Ars Conjectandi

редактировать
Книга по вероятности и комбинаторике

Титульная страница Ars Conjectandi

Ars Conjectandi (Latin для «Искусство гадания») - это книга по комбинаторике и математической вероятности, написанная Якобом Бернулли и опубликованная в 1713 году, через восемь лет после его смерть от его племянника Никлауса Бернулли. Основополагающая работа консолидировала, помимо многих комбинаторных тем, многие центральные идеи в теории вероятностей, такие как самая первая версия закона больших чисел : действительно, она широко считается основополагающая работа по этому предмету. В нем также рассматривались проблемы, которые сегодня классифицируются по двенадцатикратной схеме и добавляются к предметам; следовательно, множество историков математики назвали ее важной исторической вехой не только в теории вероятностей, но и во всей комбинаторике. Важность этой ранней работы оказала большое влияние как на современных, так и на более поздних математиков; например, Абрахам де Муавр.

Бернулли написал текст между 1684 и 1689 годами, включая работы таких математиков, как Христиан Гюйгенс, Джероламо Кардано, Пьер де Ферма и Блез Паскаль. Он включил фундаментальные комбинаторные темы, такие как его теория перестановок и комбинаций (вышеупомянутые проблемы из двенадцати частей), а также те, которые более отдаленно связаны с растущей темой: происхождение и свойства одноименного числа Бернулли, например. Основные темы вероятности, такие как ожидаемое значение, также составили значительную часть этой важной работы.

Содержание

  • 1 Предпосылки
  • 2 Разработка Ars Conjectandi
  • 3 Содержание
  • 4 Устаревшее
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Предпосылки

Христиан Гюйгенс опубликовал первые договоры о вероятности

В Европе тема вероятности впервые была официально разработана в 16 веке в работах Джероламо Кардано, чей интерес к разделу математики был во многом обусловлен его привычкой к азартным играм. Он формализовал то, что сейчас называется классическим определением вероятности: если событие имеет возможные исходы, и мы выбираем любое b из таких, что b ≤ a, вероятность любого из b наступления равна ba {\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} {\ frac {b} {a}} \ end {smallmatrix}}}\ begin {smallmatrix} \ frac {b} {a} \ end {smallmatrix} . Однако его реальное влияние на математическую сцену было невелико; он написал лишь один светлый фолиант на эту тему в 1525 году под названием Liber de ludo aleae (Книга об азартных играх), который был опубликован посмертно в 1663 году.

Дата, которую историки называют началом развития современного Теория вероятностей - это 1654 год, когда два самых известных математика того времени, Блез Паскаль и Пьер де Ферма, начали переписку, обсуждая эту тему. Эти двое инициировали общение, потому что ранее в том же году игрок из Парижа по имени Антуан Гомбо отправил Паскалю и другим математикам несколько вопросов о практическом применении некоторых из этих теорий; в частности, он поставил проблему очков, касающуюся теоретической игры двух игроков, в которой приз должен быть разделен между игроками из-за внешних обстоятельств, останавливающих игру. Плоды переписки Паскаля и Ферма заинтересовали других математиков, в том числе Христиана Гюйгенса, у которого De ratiociniis in aleae ludo («Расчеты в азартных играх») появились в 1657 году как заключительная глава «Exercitationes Matematicae» Ван Шутена. В 1665 году Паскаль посмертно опубликовал свои результаты об одноименном треугольнике Паскаля, важной комбинаторной концепции. Он назвал треугольник в своей работе «Арифметический треугольник» («Черты арифметического треугольника») как «арифметический треугольник».

В 1662 году вышла книга La Logique ou l'Art de Penser был опубликован анонимно в Париже. Авторами предположительно были Антуан Арно и Пьер Николь, два ведущих янсениста, которые работали вместе с Блезом Паскалем. Латинское название этой книги - Ars cogitandi, это была успешная книга по логике того времени. Ars cogitandi состоит из четырех книг, четвертая посвящена принятию решений в условиях неопределенности путем рассмотрения аналогии с азартными играми и явного введения концепции количественной вероятности.

