Куб (алгебра)

Число в третьей степени y = x для значений 1 ≤ x ≤ 25.

In арифметика и алгебра, куб числа n является его третьей степенью, то есть результатом умножения трех экземпляров числа n все вместе. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2 = 8 или (x + 1).

Куб - это также число, умноженное на его квадрат :

n = n × n = n × n × n.

Функция куба - это функция x ↦ x (часто обозначаемый y = x), который отображает число в его куб. Это нечетная функция, так как

(−n) = - (n).

объем геометрического куба - это куб длины его стороны, что и дало начало имени. Операция , обратная, которая заключается в нахождении числа, куб которого равен n, называется извлечением кубического корня числа n. Он определяет сторону куба данного объема. Оно также возведено в степень n в одну треть.

График кубической функции известен как кубическая парабола . Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

• 1 В целых числах
  • 1.1 Основание десять
  • 1.2 Задача Варинга для кубов
  • 1.3 Сумма трех кубов
  • 1.4 Последняя теорема Ферма для кубов
  • 1.5 Сумма первых n кубов
  • 1.6 Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии
  • 1,7 Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел
• 2 В рациональных числах
• 3 В вещественных числах, других полях и кольцах
• 4 История
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

A число куба, или идеальный куб, или иногда просто куб, представляет собой число, которое является кубом целого числа. Идеальные кубики до 60 (последовательность A000578 в OEIS ):

0 =	0
1 =	1	11 =	1331	21 =	9261	31 =	29,791	41 =	68,921	51 =	132,651
2 =	8	12 =	1728	22 =	10648	32 =	32,768	42 =	74,088	52 =	140,608
3 =	27	13 =	2197	23 =	12,167	33 =	35,937	43 =	79,507	53 =	148,877
4 =	64	14 =	2744	24 =	13,824	34 =	39,304	44 =	85,184	54 =	157,464
5 =	125	15 =	3375	25 =	15,625	35 =	42,875	45 =	91,125	55 =	166,375
6 =	216	16 =	4096	26 =	17 576	36 =	46 656	46 =	97 336	56 =	175 616
7 =	343	17 =	4913	27 =	19,683	37 =	50,653	47 =	103,823	57 =	185,193
8 =	512	18 =	5832	28 =	21,952	38 =	54,872	48 =	110,592	58 =	195,112
9 =	729	19 =	6859	29 =	24,389	39 =	59,319	49 =	117,649	59 =	205,379
10 =	1000	20 =	8000	30 =	27000	40 =	64000	50 =	125000	60 =	216000

Геометрически говоря, положительное целое число m является совершенным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить m единичных твердых кубов в более крупный твердый куб. Например, 27 маленьких кубиков можно объединить в один больший с появлением кубика Рубика, поскольку 3 × 3 × 3 = 27.

Разница между кубиками последовательных целых чисел можно выразить так:

n - (n - 1) = 3 (n - 1) n + 1.

или

(n + 1) - n = 3 (n + 1) n + 1.

Не существует минимального совершенного куба, поскольку куб с отрицательным целым числом отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Основание десять

В отличие от полных квадратов, у совершенных кубов нет небольшого числа возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, кратных 5, где только 25, 75и 00 могут быть двумя последними цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может быть идеальным кубом. Для кубов даже существуют значительные ограничения, только для 00, o 2, e 4, o 6 и e 8 могут быть двумя последними цифрами идеального куба (где o означает любую нечетную цифру, а e - любую четную цифру). Некоторые числа куба также являются квадратными числами; например, 64 - это квадратное число (8 × 8) и кубическое число (4 × 4 × 4). Это происходит тогда и только тогда, когда число является точной шестой степенью (в данном случае 2).

