Пятиугольное число

Визуальное представление первых шести пятиугольных чисел

A пятиугольное число - это фигуральное число который расширяет понятие треугольных и квадратных чисел до пятиугольника, но, в отличие от первых двух, шаблоны, используемые при построении пятиугольных чисел, не являются осесимметричный. N-ое пятиугольное число p n - это количество различных точек в узоре точек, состоящем из контуров правильных пятиугольников со сторонами до n точек, когда пятиугольники наложены так, что они имеют один общий вершина. Например, третий состоит из контуров, содержащих 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10, оставляя 12 различных точек, 10 в форме пятиугольника и 2 внутри.

pnдается формулой:

$pn\; =\; 3\; n\; 2\; -\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3n\; ^\; \{2\}\; -n\}\; \{2\}\}\}$

для n ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (последовательность A000326 в OEIS ).

n-е пятиугольное число - это сумма n целых чисел, начиная с n (то есть от n до 2n-1). Также выполняются следующие соотношения:

$pn\; =\; pn\; -\; 1\; +\; 3\; n\; -\; 2\; =\; 2\; pn\; -\; 1\; -\; pn\; -\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; =\; p\_\; \{n-1\}\; +\; 3n-2\; =\; 2p\_\; \{n-1\}\; -p\_\; \{n-2\}\; +3\}$

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. N-е пятиугольное число составляет одну треть (3n - 1) -го треугольного числа. Кроме того, где T n - треугольное число n.

$pn\; =\; T\; n\; -\; 1\; +\; n\; 2\; =\; T\; n\; +\; 2\; T\; n\; -\; 1\; =\; T\; 2\; n\; -\; 1\; -\; T\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; =\; T\_\; \{n-1\}\; +\; n\; ^\; \{\; 2\}\; =\; T\_\; \{n\}\; +\; 2T\_\; \{n-1\}\; =\; T\_\; \{2n-1\}\; -T\_\; \{n-1\}\}$

Обобщенные пятиугольные числа получаются из формулы, приведенной выше, но с n, принимающим значения в последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., что дает последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (последовательность A001318 в OEIS ).

Обобщенные пятиугольные числа важны для теории Эйлера о разбиениях, как это выражено в его теореме о пятиугольных числах.

Количество точек внутри крайний пятиугольник узора, образующего пятиугольное число, сам по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Пятиугольные числа не следует путать с центрированными пятиугольными числами.

Содержание

• 1 Обобщенные пятиугольные числа и центрированные шестиугольные числа
• 2 Тесты для пятиугольных чисел
  • 2.1 Тест на идеальный квадрат
• 3 Квадратные пятиугольные числа
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Обобщенные пятиугольные числа и центрированные шестиугольные числа

Обобщенные пятиугольные числа тесно связаны с центрированные шестиугольные числа. Когда массив, соответствующий центрированному шестиугольному числу, делится между его средней строкой и соседней строкой, он появляется как сумма двух обобщенных пятиугольных чисел, причем большая часть является собственно пятиугольным числом:

1 = 1 + 0		7 = 5 + 2		19 = 12 + 7		37 = 22 + 15
		. .		. . . .		. . . . . .

В общем:

$3\; n\; (n\; -\; 1)\; +\; 1\; =\; 1\; 2\; n\; (3\; n\; -\; 1)\; +\; 1\; 2\; (1\; -\; n)\; (3\; (1\; -\; n)\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 3n\; (n-1)\; +1\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; n\; (3n-1)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (1-n)\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; 3\; (1-n)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}\}$

где оба члена справа являются обобщенными пятиугольными числами, а первый член равен собственно пятиугольное число (n ≥ 1). Такое разделение центрированных гексагональных массивов дает обобщенные пятиугольные числа в виде трапециевидных массивов, которые можно интерпретировать как диаграммы Феррерса для их разбиения. Таким образом, их можно использовать для доказательства упомянутой выше теоремы о пятиугольных числах.

Тесты для пятиугольных чисел

Учитывая положительное целое число x, чтобы проверить, является ли оно (не обобщенным) пятиугольным числом, мы можем вычислить

$n\; =\; 24\; x\; +\; 1\; +\; 1\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{24x\; +\; 1\}\}\; +\; 1\}\; \{6\}\}.\}$

Число x пятиугольное тогда и только тогда, когда n является натуральным числом. В этом случае x - n-е пятиугольное число.

Тест на идеальный квадрат

Для обобщенных пятиугольных чисел достаточно просто проверить, является ли 24x + 1 полным квадратом.

Для необобщенных пятиугольных чисел, в дополнение к тесту на идеальный квадрат, также требуется проверить,

$24\; x\; +\; 1\; \equiv \; 5\; mod\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{24x\; +\; 1\}\; \}\; \backslash \; Equiv\; 5\; \backslash \; mod\; 6\}$

Математические свойства пятиугольных чисел гарантируют, что эти тесты достаточны для доказательства или опровержения пятиугольности числа.

Квадратные пятиугольные числа

Квадрат Пятиугольное число - это пятиугольное число, которое также является идеальным квадратом.

Первые несколько:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128694684801801.. (OEIS запись A036353 )

См. Также

• Шестиугольное число
• Треугольное число

Ссылки

1. ^Как определить, является ли число N пятиугольным числом?
2. ^Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное число.» Из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.

Дополнительная литература

• Леонард Эйлер: О замечательной опоре свойства пятиугольных чисел

.