Совершенное число

редактировать

Целое число, равное сумме его делителей

Иллюстрация состояния идеального числа для числа 6

In теория чисел, совершенное число - это положительное целое число, равное сумме его положительных делителей, за исключением самого числа. Например, 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 - идеальное число.

Сумма делителей числа, исключая само число, называется его аликвотной суммой, поэтому совершенное число - это число, равное его аликвотной сумме. Точно так же совершенное число - это число, равное половине суммы всех его положительных делителей, включая само себя; в символах σ 1 (n) = 2n, где σ 1 - функция суммы делителей. Например, 28 идеально подходит как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Это древнее определение, появившееся еще в Элементах Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός (совершенное, идеальное или полное число). Евклид также доказал правило формирования (IX.36), согласно которому $q (q + 1) / 2 {\ displaystyle q (q + 1) / 2}$ ${\ displaystyle q (q + 1) / 2}$ является четным идеальное число, когда $q {\ displaystyle q}$ $q$ является простым числом формы $2 p - 1 {\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ $2 ^ {p} -1$ для простого $p {\ displaystyle p}$ $p$ - то, что теперь называется простым числом Мерсенна. Два тысячелетия спустя Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют эту форму. Это известно как теорема Евклида – Эйлера.

. Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа и существует ли бесконечное количество совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел - это 6, 28, 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS ).

Содержание

1 История
2 Совершенные четные числа
3 Совершенные нечетные числа
4 Второстепенные результаты
5 Понятия, связанные с данным
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

История

Примерно за 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2-1 простое, то 2 (2-1) идеально. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике, а математик Никомах отметил 8128 год примерно в 100 году нашей эры. На современном языке Никомах без доказательств утверждает, что каждое совершенное число имеет вид $2 n - 1 (2 n - 1) {\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ где $2 n - 1 {\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ $2 ^ {n} -1$ простое число. Кажется, он не подозревает, что n должно быть простым числом. Он также говорит (ошибочно), что идеальные числа поочередно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также заканчивается цифрами 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О творении» упоминает совершенное числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна вращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 идеальны. За Филоном следует Ориген и Дидим Слепой, который добавляет наблюдение о том, что всего четыре совершенных числа меньше 10 000. (Комментарий к Бытию 1. 14-19). Святой Августин определяет совершенные числа в Граде Бога (Книга XI, Глава 30) в начале V века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336, 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны. Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8,589,869,056) и седьмое (137,438,691,328) совершенных чисел, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, оканчивается на 6 или 8.

Даже совершенные числа

Нерешенная проблема в математике :. Существует ли бесконечно много совершенных чисел? (больше нерешенных задач в математике)

Евклид доказал, что 2 (2-1) - это четное совершенное число, когда 2-1 простое (Элементы, Предложение IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле 2 (2-1) с pa простым числом следующим образом:

для p = 2: 2 ( 2-1) = 2 × 3 = 6

для p = 3: 2 (2-1) = 4 × 7 = 28

для p = 5: 2 (2-1) = 16 × 31 = 496

для p = 7: 2 (2 - 1) = 64 × 127 = 8128.

Простые числа в форме 2 - 1 известны как простые числа Мерсенна, после монаха семнадцатого века Марина Мерсенна, изучавшего теорию чисел и совершенные числа. Чтобы число 2 - 1 было простым, необходимо, чтобы число p было простым. Однако не все числа вида 2 - 1 с простым p простые; например, 2-1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. На самом деле простые числа Мерсенна очень редки - из 2 610 944 простых чисел p до 43 112 609 2 - 1 является простым только для 47 из них.

Хотя Никомах утверждал (без доказательств), что все совершенные числа имели форму $2 n - 1 (2 n - 1) {\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ где $2 n - 1 {\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ $2 ^ {n} -1$ простое число (хотя он сформулировал это несколько иначе), Ибн аль-Хайтам (Альхазен) около 1000 г. н.э. предположил только, что каждое даже совершенное число имеет эту форму. Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула 2 (2-1) дает все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида – Эйлера.

. Исчерпывающий поиск в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS показал, что первые 47 четных совершенных чисел равны 2 (2-1) для

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 3258267809 (последовательность, 421603809) A000043 в OEIS ).

Также были обнаружены четыре высших совершенных числа, а именно те, для которых p = 57885161, 74207281, 77232917 и 82589933, хотя в этом диапазоне могут быть и другие числа. на декабрь 2018 г. известно 51 простое число Мерсенна, и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых 2 × (2 - 1) с 49 724 095 цифрами). неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, ни w Но простых чисел Мерсенна бесконечно много.

Помимо формы 2 (2-1), каждое четное совершенное число является (2-1) -м треугольным числом (и, следовательно, равно сумме целых чисел из 1-2-1) и 2-е шестиугольное число. Кроме того, каждое совершенное четное число, кроме 6, является ((2 + 1) / 3) -м центрированным неугольным числом и равно сумме первых двух нечетных кубов:

6 = 2 1 (2 2 - 1) = 1 + 2 + 3, 28 = 2 2 (2 3 - 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3, 496 = 2 4 (2 5-1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3, 8128 = 2 6 (2 7-1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3, 33550336 = 2 12 (2 13 - 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + ⋯ + 123 3 + 125 3 + 127 3. {\ displaystyle {\ begin {align} 6 = 2 ^ {1} (2 ^ {2} -1) = 1 + 2 + 3, \\ [8pt] 28 = 2 ^ {2} (2 ^ {3 } -1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 ^ {3} + 3 ^ {3}, \\ [8pt] 496 = 2 ^ {4} (2 ^ {5} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 29 + 30 + 31 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3}, \\ [ 8pt] 8128 = 2 ^ {6} (2 ^ {7} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 125 + 126 + 127 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3} + 9 ^ {3} + 11 ^ {3} + 13 ^ {3} + 15 ^ {3}, \\ [8pt] 33550336 = 2 ^ {12} (2 ^ {13} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 8189 + 8190 + 8191 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + \ cdots + 123 ^ {3} + 125 ^ {3} + 127 ^ {3}. \ End {align}}}

{\ begin {align} 6 = 2 ^ {1} (2 ^ {2} -1) = 1 + 2 + 3, \\ [8pt] 28 = 2 ^ {2} (2 ^ {3} -1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 ^ {3} + 3 ^ {3}, \\ [8pt] 496 = 2 ^ {4} (2 ^ { 5} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 29 + 30 + 31 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ { 3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3}, \\ [8pt] 8128 = 2 ^ {6} (2 ^ {7} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 125 + 126 +127 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3} + 9 ^ {3} + 11 ^ {3} + 13 ^ {3} + 15 ^ {3}, \\ [8pt] 33550336 = 2 ^ {12} (2 ^ {13} -1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 8189 + 8190 + 8191 \\ = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + \ cdots + 123 ^ {3} + 125 ^ {3} + 127 ^ {3}. \ End {align}}

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют форму

T 2 p - 1 = 1 + (2 п - 2) × (2 п + 1) 2 = 1 + 9 × T (2 п - 2) / 3 {\ displaystyle T_ {2 ^ {p} -1} = 1 + {\ frac {(2 ^ { p} -2) \ times (2 ^ {p} +1)} {2}} = 1 + 9 \ times T _ {(2 ^ {p} -2) / 3}}

T_ {2 ^ {p} -1} = 1 + {\ frac {(2 ^ {p} -2) \ times (2 ^ {p} +1)} {2}} = 1 + 9 \ times T _ {(2 ^ {p} -2) / 3}

с каждым полученным треугольным числом T 7 = 28, T 31 = 496, T 127 = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающегося на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с T 2 = 3, T 10 = 55, T 42 = 903, T 2730 = 3727815,... Это можно переформулировать как следует: сложение цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса до тех пор, пока не будет получена одна цифра (называемая цифровым корнем ), всегда дает номер 1. Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1. Это работает со всеми совершенными числами 2 (2 - 1). с нечетным простым p и, фактически, с всеми числами вида 2 (2-1) для нечетного целого (не обязательно простого) m.

Вследствие своей формы 2 (2 - 1) каждое четное совершенное число представлено в двоичной форме как p единиц, за которыми следуют p - 1 нули; например,

610= 2 + 2 = 110 2

2810= 2 + 2 + 2 = 11100 2

496 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 111110000 2

8128 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1111111000000 2.