Последние цифры каждой 3-й степени:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, потому что все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1, 8или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только -1, 1 и 0. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, полученному при делении числа на 3:

• Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть

$если\; x\; \equiv \; 0\; (mod\; 3),\; то\; x\; 3\; \equiv \; 0\; (mod\; 9)\; (фактически\; 0\; (mod\; 27));\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; \backslash \; quad\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{9\}\}\; \{\; \backslash \; text\; \{(фактически\}\}\; \backslash \; quad\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{27\}\}\; \{\backslash \; text\; \{)\}\};\}$

• Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть

$если\; x\; \equiv \; 1\; (mod\; 3),\; то\; x\; 3\; \equiv \; 1\; (mod\; 9);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; \backslash \; quad\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{9\}\};\; \}$

• Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть

$если\; x\; \equiv \; -\; 1\; (mod\; 3),\; то\; x\; 3\; \equiv \; -\; 1\; (mod\; 9).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; Equiv\; -1\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; \backslash \; quad\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; -1\; \{\backslash \; pmod\; \{9\}\; \}.\}$

Задача Варинга для кубов

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубиков. Этот верхний предел в девять кубиков нельзя уменьшить, потому что, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубиков:

23 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Суммы трех кубов

Предполагается, что любое целое число (положительное или отрицательное), не конгруэнтное с ± 4 по модулю 9, может быть записано как сумма трех (положительных или отрицательных)) кубы с бесконечным множеством способов. Например, $6\; =\; 2\; 3\; +\; (-\; 1)\; 3\; +\; (-\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; =\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{3\}\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{3\}.\; \}$. Целые числа, сравнимые с ± 4 по модулю 9, исключаются, поскольку они не могут быть записаны как сумма трех кубов.

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, - 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы трех кубов, 42, удовлетворяло следующему уравнению:

$42\; =\; (-\; 80538738812075974)\; 3\; +\; 80435758145817515\; 3\; +\; 12602123297335631\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; 42\; =\; (-\; 80538738812075974)\; ^\; \{3\}\; +\; 80435758145817515\; ^\; \{3\}\; +\; 12602123297335631\; ^\; \{3\}.\}$

Одно решение для $x\; 3\; +\; y\; 3\; +\; z\; 3\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; +\; z\; ^\; \{3\}\; =\; n\}$приведено в таблице ниже для n ≤ 78, и n не совпадает с 4 или 5 по модулю 9. Выбранное решение тот, который является примитивным (НОД (x, y, z) = 1), не имеет форму $x\; 3\; +\; (-\; x)\; 3\; +\; n\; 3\; =\; n\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; (-x)\; ^\; \{3\}\; +\; n\; ^\; \{3\}\; =\; n\; ^\; \{3\}\}$, удовлетворяет 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | и имеет минимальные значения для | z | и | y | (проверяется в этом порядке).

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения могут быть тривиально выведены из решений для меньшего значения n. Например, для n = 24 решение $2\; 3\; +\; 2\; 3\; +\; 2\; 3\; =\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; =\; 24\}$получается из решения $1\; 3\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 3\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; ^\; \{3\}\; =\; 3\}$путем умножения все по $8\; =\; 2\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; 8\; =\; 2\; ^\; \{3\}.\}$Следовательно, выбрано другое решение. Аналогично, для n = 48 исключается решение (x, y, z) = (-2, -2, 4), и это решение (x, y, z) = (-23, -26, 31), который выбран.

n	x	y	z	n	x	y	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	0	1	1	42	12602123297335631	80435758145817515	-80538738812075974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	−1	−1	2	44	−5	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	−23	−26	31
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11	52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626	54	−7	−11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11	−21	22
19	0	−2	3	57	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21	−11	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26	0	−1	3	64	−3	−5	6
27	−4	−5	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	886612897528>10
35	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26	53	−55

Последняя теорема Ферма для кубов

Уравнение x + y = z не имеет нетривиальных (т.е. xyz ≠ 0) решений в целых числах. Фактически, в целых числах Эйзенштейна.

его нет. Оба эти утверждения также верны для уравнения x + y = 3z.

Сумма первых n кубиков

Сумма первых n кубиков представляет собой квадрат n-го треугольника :

$1\; 3\; +\; 2\; 3\; +\; \cdots \; +\; n\; 3\; Знак\; равно\; (1\; +\; 2\; +\; \cdots \; +\; n)\; 2\; =\; (n\; (n\; +\; 1)\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; n\; ^\; \{3\}\; =\; (1\; +\; 2\; +\; \backslash \; dots\; +\; n)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Наглядное доказательство того, что 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5).

