OEIS : A077314
{2, 3, 5, 7 }	OEIS : A174144
{2, 11}	OEIS : A077499	OEIS : A077315
{2, 13}	OEIS : A173236	OEIS : A173062

См. Также

Безопасное простое число, простые числа для которых p - 1 равны по возможности негладкие

Примечания

Ссылки

Weisstein, Eric W. «Пьерпон Прайм». MathWorld.