В области статистики и прикладной вероятности, Джон Граант опубликовал естественные и политические наблюдения, сделанные на счетах смертности также в 1662 году, положив начало дисциплине демографии. Эта работа, среди прочего, дала статистическую оценку населения Лондона, составила первую таблицу дожития, дала вероятности выживания различных возрастных групп, исследовала различные причины смерти, отметив, что ежегодный уровень самоубийств и несчастных случаев является постоянным., и прокомментировали уровень и стабильность соотношения полов. Полезность и интерпретация таблиц Граунта обсуждались в серии соответствий братьями Людвигом и Христианом Гюйгенсами в 1667 году, где они осознали разницу между средними и медианными оценками, а Кристиан даже интерполировал таблицу дожития Граунта с помощью плавной кривой, создав первую непрерывную вероятность. распространение; но их переписка не публиковалась. Позже Йохан де Витт, тогдашний премьер-министр Голландской Республики, опубликовал аналогичный материал в своей работе 1671 года Waerdye van Lyf-Renten (Трактат о пожизненной ренте), в которой использовались статистические концепции для определения ожидаемая продолжительность жизни для практических политических целей; демонстрация того факта, что у этой молодой ветви математики есть важные прагматические приложения. Работа Де Витта не получила широкого распространения за пределами Голландской республики, возможно, из-за его падения с власти и казни толпой в 1672 году. Помимо практического вклада этих двух работ, они также раскрыли фундаментальную идею о том, что вероятность может быть связана с событиями, не обладают внутренней физической симметрией, такой как шансы умереть в определенном возрасте, в отличие, скажем, от игры в кости или подбрасывания монеты, просто путем подсчета частоты появления. Таким образом, вероятность может быть чем-то большим, чем просто комбинаторика.

Развитие Ars Conjectandi

Портрет Якоба Бернулли в 1687 году

Вслед за всеми этими первопроходцами Бернулли получил многие результаты, содержащиеся в Ars Conjectandi между 1684 и 1689, которые он записал в своем дневнике «Медитации». Когда он начал работу в 1684 году в возрасте 30 лет, будучи заинтригован комбинаторными и вероятностными проблемами, Бернулли еще не читал ни работы Паскаля по «арифметическому треугольнику», ни работы де Витта по приложениям теории вероятностей: он ранее просил копия последнего принадлежит его знакомому Готфрид Лейбниц, но Лейбниц не предоставил ее. Последнему, однако, удалось предоставить работы Паскаля и Гюйгена, и поэтому в значительной степени на этих основах строится Ars Conjectandi. Помимо этих работ, Бернулли определенно обладал или, по крайней мере, знал содержание из вторичных источников La Logique ou l’Art de Penser, а также Билли о смертности Граунта, поскольку он прямо ссылается на эти две работы.

Прогресс Бернулли с течением времени может быть достигнут с помощью медитаций. Три периода работы над его «открытием» можно выделить по целям и временам. Первый период, длится с 1684 по 1685 год, посвящен изучению проблем, связанных с азартными играми, поставленными Христианом Гюйгенсом; во второй период (1685–1686 гг.) исследования распространяются на процессы, вероятности которых не известны априори, но должны определяться апостериори. Наконец, в последний период (1687-1689 гг.) Проблема измерения вероятностей решена.

Перед публикацией своего Ars Conjectandi Бернулли заключил ряд договоров, связанных с вероятностью:

  • Parallelismus ratiocinii logici et algebraici, Базель, 1685.
  • In the Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), p. 314 возникают две проблемы, касающиеся вероятности выигрыша каждого из двух игроков в игре в кости. Решения были опубликованы в Acta Eruditorum 1690 (май), стр. 219–223, в статье Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum. Кроме того, сам Лейбниц опубликовал решение в том же журнале на страницах 387–390.
  • Theses logicae de converse et opp. Enuctionum, публичная лекция, прочитанная в Базеле 12 февраля 1686 г. Тезисы XXXI - XL связаны с теория вероятностей.
  • De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis, 1692.
  • The Letter à un amy sur les party du jeu de paume, то есть письмо другу на съемках в игра в теннис, опубликованная в Ars Conjectandi в 1713 году.