Доказательства. Чарльз Уитстон (1854) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает тождество

$n\; 3\; =\; (n\; 2\; -\; n\; +\; 1)\; +\; (n\; 2\; -\; n\; +\; 1\; +\; 2)\; +\; (n\; 2\; -\; n\; +\; 1\; +\; 4)\; +\; \cdots \; +\; (n\; 2\; +\; n\; -\; 1)\; ⏟\; n\; последовательных\; нечетных\; чисел.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 1\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 1\; +\; 2\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 1\; +\; 4\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{n\; \{\backslash \; text\; \{последовательные\; нечетные\; числа\}\}\}.\}$

Эта идентичность связана с треугольными числами $T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\}$следующим образом:

$n\; 3\; =\; \sum \; k\; =\; T\; n\; -\; 1\; +\; 1\; T\; n\; (2\; k\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; T\_\; \{n-1\}\; +1\}\; ^\; \{T\_\; \{n\}\}\; (2k-1),\}$

и, следовательно, слагаемые, образующие $n\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{3\}\}$, начинаются сразу после тех, которые образуют все предыдущие значения $1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; \}$до $(n\; -\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)\; ^\; \{3\}\}$. Применяя это свойство вместе с другим известным тождеством:

$n\; 2\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; (2\; k\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; \}\; (2k-1),\}$

получаем следующий вывод:

$\sum \; k\; =\; 1\; nk\; 3\; =\; 1\; +\; 8\; +\; 27\; +\; 64\; +\; \cdots \; +\; n\; 3\; =\; 1\; ⏟\; 1\; 3\; +\; 3\; +\; 5\; ⏟\; 2\; 3\; +\; 7\; +\; 9\; +\; 11\; ⏟\; 3\; 3\; +\; 13\; +\; 15\; +\; 17\; +\; 19\; ⏟\; 4\; 3\; +\; \cdots \; +\; (n\; 2\; -\; n\; +\; 1)\; +\; \cdots \; +\; (n\; 2\; +\; n\; -\; 1)\; ⏟\; n\; 3\; =\; 1\; ⏟\; 1\; 2\; +\; 3\; ⏟\; 2\; 2\; +\; 5\; ⏟\; 3\; 2\; +\; \cdots \; +\; (n\; 2\; +\; n\; -\; 1)\; ⏟\; (n\; 2\; +\; n\; 2)\; 2\; =\; (1\; +\; 2\; +\; \cdots \; +\; n)\; 2\; =\; (\sum \; k\; =\; 1\; nk)\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; k\; ^\; \{3\}\; =\; 1\; +\; 8\; +\; 27\; +\; 64\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; underbrace\; \{1\}\; \_\; \{1\; ^\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; underbrace\; \{3\; +\; 5\}\; \_\; \{2\; ^\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; underbrace\; \{7\; +\; 9\; +\; 11\}\; \_\; \{3\; ^\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; underbrace\; \{13\; +\; 15\; +\; 17\; +\; 19\}\; \_\; \{4\; ^\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 1\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{n\; ^\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; underbrace\; \{\backslash \; underbrace\; \{\backslash \; underbrace\; \{1\}\; \_\; \{1\; ^\; \{2\}\}\; +\; 3\}\; \_\; \{2\; ^\; \{2\; \}\}\; +\; 5\}\; \_\; \{3\; ^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; +\; n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; =\; (1\; +\; 2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n)\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; \}\; k\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Визуальная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубов.

В более поздней математической литературе Stein (1971) harvtxt error: no target: CITEREFStein1971 (help ) использует прямоугольную интерпретацию этих чисел для формирования геометрического доказательства идентичности (см. Также Benjamin, Quinn Wurtz 2006 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBenjaminQuinnWurtz2006 (help )); он отмечает, что это также можно легко (но малоинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Toeplitz (1963) harvtxt error: no target: CITEREFToeplitz1963 (help ) предоставляет «интересный старый Арабское доказательство ". Каним (2004) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKanim2004 (help ) предоставляет чисто визуальное доказательство, Benjamin Orrison (2002) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFBenjaminOrrison2002 (help ) предоставляет два дополнительных доказательства, а Nelsen (1993) harvtxt error: no target: CITEREFNelsen1993 (help ) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

