Степень двойки

редактировать

Двойка в степени целого числа

Визуализация степени двойки от 1 до 1024 (от 2 до 2).

A степень двойки - это число в форме 2, где n - целое число, то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основание и целое число n как показатель степени.

В контексте, где рассматриваются только целые числа, n ограничивается неотрицательными значениями, поэтому мы умножаем 1, 2 и 2 само по себе определенное количество раз.

Поскольку двойка является основанием двоичной системы счисления, степени двойки распространены в информатике. Записанная в двоичном формате степень двойки всегда имеет форму 100... 000 или 0,00... 001, точно так же, как степень десяти в десятичной системе .

Содержание

1 Информатика
2 Простые числа Мерсенна и Ферма
3 Элементы Евклида, Книга IX
4 Таблица значений
5 Степеней 1024
6 Степеней двойки, экспоненты являются степенями двойки
7 Выбранными степенями двойки
8 Другие свойства
9 См. также
10 Ссылки

Информатика

Два в степени n, записывается как 2, является количеством способов, которыми могут быть расположены биты в двоичном слове длины n. Слово, интерпретируемое как целое число без знака, может представлять значения от 0 (000... 000 2) до 2-1 (111... 111 2) включительно. Соответствующие знаковые целые числа могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представление чисел со знаком. В любом случае, на единицу меньше, чем степень двойки, часто бывает верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа в этой форме часто появляются в компьютерных программах. В качестве примера, видеоигра , запущенная в 8-битной системе, может ограничить счет или количество элементов, которые игрок может удерживать, до 255 - результат использования байта, который имеет длину 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение 2 - 1 = 255. Например, в исходном Legend of Zelda у главного героя было ограничено 255 рупии (валюта игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man, как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степень двойки часто используются для измерения компьютерной памяти. Байт теперь считается восьмибитным (октет, что дает возможность иметь 256 значений (2). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях все еще означает) набор битов)., обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битная единица.) Префикс kilo в сочетании с байтом может быть и традиционно использовался для обозначения 1024 (2). Однако в В общем, термин килограмм используется в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10). Двоичные префиксы стандартизированы, например, киби (Ki) означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, равные степени двойки, очень часто 32 или 64.

Степень двойки также встречается в ряде других мест. Для многих дисков, по крайней мере, один из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность равен степени двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, которые являются не степени двойки встречаются в ряде ситуаций s, такие как разрешение видео, но они часто являются суммой или произведением только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, 640 = 32 × 20 и 480 = 32 × 15. Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые шаблоны.

Простые числа Мерсенна и Ферма

A простое число, которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна. Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше, чем положительная степень двойки, называется простым числом Ферма - показатель степени равен степени двойки. Дробь , знаменатель которой имеет степень двойки, называется диадическим рациональным. Числа, которые могут быть представлены как суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

Элементы Евклида, Книга IX

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (или, в двоичной системе счисления, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) важен в теории чисел. Книга IX, Предложение 36 из Элементы доказывает, что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упомянуто выше), то эта сумма, умноженная на n-й член, равна идеальное число. Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член в ряду), дает 496, что является идеальным числом.

Книга IX, Предложение 35, доказывает, что в геометрическом ряду, если первый член вычитается из второго и последнего члена в последовательности, тогда как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего для всех, кто был до него. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда сверху.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31), мы видим, что 62 минус 31 равно 31, поскольку 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Таким образом, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее все числа, которые делят 496. Предположим, что p делит 496, а его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31, или 31 равно q, как p равно 16. Теперь p не может делить 16, или это будет среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить q. А поскольку 31 не делит q, а q измеряет 496, основная теорема арифметики подразумевает, что q должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q равно 4, тогда p должно быть 124, что невозможно, поскольку по предположению p не входит в число 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS )

n	2	n	2	n	2	n	2
0	1	16	65,536	32	4,294,967,296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131,072	33	8,589,934,592	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	262,144	34	1.125.899.906.842.624
3	8	19	524288	35	34359738368	51	2.251.799.813.685.248
4	16	20	1048576	36	68719476736	52	4.503.599.627.370.496
5	32	21	2097152	37	137438953472	53	9.007.199.254.740.992
6	64	22	4194304	38	274877906944	54	18.014.398.509.481.984
7	128	23	8,388,608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,254,435 <296 2	57	144,115,188,075,855,872
10	1,024	26	67,108,864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2,048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,488,4293,763,7620460>4,796,093,022,486,193,763,456 375>1,152,921,504,606,846,976
13	8,192	29	536,870,912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16,384	30	1,073,741,824	46	70,368,744,347,347,140,1486352904>70,368,744,177,611,6347>4,268,744,347,611,6347>4 9 223 372 036 854 775 808

Начиная с 2 последняя цифра периодична с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры периодичны с периодом 20. Эти шаблоны обычно верны для любой степени относительно любого основания. Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2, а период - это мультипликативный порядок 2 по модулю 5, что составляет φ (5) = 4 × 5 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ).

Степени 1024

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней двойки немного больше, чем те же самые степени 1000 (10):

2	=	1	= 1000	(отклонение 0%)
2	=	1 024	≈ 1000	(отклонение 2,4%)
2	=	1 048 576	≈ 1000	(отклонение 4,9%)
2	=	1 073 741 824	≈ 1000	(отклонение 7,4%)
2	=	1 099 511 627 776	≈ 1000	(отклонение 10,0%)
2	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000	(отклонение 12,6%)
2	=	1152 921 504 606 846 976	≈ 1000	(отклонение 15,3%)
2	=	1 180 591 620 717 411 303424	≈ 1000	( 18,1% отклонение)
2	=	1208925819614629174706176	≈ 1000	(отклонение 20,9%)
2	=	1 237 940 039 285380 274 899 124 224	≈ 1000	(отклонение 23,8%)
2	=	1 267 6 50 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000	(отклонение 26,8%)
2	=	1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305024	≈ 1000	(отклонение 29,8%)
2	=	1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576	≈ 1000	(отклонение 32,9%)
2	=	1361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824	≈ 1000	(отклонение 36,1%)
2	=	1 393796574 908 163 946 345 982 392040 522594 123 776	≈ 1000	(отклонение 39,4%)
2	=	1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624	≈ 1000	(отклонение 42,7%)

Степень двойки, степень которой равна степени двойки

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся на одном и том же оборудовании, а данные хранятся в один или несколько октетов (2), двойные экспоненты из двух являются общими. Например,

n	2	2 (последовательность A001146 в OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65,536
5	32	4,294,967,296
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 (20 цифр)
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 (39 цифр)
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 985, 008, 687, 907, 853, 269, 984, 665, 640, 564, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 (78 цифр)
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 024, 998, 205, 846, 127, 479, 365, 820, 592, 393, 377, 723, 561, 443, 721, 764, 030, 073, 546, 976, 801, 874, 298, 166, 903, 427, 690, 031, 858, 1 86, 486, 050, 853, 753, 882, 811, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096 (155 цифр)
10	1,024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930,..., 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 (309 цифры)
11	2,048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 8..., 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 (617 цифр)
12	4,096	1,044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 75..., 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 (1234 цифр)
13	8,192	1,090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 98..., 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 (2467 цифр)
14	16,384	1,189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 75..., 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 (4933 цифры)
15	32768	1,415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 55..., 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 (9865 цифр)
16	65,536	2,003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 07..., 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 (19729 цифр)
17	131,072	4,014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 06..., 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 (39 457 цифр)
18	262,144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 7..., 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 (78 914 цифр)

Некоторые из этих номеров представляют количество значений, которые могут быть представлены с использованием общих компьютерных типов данных. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 2 различных значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые шаблоны, либо чаще интерпретировать как числа без знака от 0 до 2-1, или как диапазон значений числа со знаком между −2 и 2-1. Также см. тетрация и нижние гипероперации. Подробнее о представлении чисел со знаком см. дополнение до двух.

. В связи с nimbers эти числа часто называют Ферма 2-степенями.

Числа $2 2 n {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}$ $2 ^ {2 ^ {n}}$ образуют иррациональную последовательность : для каждой последовательности $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ из натуральных чисел, серия

∑ i = 0 ∞ 1 2 2 ixi = 1 2 x 0 + 1 4 Икс 1 + 1 16 Икс 2 + ⋯ {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0}}} + {\ frac {1} {4x_ {1}}} + {\ frac {1} {16x_ {2}}} + \ cdots}

\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ {2 ^ i} x_i} = \ frac {1} {2x_0} + \ frac {1} {4x_1} + \ frac {1} {16x_2} + \ cdots

сходится к иррациональное число. Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая иррациональная последовательность из известных.

Выбранные степени двойки

2 = 256: Количество значений, представленных числом 8 биты в байте , более конкретно называемые как октет. (Термин байт часто определяется как набор бит, а не строгое определение 8-битной величины, как демонстрируется термином килобайт.)
2 = 1,024: Двоичное приближение множителя кило- или 1000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайт (или кибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
2 = 4096: аппаратное обеспечение страница размер Intel x86 -совместимого процессора.
2 = 32,768: Количество неотрицательных значений для 16- битовое целое число.
2 = 65 536: Количество различных значений, представленных в одном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные x86 процессоры.; Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C # и Java. Максимум диапазон переменной Word или Smallint на языке программирования Pascal.; Число двоичных отношений в Набор из 4 элементов.
2 = 1 048 576: Двоичное приближение множителя мега- или 1 000 000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем возможности десять.
2 = 16,777,216: Количество уникальных цветов, которые могут отображаться в truecolor, который используется обычным компьютером мониторы.; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB, с 8 битами для каждого канала или 24 битами всего.; Размер наибольшего целого числа без знака или адрес в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 = 536 870 912: Наибольшая степень двойки с отдельными цифрами в базе десяти.
2 = 1 073 741 824: Двоичное приближение множителя гига- или 1 000 000 000, которое вызывает изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байт = 1 гигабайт (или гибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но является импортируемым муравей для людей, потому что мы используем степень десяти.
2 = 2 147 483 648: Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком. Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, оно закончится через 2147483647 секунд или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix, известная проблема. как проблема года 2038.
2 = 4,294,967,296: Количество различных значений, представленных в одном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные x86 процессоры.; Диапазон переменной int в языках программирования Java и C #.; Диапазон Cardinalили Целочисленнаяпеременная в языке программирования Pascal.; Минимальный диапазон переменной типа long integer в C и Языки программирования C ++.; Общее количество IP-адресов в IPv4. Хотя это, казалось бы, большое число, исчерпание адреса IPv4 неизбежно.; Количество двоичных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 = 1,099,511,627,776: Двоичное приближение множителя тера- или 1 000 000 000 000, которое вызывает изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт (или тебибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем возможности десять.
2 = 1,125,899,906,842,624: Бинарное приближение множителя пета-, или 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байтов = 1 петабайт (или pebibyte ).
2 = 9,007,199,254,740,992: Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате IEEE с плавающей запятой двойной точности.
2 = 72,057,594,037,927,936: Число различных возможных ключей в устаревшем 56-битном DES симметричном шифре.
2 = 1,152,921,504,606,846,976: Двоичное приближение exa-, или 1 000 000 000 000 000 000 множитель. 1,152,921,504,606,846,976 байтов = 1 эксабайт (или эксбибайт ).
2 = 9,223,372,036,854,775,808: Количество неотрицательных значений за 64-битное целое число со знаком.
2 = 18,446,744,073,709,551,616: Количество различных значений, представленных в одном слове на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в квадрослове на 16-битном процессоре, таком как исходные x86 процессоры.; Диапазон переменной long в языках программирования Java и C #.; Диапазон значений Int64 или QWord в языке программирования Pascal.; Общее количество IPv6-адресов, обычно присваиваемых одной локальной сети или подсети.; На единицу больше, чем количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории, где первый квадрат содержит одно рисовое зерно, а каждый последующий квадрат вдвое больше, чем предыдущий квадрат. По этой причине число 2-1 известно как "шахматное число".; 2-1 также является количеством ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни.
2 = 295 147 905 179 352 825 856: Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 = 1,180,591,620,717,411,303,424: Двоичное приближение множителя zetta-, или 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байта <14 = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: Двоичное приближение множителя йотта-, или 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 <1 676 674 925,1208,925,1208,925,100,000,000,000,000,000,000,000. 143>байтов = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: Предполагается, что 2 является наибольшей степенью двойки, не содержащей десятичного нуля.
2 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: Общее количество адресов IPv6, которые обычно присваиваются локальному интернет-реестру. В нотации CIDR Интернет-провайдерам предоставляется / 32, что означает, что для адресов доступно 128-32 = 96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 адреса.
2 = 340,282,366,920,938,463, 463 374 607 431 768 211 456: Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6. Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID).
2 = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: Наибольшая известная степень 2, не содержащая всех десятичных цифр (цифра 2 в этом случае отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Общее количество различных возможных ключей в AES 192-битном ключе пробел (симметричный шифр).
2 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: Общее количество различных возможных ключей в <1354>-ключе AES <1354>256>(симметричный шифр).
2 = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: Максимальное число, которое может поместиться в формате IEEE с плавающей запятой двойной точности, и, следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel.
2 = 148 894,4 45,742,041,..., 210,325,217,902,592: На единицу больше, чем наибольшее известное простое число по состоянию на декабрь 2018 г. Оно содержит более 24 миллионов цифр.

Другие свойства

Сумма всех n-выбранных биномиальных коэффициентов равна 2. Рассмотрим набор всех n-значных двоичных целых чисел. Его мощность равна 2. Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножества целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как n 0), подмножества с одной единицей, подмножество с двумя единицами и так далее до подмножества с n единицами (состоящего из числа, записанного как n 1). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному n, и количеству учитываемых единиц (например, есть двоичные числа из 10 вариантов выбора 3 с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время степени двойки - единственные известные почти идеальные числа.

Число вершин n-мерного гиперкуба равно 2. Аналогично, количество (n - 1) -граний n-мерного кросс-многогранника также равно 2, а формула для количества x-граней n-мерного кросс-многогранника равна $2 х (пх). {\ displaystyle 2 ^ {x} {\ tbinom {n} {x}}.}$ ${\ displaystyle 2 ^ {x} {\ tbinom {n} {x }}.}$

Сумма обратных значений степеней двойки равна 1. Сумма обратных значений квадратов степеней двойки равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичное представление начинается с 7, равна

2 46 = 70 368 744 177 664. {\ displaystyle 2 ^ {46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

{\ displaystyle 2 ^ {46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

Каждая степень двойки (исключая 1) может быть записана как сумма четырех квадратных чисел 24 способами. Степени двойки - это натуральные числа больше 1, которые можно записать как сумму четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

См. Также

Ссылки