Шестиугольное число

A шестиугольное число - это фигуральное число. N-е гексагональное число h n - это количество различных точек в узоре точек, состоящем из контуров правильных шестиугольников со сторонами до n точек, когда шестиугольники наложены так, что они имеют один общий вершина.

Формула для n-го гексагонального числа

$hn\; =\; 2\; n\; 2\; -\; n\; =\; n\; (2\; n\; -\; 1)\; =\; 2\; n\; (2\; n\; -\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\; =\; 2n\; ^\; \{2\}\; -n\; =\; n\; (2n-1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; (2n-1)\}\; \{2\}\}.\}$

Первые несколько шестиугольных чисел (последовательность A000384 в OEIS ):

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но только каждое второе треугольное число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е и т. д.) является шестиугольным числом. Как и треугольное число, цифровой корень в базе 10 гексагонального числа может быть только 1, 3, 6 или 9. Шаблон цифрового корня, повторяющийся каждые девять членов, равен "1 6 6 1 9 3 1 3 9 ".

Каждое четное совершенное число является шестиугольным, что определяется формулой

$M\; p\; 2\; p\; -\; 1\; =\; M\; p\; M\; p\; +\; 1\; 2\; =\; h\; (M\; p\; +\; 1)\; /\; 2\; =\; час\; 2\; п\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; 2\; ^\; \{p-1\}\; =\; M\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{p\}\; +1\}\; \{2\}\}\; =\; h\; \_\; \{(M\_\; \{p\}\; +1)\; /\; 2\}\; =\; h\_\; \{2\; ^\; \{p-1\}\}\}$

, где M p - простое число Мерсенна. Совершенные нечетные числа неизвестны, поэтому все известные совершенные числа шестиугольные.

Например, 2-е шестиугольное число равно 2 × 3 = 6; 4-й - 4 × 7 = 28; 16-е - 16 × 31 = 496; а 64-е - 64 × 127 = 8128.

Наибольшее число, которое не может быть записано как сумму максимум четырех шестиугольных чисел, - это 130. Адриен-Мари Лежандр доказал в 1830 году, что любое целое число больше 1791 может быть выражено таким образом.

Шестиугольные числа не следует путать с центрированными шестигранными числами, которые моделируют стандартную упаковку венских сосисок. Чтобы избежать двусмысленности, гексагональные числа иногда называют «гексагональными числами с загнутыми углами».

• 1 Тест для шестиугольных чисел
• 2 Другие свойства
  • 2.1 Выражение с использованием сигма-нотации
  • 2.2 Сумма обратных шестиугольных чисел
• 3 Гексагональное квадратное число
• 4 См. Также
• 5 Внешние ссылки

Можно эффективно проверить, является ли положительное целое число x гексагональным числом, вычислив

$n\; =\; 8\; x\; +\; 1\; +\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{8x\; +\; 1\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\}.\}$

Если n - целое число, то x - это n-е гексагональное число. Если n не является целым числом, то x не шестиугольный.

Выражение с использованием сигма-нотации

n-е число гексагональной последовательности также может быть выражено с помощью сигма-нотации как

$hn\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; (4\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{(4k\; +\; 1)\}\}$

где пустая сумма принимается равной 0.

Сумма обратных шестиугольных чисел

Сумма обратных шестиугольных чисел равна 2ln (2). ln равно Натуральный логарифм.

$∑ k = 1 ∞ 1 k (2 k - 1) = lim n → ∞ 2 ∑ k = 1 n (1 2 k - 1 - 1 2 k) = lim n → ∞ 2 ∑ k = 1 n (1 2 k - 1 + 1 2 k - 1 k) = 2 lim n → ∞ (∑ k = 1 2 n 1 k - ∑ k = 1 n 1 k) = 2 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n + k = 2 lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n 1 1 + kn = 2 ∫ 0 1 1 1 + xdx = 2 [ln ⁡ (1 + x)] 0 1 = 2 пер ⁡ 2 ≈ 1,386294 {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (2k-1)}} = \ lim _ {n \ в \ infty} 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2k-1}} - {\ frac {1} {2k}} \ right) \\ = \ lim _ {n \ to \ infty} 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2k-1}} + {\ frac {1} {2k}} - {\ frac {1} {k}} \ right) \\ = 2 \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {2n} {\ frac {1} { k}} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right) \\ = 2 \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {n + k}} \\ = 2 \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1 } ^ {n} {\ frac {1} {1 + {\ frac {k} {n}}}} \\ = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1+ x}} dx \\ = 2 [\ ln (1 + x)] _ {0} ^ {1} \\ = 2 \ ln {2} \\ \ приблизительно {1.386294} \ end {align}} }$

Последовательность o f числа, которые одновременно являются шестиугольными и точными квадратами, начинаются с 1, 1225, 1413721,... OEIS : A046177.

• Пятиугольное число
• Центрированное шестиугольное число

• Вайсштейн, Эрик У. «Шестиугольное число». MathWorld.

.