$1\; 3\; +\; 2\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; 4\; 3\; +\; 5\; 3\; =\; 15\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; 4\; ^\; \{3\}\; +\; 5\; ^\; \{3\}\; =\; 15\; ^\; \{2\}\}$

Аналогичный результат может быть получен для суммы первых y нечетные кубики,

$1\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; \cdots \; +\; (2\; y\; -\; 1)\; 3\; =\; (xy)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; (2y-1)\; ^\; \{3\}\; =\; (xy)\; ^\; \{2\}\}$

но x, y должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелла x - 2y = −1. Например, для y = 5 и 29, тогда

$1\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; \cdots \; +\; 9\; 3\; =\; (7\; \cdot \; 5)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; 9\; ^\; \{3\}\; =\; (7\; \backslash \; cdot\; 5)\; ^\; \{2\}\}$

$1\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; \cdots \; +\; 57\; 3\; =\; (41\; \cdot \; 29)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\; \}\; +\; \backslash \; dots\; +\; 57\; ^\; \{3\}\; =\; (41\; \backslash \; cdot\; 29)\; ^\; \{2\}\}$

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число, кроме самого младшего, является суммой первых 2. нечетных кубов (p = 3, 5, 7,...):

$28\; =\; 2\; 2\; (2\; 3\; -\; 1)\; =\; 1\; 3\; +\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 28\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; (2\; ^\; \{3\}\; -1)\; =\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\}$

$496\; =\; 2\; 4\; (2\; 5\; -\; 1)\; =\; 1\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; 5\; 3\; +\; 7\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 496\; =\; 2\; ^\; \{4\}\; (2\; ^\; \{5\}\; -1)\; =\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; 5\; ^\; \{3\}\; +\; 7\; ^\; \{3\}\}$

$8128\; =\; 2\; 6\; (2\; 7\; -\; 1)\; =\; 1\; 3\; +\; 3\; 3\; +\; 5\; 3\; +\; 7\; 3\; +\; 9\; 3\; +\; 11\; 3\; +\; 13\; 3\; +\; 15\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 8128\; =\; 2\; ^\; \{6\}\; (2\; ^\; \{7\}\; -1)\; =\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; 5\; ^\; \{3\}\; +\; 7\; ^\; \{3\}\; +9\; ^\; \{3\}\; +\; 11\; ^\; \{3\}\; +\; 13\; ^\; \{3\}\; +\; 15\; ^\; \{3\}\}$

Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии

Одна интерпретация числа Платона, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

В арифметической прогрессии есть примеры кубов чисел, сумма которых является кубом:

$3\; 3\; +\; 4\; 3\; +\; 5\; 3\; =\; 6\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; ^\; \{3\}\; +\; 4\; ^\; \{3\}\; +\; 5\; ^\; \{3\}\; =\; 6\; ^\; \{3\}\}$

$11\; 3\; +\; 12\; 3\; +\; 13\; 3\; +\; 14\; 3\; =\; 20\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 11\; ^\; \{3\}\; +\; 12\; ^\; \{3\}\; +\; 13\; ^\; \{3\}\; +\; 14\; ^\; \{3\}\; =\; 20\; ^\; \{3\}\}$

$31\; 3\; +\; 33\; 3\; +\; 35\; 3\; +\; 37\; 3\; +\; 39\; 3\; +\; 41\; 3\; =\; 66\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 31\; ^\; \{3\}\; +\; 33\; ^\; \{3\}\; +\; 35\; ^\; \{3\}\; +\; 37\; ^\; \{3\}\; +\; 39\; ^\; \{3\}\; +\; 41\; ^\; \{3\}\; =\; 66\; ^\; \{3\}\}$

с первым иногда идентифицируется как загадочное число Платона. Формула F для нахождения суммы n кубиков чисел в арифметической прогрессии с общей разностью d и исходным кубом a,

$F\; (d,\; a,\; n)\; =\; a\; 3\; +\; (a\; +\; d)\; 3\; +\; (a\; +\; 2\; г)\; 3\; +\; \cdots \; +\; (a\; +\; dn\; -\; d)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (d,\; a,\; n)\; =\; a\; ^\; \{3\}\; +\; (a\; +\; d)\; ^\; \{3\}\; +\; (a\; +\; 2d)\; ^\; \{3\; \}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (a\; +\; dn-d)\; ^\; \{3\}\}$

дается как

$F\; (d,\; a,\; n)\; =\; (n\; /\; 4)\; (2\; a\; -\; d\; +\; dn)\; (2\; a\; 2–2\; ad\; +\; 2\; adn\; -\; d\; 2\; n\; +\; d\; 2\; n\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (d,\; a,\; n)\; =\; (n\; /\; 4)\; (2a-d\; +\; dn)\; (2a\; ^\; \{2\}\; -2ad\; +\; 2adn-d\; ^\; \{2\}\; n\; +\; d\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\})\}$

Параметрическое решение задачи

$F\; (d,\; a,\; n)\; =\; y\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (d,\; a,\; n)\; =\; y\; ^\; \{3\}\}$

известен для частного случая d = 1 или последовательных кубов, но известны только спорадические решения для целого числа d>1, например d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 и т.д.

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,..., первый - куб (1 = 1); сумма следующих двух - следующий куб (3 + 5 = 2); сумма следующих трех - следующий куб (7 + 9 + 11 = 3); и так далее.

Каждое положительное рациональное число представляет собой сумму трех положительных рациональных кубов, и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов.

y = x на декартовой плоскости

В вещественных числах функция куба сохраняет порядок: чем больше числа, тем больше куб. Другими словами, кубы (строго) монотонно увеличиваются. Кроме того, его codomain - это вся действительная строка : функция x ↦ x: R→ R- это сюръекция (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: −1, 0 и 1. Если -1 < x < 0 or 1 < x, then x>х. Если x < −1 or 0 < x < 1, then x < x. All aforementioned properties pertain also to any higher odd power (x, x,...) of real numbers. Equalities and неравенства также верны в любом упорядоченном кольце.

. Объемы подобных евклидовых твердых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, i = −i.

производная от x равна 3x.

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях, например, в Fp для такого простого числа p, что p 1 (mod 3), но не обязательно: см. Контрпример с рациональными числами выше. Также в F7из семи элементов только три элемента 0, ± 1 являются совершенными кубами. −1, 0 и 1 - идеальные кубы в любом месте, и единственные элементы поля равны собственным кубам: x - x = x (x - 1) (x + 1).

Определение кубиков больших чисел было очень распространено в многих древних цивилизациях. Месопотамские математики создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к старовавилонскому периоду (20-16 вв. До н.э.). Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту. Герой Александрии разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней представлены в Девяти главах математического искусства, китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем. в 3 веке нашей эры.

• Число Кабтакси
• Кубическое уравнение
• Удвоение куба
• Гипотеза Эйлера о сумме сил
• Пятая степень (алгебра)
• Четвертая степень
• Законы движения планет Кеплера # Третий закон
• Седло обезьяны
• Совершенная сила
• Номер такси

1. ^Хьюсман, Сандер Г. (27 апреля 2016 г.). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [math.NT ].
2. ^«НОВОСТИ: Тайна 42 раскрыта - Numberphile» https://www.youtube.com/ смотреть? v = zyG8Vlw5aAw
3. ^Последовательности A060465, A060466 и A060467 в OEIS
4. ^Hardy Wright, Thm. 227
5. ^Hardy Wright, Thm. 232
6. ^«Сборник алгебраических тождеств».
7. ^Hardy Wright, Thm. 234
8. ^Hardy Wright, Thm. 233
9. ^мультипликативная группа элемента Fpявляется циклической порядка p - 1, и если она не делится на 3, то кубы определяют автоморфизм группы .
10. ^Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики. Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
11. ^Немет-Неджат, Карен Реа (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии. Издательская группа "Гринвуд". п. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
12. ^Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983 ISBN 0-387-12159-5
13. ^Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена. Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
14. ^Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии. Издательство Оксфордского университета. стр. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

• Харди, Г. Х. ; