Числовое число

редактировать

Термин Фигурное число используется разными авторами для элементов различных наборов чисел, обобщая от треугольных чисел до различных форм (многоугольные числа) и разных размеров (многогранные числа). Термин может означать

многоугольное число
число, представленное как дискретный r-мерный регулярный геометрический узор из r-мерных шаров, например многоугольное число (для r = 2) или многогранное число (для r = 3).
член подмножества вышеперечисленных множеств, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа, и их аналоги в других измерениях.

Содержание

1 Терминология
2 История
3 Треугольные числа
4 Гномон
5 Примечания
6 Ссылки

Терминология

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «фигуральные числа».

В исторических трудах по греческой математике предпочтительным термином было числовое число..

В употреблении, восходящем к Jakob Bernoulli в Ars Conjectandi, термин «фигуральное число» используется для треугольных чисел, составленных из последовательные целые числа, тетраэдрические числа, составленные из последовательных треугольных чисел, и т.д. Оказывается, это биномиальные коэффициенты. При таком использовании квадратные числа (4, 9, 16, 25,...) не будут считаться фигуральными числами, если их рассматривать как расположенные в квадрате.

В ряде других источников термин «фигуральное число» используется как синоним многоугольных чисел, либо просто обычных, либо их вместе с многоугольными числами с центром.

История

Считается, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагора, возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Генерация любого класса фигурных чисел, который изучали пифагорейцы с помощью гномонов, также приписывается Пифагору. К сожалению, для этих утверждений нет заслуживающего доверия источника, поскольку все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах датируются столетиями позже. Кажется очевидным, что четвертое треугольное число из десяти объектов, называемое по-гречески тетрактис, было центральной частью пифагорейской религии, наряду с несколькими другими фигурами, также называемыми тетрактис. Фигурные числа были предметом заботы пифагорейской геометрии.

Современное изучение фигурных чисел восходит к Пьеру де Ферма, а именно к теореме Ферма о многоугольных числах. Позже это стало важной темой для Эйлера, который дал явную формулу для всех треугольных чисел, которые также являются точными квадратами, среди многих других открытий, относящихся к фигуральным числам.

Фигурные числа сыграли значительную роль в современной развлекательной математике. В исследовательской математике фигурные числа изучаются с помощью многочленов Эрхарта, многочленов, которые подсчитывают количество целых точек в многоугольнике или многограннике при его расширении на заданный коэффициент.

Треугольные числа

треугольные числа для n = 1, 2, 3,... являются результатом сопоставления линейных чисел (линейных гномонов) для n = 1, 2, 3,...:

Это биномиальные коэффициенты $(n + 1 2) {\ displaystyle \ textstyle {\ binom {n + 1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {n + 1} {2}}}$ . Это случай r = 2 того факта, что r-я диагональ треугольника Паскаля для r ≥ 0 состоит из фигуральных чисел для r-мерных аналогов треугольников (r-мерных симплексов ).

Простые многогранные числа для r = 1, 2, 3, 4,...:

$P 1 (n) = n 1 = (n + 0 1) = (n 1) { \ displaystyle P_ {1} (n) = {\ frac {n} {1}} = {\ binom {n + 0} {1}} = {\ binom {n} {1}}}$ ${\ displaystyle P_ {1} (n) = {\ frac {n} {1}} = {\ binom {n + 0} {1}} = {\ binom {n} {1}}}$ (линейные числа),
$п 2 (n) = n (n + 1) 2 = (n + 1 2) {\ displaystyle P_ {2} (n) = {\ frac {n (n + 1) } {2}} = {\ binom {n + 1} {2}}}$ ${\ displaystyle P_ {2} (n) = {\ гидроразрыва {n (n + 1)} {2}} = {\ binom {n + 1} {2}}}$ (треугольные числа ),
$P 3 (n) = n (n + 1) (n + 2) 6 = (n + 2 3) {\ displaystyle P_ {3} (n) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} = {\ binom {n + 2} {3}}}$ ${\ displaystyle P_ {3} (n) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} = {\ binom {n + 2 } {3}}}$ (тетраэдрические числа ),
$P 4 (n) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 = (n + 3 4) {\ displaystyle P_ {4} (n) = {\ frac { n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24}} = {\ binom {n + 3} {4}}}$ ${\ displaystyle P_ {4} ( n) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24}} = {\ binom {n + 3} {4}}}$ (пентахорические числа, пентатопические числа, 4-симплексные числа),

$⋮ {\ displaystyle \ qquad \ vdots}$ $\ qquad \ vdots$

$P r (n) = n (n + 1) (n + 2) ⋯ (n + r - 1) р ! знак равно (N + (г - 1) р) {\ Displaystyle P_ {г} (п) = {\ гидроразрыва {п (п + 1) (п + 2) \ cdots (п + г-1)} {г! }} = {\ binom {n + (r-1)} {r}}}$ ${\ Displaystyle Р_ {г} (п) = {\ гидроразрыва {п (п + 1) (п + 2) \ cdots (п + г-1)} {г!}} = {\ binom {п + (г-1) } {r}}}$ (r-тематические числа, r- симплексные числа).

Термины квадратное число и кубическое число получают из их геометрического представления в виде квадрата или куба. Разница двух положительных треугольных чисел - это трапециевидное число.

Гномон

Гномон - это кусок, добавляемый к фигурному числу, чтобы преобразовать его в следующее большее число.

Например, гномон квадратного числа - это нечетное число общей формы 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3,.... Квадрат гномонов размера 8 выглядит так:

. 8 8 8 8 8 8 8 8. 8 7 7 7 7 7 7 7. 8 7 6 6 6 6 6 6. 8 7 6 5 5 5 5 5. 8 7 6 5 4 4 4 4. 8 7 6 5 4 3 3 3. 8 7 6 5 4 3 2 2. 8 7 6 5 4 3 2 1

Чтобы преобразовать n-квадрат (квадрат размера n) в (n + 1) -квадрат, к нему примыкают 2n + 1 элементов: по одному до конца каждой строки (n элементов), по одному до конца каждого столбец (n элементов) и один в угол. Например, преобразовывая квадрат 7 в квадрат 8, мы добавляем 15 элементов; эти дополнения - это восьмерки на рисунке выше.

Этот гномонический метод также обеспечивает математическое доказательство того, что сумма первых n нечетных чисел равна n; на рисунке показано 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8.

Примечания

Ссылки

Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon : От фараонов к фракталам, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00514-0
Деза, Елена; Деза, Мишель Мари (2012), Figurate Numbers, First Edition, World Scientific, ISBN 978-981-4355-48-3
Heath, Thomas Little ( 2000), История греческой математики: Том 1. От Фалеса до Евклида, ISBN 978-0-543-97448-8
Хит, Томас Литтл (2000), История Греческая математика: Том 2. От Аристарха до Диофанта, ISBN 978-0-543-96877-7
Диксон, Леонард Юджин (1923), История Теория чисел, ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Мерцбах, Ута К., История математики (2-е изд.)