Гипотеза Каталонии

${\ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}$

для a, b gt; 1, x, y gt; 0 это x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

• 1 История
• 2 Обобщение
• 3 Гипотеза Пиллаи
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

История проблемы восходит, по крайней мере, к Герсониду, который доказал частный случай гипотезы в 1343 г., когда ( x, y) ограничивалось (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталонский высказал свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амеде Лебег рассмотрел случай b = 2.

В 1976 году Роберт Тейдеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности, чтобы установить границу для a, b, и использовал существующие результаты, ограничивающие x, y в терминах a, b, чтобы дать эффективную верхнюю оценку для x, y, a, b. Мишель Ланжевен вычислил значение границы. Это разрешило гипотезу Каталана во всех случаях, кроме конечного. Тем не менее конечные вычисления, необходимые для завершения доказательства теоремы, были слишком трудоемкими для выполнения. ${\ Displaystyle \ ехр \ ехр \ ехр \ ехр 730 \ приблизительно 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {317}}}}}$

Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. В нем широко используется теория круговых полей и модули Галуа. Изложение доказательства было дано Юрием Билу в Séminaire Bourbaki. В 2005 году Михэилеску опубликовал упрощенное доказательство.

Это гипотеза, что для любого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разностью n. В приведенном ниже списке показаны для n  ≤ 64 все решения для идеальных мощностей меньше 10 ¹⁸, как OEIS :  A076427. См. Также OEIS :  A103953 для наименьшего решения (gt; 0).

Каждое ли положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней?

Гипотеза Пиллаи касается общего различия совершенных степеней (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С.С. Пиллаи, который предположил, что промежутки в последовательности совершенных степеней стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем плане, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных целых положительных чисел A, B, C уравнение имеет только конечное число решений ( x,  y,  m,  n) с ( m,  n) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что разница для любого λ меньше 1 равномерна по m и n. ${\ displaystyle Ax ^ {n} -По ^ {m} = C}$${\ displaystyle | Ax ^ {n} -By ^ {m} | \ gg x ^ {\ lambda n}}$

Общая гипотеза вытекает из гипотезы ABC.

Пол Эрдеш предположил, что возрастающая последовательность совершенных степеней удовлетворяет некоторой положительной константе c и всем достаточно большим  n. ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}gt; n ^ {c}}$

• Гипотеза Била
• Уравнение x ^y = y ^x
• Гипотеза Ферма – Каталонии
• Кривая морделла
• Уравнение Рамануджана – Нагелла
• Теорема Стёрмера
• Теорема Тийдемана

• Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонии (после Михайлеску)», Astérisque, 294: vii, 1–26, MR   2111637
• Каталонский, Евгений (1844), «Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur», J. Reine Angew. Математика. (по - французски), 27: 192, DOI : 10,1515 / crll.1844.27.192, МР   1578392
• Коэн, Анри (2005). Демонстрация каталонской гипотезы [ Доказательство каталонской гипотезы ]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (на французском языке). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. С. 1–83. ISBN   2-7302-1293-0. Руководство по ремонту   0222434.
• Метсянкюля, Тауно (2004), «Гипотеза Каталонии: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF), Бюллетень Американского математического общества, 41 (1): 43–57, DOI : 10.1090 / S0273-0979-03-00993-5, MR   2015449
• Михэилеску, Преда (2004), «Первичные циклотомические единицы и доказательство гипотезы Каталонии», J. Reine Angew. Математика., +2004 (572): 167-195, DOI : 10,1515 / crll.2004.048, МР   2076124
• Михэилеску, Преда (2005), «Отражение, числа Бернулли и доказательство гипотезы Каталонии» (PDF), Европейский математический конгресс, Цюрих: Eur. Математика. Soc.: 325–340, MR   2185753
• Рибенбойм, Пауло (1994), Catalan's Conjecture, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN   0-12-587170-8, Руководство по ремонту   1259738 Предшествует доказательству Михэилеску.
• Тийдеман, Роберт (1976), "Об уравнении каталонского языка" (PDF), Acta Arith., 29 (2): 197-209, DOI : 10,4064 / аа-29-2-197-209, МР   0404137

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталонии». MathWorld.
• MathTrek Иварса Петерсона
• О разнице совершенных сил
• Жанин Дэмс: циклотомическое доказательство гипотезы Каталонии