Между 1703 и 1705 годами Лейбниц переписывался с Якобом, узнав о своих открытиях в области вероятностей от своего брата Иоганна. Лейбниц сумел дать вдумчивую критику закона больших чисел Бернулли, но не смог предоставить Бернулли работу де Витта об аннуитетах, которую он так желал. С самого начала Бернулли хотел, чтобы его работа продемонстрировала, что комбинаторика и теория вероятностей будут иметь множество реальных приложений во всех сферах жизни общества - в соответствии с работами Граунта и де Витта - и будут служить строгим методом логических рассуждений в условиях недостаточные доказательства, используемые в залах судебных заседаний и в моральных суждениях. Также была надежда, что теория вероятности сможет обеспечить всеобъемлющий и последовательный метод рассуждений, когда обычное рассуждение может быть подавлено сложностью ситуации. Таким образом, было выбрано название Ars Conjectandi: ссылка на концепцию ars inveniendi из схоластики, которая обеспечила символическую связь с прагматизмом, который он желал, а также как расширение предшествующей Ars Cogitandi.

По словам самого Бернулли, «искусство догадок» определяется в главе II части IV его Ars Conjectandi как:

Искусство измерения с максимальной точностью вероятностей вещей с помощью цель, которую мы всегда могли бы выбрать или следовать в наших суждениях и действиях таким курсом, который будет определен как лучший, более удовлетворительный, безопасный или более выгодный.

Разработка книги была остановлена ​​смертью Бернулли в 1705 году; таким образом, книга по существу неполна по сравнению с первоначальным видением Бернулли. Ссора с его младшим братом Иоганном, который был наиболее компетентным человеком, который мог осуществить замысел Якоба, помешал Иоганну заполучить рукопись. Собственные дети Джейкоба не были математиками и не могли редактировать и издавать рукопись. Наконец, племянник Якоба Никлаус, через 7 лет после смерти Якоба в 1705 году, сумел опубликовать рукопись в 1713 году.

Содержание

Вырезка страницы из Ars Conjectandi, показывающей формулу Бернулли для суммы целочисленных степеней. В последней строке указаны его одноименные номера.

Работа Бернулли, первоначально опубликованная на латыни, разделена на четыре части. В первую очередь это касается его теории перестановок и комбинаций; стандартные основы комбинаторики сегодня и подмножества фундаментальных проблем, известных сегодня как двенадцатикратный путь. Также обсуждается мотивация и применение последовательности чисел, более тесно связанных с теорией чисел, чем с вероятностью; эти числа Бернулли носят его имя сегодня и являются одним из его наиболее заметных достижений.

Первая часть представляет собой подробное изложение "De ratiociniis in aleae ludo" Гюйгенса. В этом разделе Бернулли предлагает решения пяти проблем, которые Гюйгенс поставил в конце своей работы. В частности, он развивает концепцию ожидаемой стоимости Гюйгенса - средневзвешенного значения всех возможных результатов события. Гюйгенс разработал следующую формулу:

E = p 0 a 0 + p 1 a 1 + p 2 a 2 + ⋯ + p n a n p 0 + p 1 + ⋯ + p n. {\ displaystyle E = {\ frac {p_ {0} a_ {0} + p_ {1} a_ {1} + p_ {2} a_ {2} + \ cdots + p_ {n} a_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}}.}E = \ frac {p_0a_0 + p_1a_1 + p_2a_2 + \ cdots + p_na_n} {p_0 + p _1 + \ cdots + p_n}.

В этой формуле E - ожидаемое значение, p i - вероятности достижения каждого значения, и a i - достижимые значения. Бернулли нормализует ожидаемое значение, предполагая, что p i - это вероятности всех непересекающихся исходов значения, следовательно, подразумевая, что p 0 + p 1 +... + p n = 1. Другая ключевая теория, разработанная в этой части, - это вероятность достижения по крайней мере определенного количества успехов из ряда двоичных событий, которые сегодня называются испытаниями Бернулли, учитывая, что вероятность успеха в каждом мероприятии была одинаковой. Бернулли показывает с помощью математической индукции, которая дает количество благоприятных исходов в каждом событии, b общее количество исходов в каждом событии, d желаемое количество успешных исходов и e количество событий, вероятность из не менее d успехов равно

P = ∑ i = 0 e - d (ed + i) (ab) d + i (b - ab) e - d - i. {\ displaystyle P = \ sum _ {i = 0} ^ {ed} {\ binom {e} {d + i}} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {d + i } \ left ({\ frac {ba} {b}} \ right) ^ {edi}.}{\ displaystyle P = \ sum _ {i = 0} ^ {ed } {\ binom {e} {d + i}} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {d + i} \ left ({\ frac {ba} {b}} \ right) ^ {edi}.}

Первая часть завершается тем, что теперь известно как распределение Бернулли.

Вторая часть расширяет перечислительная комбинаторика, или систематическая нумерация предметов. Именно в этой части были конкретизированы два из наиболее важных из двенадцати способов - перестановки и комбинации, которые составили основу предмета - были конкретизированы, хотя они были введены ранее для целей теории вероятностей. Он дает первое неиндуктивное доказательство биномиального разложения для целочисленной экспоненты, используя комбинаторные аргументы. На заметке, более далекой от комбинаторики, во втором разделе также обсуждается общая формула для сумм целых степеней; поэтому свободные коэффициенты этой формулы называются числами Бернулли, которые позже повлияли на работу Абрахама де Муавра и которые, как было доказано, имеют многочисленные приложения в теории чисел.

В третьей части, Бернулли применяет вероятностные методы из первого раздела к играм с обычными шансами, играемым в карты или кости. Он не чувствует необходимости описывать правила и цели анализируемых им карточных игр. Он представил вероятностные проблемы, связанные с этими играми, и, как только метод был установлен, предложил обобщения. Например, задача, связанная с ожидаемым количеством «придворных карт» - валета, королевы и короля, - которую можно было бы выбрать в пятикарточной руке из стандартной колоды из 52 карт, содержащих 12 дворовых карт, может быть обобщена до колоды с карты, содержащие b придворных карт, и руку c-карты.

Четвертый раздел продолжает тенденцию практического применения, обсуждая применение вероятности к гражданским, моральным и экономическим, или к личным, судебным и финансовым решения. В этом разделе Бернулли отличается от школы мысли, известной как частотный подход, которая определяла вероятность в эмпирическом смысле. В качестве счетчика он выдает результат, напоминающий закон больших чисел, который он описывает как предсказание того, что результаты наблюдения будут приближаться к теоретической вероятности по мере проведения большего числа испытаний - напротив, частые люди определяли вероятность в терминах первый. Бернулли очень гордился этим результатом, называя его своей «золотой теоремой», и отмечал, что это «проблема, которой я занимался в течение двадцати лет». Эта ранняя версия закона известна сегодня либо как теорема Бернулли, либо как слабый закон больших чисел, поскольку она менее строгая и общая, чем современная версия.

После этих четырех основных пояснительных разделов, почти как запоздалая мысль Бернулли приложил к Ars Conjectandi трактат по исчислению, который касался бесконечных рядов. Это было переиздание пяти диссертаций, опубликованных им в период с 1686 по 1704 год.

Наследие

Работа Абрахама де Муавра была частично основана на работе Бернулли

Ars Conjectandi, которая считается знаковой работой в области комбинаторики и основания работа математической вероятности. Среди прочего, антология великих математических сочинений, опубликованная Elsevier и отредактированная историком Айвором Граттаном-Гиннессом, описывает исследования, изложенные в работе «[занимавшейся] математиками на протяжении 18 и 19 веков. «- влияние длилось три столетия. Статист Энтони Эдвардс похвалил не только новаторское содержание книги, написав, что она продемонстрировала «полное знание Бернулли многих аспектов [комбинаторики]», но и ее форму: «[Ars Conjectandi] очень хорошо написан книга, прекрасно сконструированная ". Возможно, совсем недавно известный популярный математический историк и тополог Уильям Данхэм назвал эту статью «следующей вехой теории вероятностей [после работ Кардано]», а также «шедевром Якоба Бернулли». Это во многом способствовало тому, что Данхэм описывает как «давнюю репутацию Бернулли».

Работа Бернулли повлияла на многих современных и последующих математиков. Даже запоздалый трактат по математическому анализу цитировался часто; прежде всего шотландским математиком Колином Маклореном. Программа Якоба по применению своего искусства догадок к вопросам практической жизни, которая была прекращена его смертью в 1705 году, была продолжена его племянником Николаем Бернулли, после дословного извлечения частей из Ars Conjectandi для его собственная диссертация под названием De Usu Artis Conjectandi in Jure, которая была опубликована уже в 1709 году. Николас, наконец, отредактировал и помог в публикации Ars conjectandi в 1713 году. Позже Николай также отредактировал полное собрание сочинений Якоба Бернулли и дополнил его результатами, взятыми из дневника Якоба.

Пьер Ремон де Монморт в сотрудничестве с Николаусом Бернулли написал книгу о вероятности Essay d'analyse sur les jeux de dangerous, появившуюся в 1708 году, которую можно рассматривать как продолжение Части III книги Ars Conjectandi, которая применяет комбинаторику и вероятность для анализа азартных игр, в которые обычно играли в то время. Абрахам де Муавр также много писал на эту тему в De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus 1711 года и его расширение Доктрина шансов или метод расчета вероятности событий в игре 1718 года. Самым заметным достижением Де Муавра в области вероятности было открытие первого пример центральной предельной теоремы, с помощью которой он смог аппроксимировать биномиальное распределение с помощью нормального распределения. Чтобы добиться этого, Де Муавр разработал асимптотическую последовательность для факториальной функции, которую мы теперь называем приближением Стирлинга, и формулу Бернулли для суммы степени чисел. И Монморт, и де Муавр заимствовали у Якоба Бернулли термин вероятность, который не использовался во всех предыдущих публикациях по азартным играм, и обе их работы пользовались огромной популярностью.

Уточнение золотой теоремы Бернулли, касающееся сходимости. теоретической вероятности и эмпирической вероятности, была подхвачена многими известными математиками последнего времени, такими как Де Муавр, Лаплас, Пуассон, Чебышев, Марков, Борель, Кантелли, Колмогоров и Хинчин. Полное доказательство закона больших чисел для произвольных случайных величин было наконец предоставлено в первой половине 20 века.

Существенное косвенное влияние оказал Томас Симпсон, который достиг результата, который близко походил на де Муавра. Согласно предисловию к работе Симпсона, его собственная работа во многом зависела от творчества де Муавра; последний фактически описал работу Симпсона как сокращенную версию своей собственной. Наконец, Томас Байес написал эссе обсуждение богословских последствий результатов де Муавра: его решение проблемы, а именно определение вероятности события по его относительной частоте, было принято как доказательство существования Бога Байеса. Наконец, в 1812 году Пьер-Симон Лаплас опубликовал свою «Аналитическую теорию вероятностей», в которой он обобщил и изложил многие фундаментальные результаты в области вероятности и статистики, такие как функция, производящая момент, метод наименьших квадратов, индуктивная вероятность и проверка гипотез, завершающая заключительный этап развития классической вероятности. В самом деле, в свете всего этого есть веская причина, по которой работа Бернулли считается таким знаменательным событием; Мало того, что его различные влияния, прямые и косвенные, заставили вращаться математическое изучение комбинаторики, но даже теология была затронута.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 20:18:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте