Perfect Power

В математике, совершенная степень - это положительное целое, которое может быть разложено на равные множители, и корень которого может быть точно извлечен, т. Е. Положительное целое число, которое может быть выражено как целое число степень другого положительного целого числа. Более формально n является совершенной степенью, если существуют натуральные числа m>1 и k>1 такие, что m = n. В этом случае n можно назвать совершенной k-й степенью . Если k = 2 или k = 3, то n называется полным квадратом или идеальным кубом соответственно. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0 = 0 для любого k>0, 1 = 1 для любого k).

• 1 Примеры и суммы
• 2 Определение идеальных мощностей
• 3 Разрывы между идеальными мощностями
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

A последовательность идеальных мощностей может быть сгенерирована путем перебора возможных значений m и k. Первые несколько возрастающих совершенных степеней в числовом порядке (показывающие повторяющиеся степени) следующие (последовательность A072103 в OEIS ):

$2\; 2\; =\; 4,\; 2\; 3\; =\; 8,\; 3\; 2\; =\; 9,\; 2\; 4\; =\; 16,\; 4\; 2\; =\; 16,\; 5\; 2\; =\; 25,\; 3\; 3\; =\; 27,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\}\; =\; 4,\; \backslash \; 2\; ^\; \{3\}\; =\; 8,\; \backslash \; 3\; ^\; \{2\}\; =\; 9,\; \backslash \; 2\; ^\; \{4\}\; =\; 16,\; \backslash \; 4\; ^\; \{2\}\; =\; 16,\; \backslash \; 5\; ^\; \{2\}\; =\; 25,\; \backslash \; 3\; ^\; \{3\}\; =\; 27,\}$$2\; 5\; =\; 32,\; 6\; 2\; =\; 36,\; 7\; 2\; =\; 49,\; 2\; 6\; =\; 64,\; 4\; 3\; =\; 64,\; 8\; 2\; =\; 64,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{5\}\; =\; 32,\; \backslash \; 6\; ^\; \{2\}\; =\; 36,\; \backslash \; 7\; ^\; \{2\}\; =\; 49,\; \backslash \; 2\; ^\; \{6\}\; =\; 64,\; \backslash \; 4\; ^\; \{3\}\; =\; 64,\; \backslash \; 8\; ^\; \{2\}\; =\; 64,\; \backslash \; dots\}$

сумма обратных чисел идеальных степеней (включая дубликаты, такие как 3 и 9, оба равны 81) равно 1:

$\sum \; m\; =\; 2\; \infty \; \sum \; k\; =\; 2\; \infty \; 1\; mk\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; 1.\}$

что можно доказать следующим образом:

$\sum \; m\; =\; 2\; \infty \; \sum \; k\; =\; 2\; \infty \; 1\; mk\; =\; \sum \; m\; =\; 2\; \infty \; 1\; m\; 2\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; mk\; =\; \sum \; m\; =\; 2\; \infty \; 1\; m\; 2\; (мм\; -\; 1)\; =\; \sum \; m\; =\; 2\; \infty \; 1\; м\; (м\; -\; 1)\; знак\; равно\; \sum \; м\; =\; 2\; \infty \; (1\; м\; -\; 1\; -\; 1\; м)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{m-1\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; (m-1)\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m-1\; \}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Первые совершенные степени без дубликатов:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024,... (последовательность A001597 в OEIS )

Сумма обратная величина совершенной степени p без дубликатов:

$\sum \; p\; 1\; p\; =\; \sum \; k\; =\; 2\; \infty \; \mu \; (k)\; (1\; -\; \zeta \; (k))\; \approx \; 0,874464368\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; (k)\; (1-\; \backslash \; zeta\; (k))\; \backslash \; приблизительно\; 0,874464368\; \backslash \; dots\}$

где μ (k) - функция Мёбиуса и ζ (k) - это дзета-функция Римана.

Acc Согласно Эйлеру, Гольдбах показал (в уже утерянном письме), что сумма 1 / p - 1 по набору совершенных степеней p, исключая 1 и исключая дубликаты, равна 1:

$\sum \; п\; 1\; п\; -\; 1\; =\; 1\; 3\; +\; 1\; 7\; +\; 1\; 8\; +\; 1\; 15\; +\; 1\; 24\; +\; 1\; 26\; +\; 1\; 31\; +\; \cdots \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{p-1\}\}\; =\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 15\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{26\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{31\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 1.\}$

Иногда бывает известная как теорема Гольдбаха – Эйлера.

Определение того, является ли данное натуральное число n идеальной степенью, может осуществляться многими различными способами с различными уровнями сложность. Один из простейших таких методов - рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей числа n, вплоть до $k\; \le \; log\; 2\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; leq\; \backslash \; log\; \_\; \{2\; \}\; n\}$. Итак, если делители $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равны $n\; 1,\; n\; 2,\dots ,\; nj\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; n\_\; \{j\}\}$затем одно из значений $n\; 1\; 2,\; n\; 2\; 2,\dots ,\; nj\; 2,\; n\; 1\; 3,\; n\; 2\; 3,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\}\; ^\; \{2\; \},\; n\_\; \{2\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{2\},\; n\_\; \{1\}\; ^\; \{3\},\; n\_\; \{2\}\; ^\; \{3\},\; \backslash \; dots\}$должно быть равно n, если n действительно совершенная сила.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения k. Это потому, что если $n\; =\; mk\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; m\; ^\; \{k\}\}$для composite $k\; =\; ap\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; ap\}$где p простое число, то это можно просто переписать как $n\; =\; mk\; =\; map\; =\; (ma)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; m\; ^\; \{k\}\; =\; m\; ^\; \{ap\}\; =\; (m\; ^\; \{a\})\; ^\; \{p\}\}$. Из-за этого результата минимальное значение k обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация n, скажем, $n\; =\; p\; 1\; \alpha \; 1\; p\; 2\; \alpha \; 2\; \cdots \; pr\; \alpha \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{r\}\}\}$где $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\}$- разные простые числа, тогда n - абсолютная степень тогда и только тогда, когда $gcd\; (\alpha \; 1,\; \alpha \; 2,\dots ,\; \alpha \; r)>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; (\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{r\})>1\}$, где gcd обозначает наибольший общий делитель. В качестве примера рассмотрим n = 2 · 3 · 7. Так как gcd (96, 60, 24) = 12, n - идеальная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

В 2002 году румынский математик Преда Михэилеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней - это 2 = 8 и 3 = 9, тем самым доказав гипотезу Каталана.

Гипотеза Пиллаи утверждает, что для любого данного положительного целого числа k существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k. Это нерешенная проблема.

• Prime power

• Daniel J. Bernstein (1998). «Обнаружение идеальной мощности за линейное время» (PDF). Математика вычислений. 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00952-1.

• Луис Бибилони, Пелегри Виадер и Жауме Паради, О серии Гольдбаха и Эйлера, 2004 ( Pdf)