Таким образом, каждое четное совершенное число является пагубным числом.

Каждое четное совершенное число является также практический номер (см. Связанные понятия).

Нечетные совершенные числа

Нерешенная проблема в математике :. Существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа? (больше нерешенных задач в математике)

Неизвестно, существует ли какое-либо нечетное совершенное число, хотя были получены разные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа, таким образом подразумевая, что не существует нечетных совершенных чисел. Эйлер заявил: «Существуют ли (...) совершенные нечетные числа - это самый сложный вопрос». Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент, предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетного совершенного числа. Все совершенные числа также являются гармоническими числами Оре, и было высказано предположение, что не существует нечетных гармонических чисел Оре, кроме 1.

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям :

N>10.
N не делится на 105.
N имеет форму N ≡ 1 (mod 12) или N ≡ 117 (mod 468) или N ≡ 81 (мод. 324).
N имеет форму

N = q α p 1 2 e 1 ⋯ pk 2 ek, {\ displaystyle N = q ^ {\ alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k}},}

N = q ^ {\ alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} \ cdots p_ {k } ^ {2e_ {k}},

где:

q, p 1,..., p k - различные простые числа (Эйлер).
q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Эйлер).
Наименьший простой делитель N равен меньше, чем (2k + 8) / 3.
Либо q>10, либо p j>10 для некоторого j.
$N < 2 ( 4 k + 1 − 2 k + 1) {\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$ ${\ displaystyle N <2 ^ {(4 ^ {k +1} -2 ^ {k + 1})}}$
$α + 2 e 1 + 2 e 2 + 2 е 3 + ⋯ + 2 ek ≥ (21 к - 18) / 8 {\ displaystyle \ alpha + 2e_ {1} + 2e_ {2} + 2e_ {3} + \ cdots + 2e_ {k} \ geq (21k-18) / 8}$ ${\ displaystyle \ alpha + 2e_ {1} + 2e_ {2} + 2e_ {3} + \ cdots + 2e_ {k} \ geq (21k-18) / 8}$ .
$qp 1 p 2 p 3 ⋯ pk < 2 N 17 26 {\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$ ${\ displaystyle qp_ {1} p_ {2} p_ {3} \ cdots p_ {k} <2N ^ {\ frac {17} {26}}}$ .

Наибольший простой множитель N больше 10 и меньше $(3 N) 1/3. {\ displaystyle (3N) ^ {1/3}.}$ ${\ displaystyle (3N) ^ {1/3}.}$
Второй по величине простой множитель больше 10 и меньше $(2 N) 1/5 {\ displaystyle (2N) ^ {1 / 5}}$ ${\ displaystyle (2N) ^ {1/5}}$ .
Третий по величине простой множитель больше 100.
N имеет не менее 101 простого множителя и не менее 10 различных простых множителей. Если 3 не является одним из множителей N, то N имеет не менее 12 различных простых множителей.

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов, касающихся показателей степени e 1,..., e k в

N = q α p 1 2 e 1 ⋯ pk 2 ek. {\ displaystyle N = q ^ {\ alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k}}.}

{\ displaystyle N = q ^ {\ alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1} } \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k}}.}

Не все e i ≡ 1 (mod 3).
Не все e i ≡ 2 (mod 5).
Если все e i ≡ 1 (mod 3) или 2 (mod 5), тогда наименьший простой множитель N должен находиться в диапазоне от 10 до 10.
В более общем смысле, если все 2e i +1 имеют простой множитель в данном конечном множестве S, тогда наименьший простой множитель N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только от S.
Если (e 1,..., e k) = (1,..., 1, 2,..., 2) с t единицами и u двоек, тогда $(t - 1) / 4 ≤ u ≤ 2 t + α {\ displaystyle (t-1) / 4 \ leq u \ leq 2t + {\ sqrt {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle (t-1) / 4 \ leq u \ leq 2t + {\ sqrt {\ alpha}}}$ .
(e1,..., e k) ≠ (1,..., 1, 3), (1,..., 1, 5), (1,..., 1, 6).
Если e 1 =... = e k = e, то

e не может быть 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 или 18.
$k ≤ 2 e 2 + 8 e + 2 {\ displaystyle k \ leq 2e ^ {2} + 8e + 2}$ ${\ displaystyle k \ leq 2e ^ {2} + 8e + 2}$ и N < 2.

В 1888 году Сильвестр заявил:

... длительный мед. Обсуждение этого вопроса убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной сети условий, обхватывающих его со всех сторон, - было бы чем-то вроде чуда. 346>Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к подделке нечетных совершенных чисел, и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству отсутствия нечетных совершенных чисел.

Незначительные результаты

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Есть ряд результатов об идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, внешне они впечатляют; некоторые из них также подпадают под строгий закон малых чисел Ричарда Гая :

Единственное четное совершенное число в форме x + 1 - 28 (Маковски 1962).
28 также единственное четное совершенное число, которое является суммой двух положительных кубов целых чисел (Gallardo 2010).
обратные делителей совершенного числа N должны складываться до 2 (чтобы получить возьмите определение совершенного числа, σ 1 (n) = 2 n {\ displaystyle \ sigma _ {1} (n) = 2n}, и разделите обе стороны на n) :
- Для 6 у нас есть $1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2 {\ displaystyle 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2}$ $1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2$ ;
- Для 28 у нас есть $1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2 {\ displaystyle 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2}$ $1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2$ и т. Д.
Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом.
- Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре.
Четные совершенные числа не трапециевидные числа ; то есть, они не могут быть представлены как разность двух положительных непоследовательных треугольных чисел. Существует только три типа нетрапецеидальных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа вида $2 n - 1 (2 n + 1) {\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} +1)}$ $2 ^ {n-1} (2 ^ {n} +1)$ образовано как произведение простого числа Ферма $2 n + 1 {\ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ $2 ^ {n} +1$ со степенью двойки аналогично построению четных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна.
Число совершенных чисел меньше n меньше $cn {\ displaystyle c {\ sqrt {n}}}$ $c {\ sqrt {n}}$ , где c>0 - константа. На самом деле это $o (n) {\ displaystyle o ({\ sqrt {n}})}$ $o ({\ sqrt {n}})$ с использованием маленькой нотации.
Каждое четное идеальное число заканчивается на 6 или 28, основание десять; и, за исключением 6, оканчивается на 1, основание 9. Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, кроме 6, равен 1.
Единственный идеальное число без квадратов равно 6.

Понятия, связанные с данным

диаграмма Эйлера обильного, примитивного обильного, очень обильного, сверхизбыток, колоссально обильный, очень сложный, превосходный, очень сложный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполному и составным числам

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, сумма которых меньше самого числа, называются дефицитным, а где больше числа, обильным. Эти термины, вместе с самим совершенным, происходят от греческой нумерологии. Пара чисел, которые являются суммой собственных делителей друг друга, называются дружественными, а большие циклы чисел называются общительными. Положительное целое число, такое, что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, является практическим числом.

По определению, идеальное число - это фиксированная точка ограниченного делителя . функция s (n) = σ (n) - n, а аликвотная последовательность , связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также являются $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal { S}}$ -перфектными числами, или числа Гранвилля.

A полусовершенным числом - натуральным числом, которое равна сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами.

См. также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Nankar, ML: «История совершенных чисел», Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
Хагис П. (1973). «Нижняя граница для набора нечетных совершенных простых чисел». Вычислительная математика. 27(124): 951–953. DOI : 10.2307 / 2005530. JSTOR 2005530.
Риле, Х.Дж.Дж. «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в H.W. Ленстра и Р. Тийдеман (ред.): Вычислительные методы в теории чисел, Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации, Birkhauser, 1985.
Sándor, Jozsef; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. Стр. 15 –98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

Внешние ссылки

, Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
Дэвид Моус: Отлично, дружеские и общительные числа
Совершенные числа - история и теория
Вайсштейн, Эрик У. «Совершенное число». MathWorld.
OEISпоследовательность A000396 (Совершенные числа)
OddPerfect.org Планируемый проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
Большой поиск Мерсенн Прайм в Интернете (GIMPS)
Perfect Numbers, математический форум в Drexel.
Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано с оригинального 31.05.2013. Проверено 2 апреля 2013 г.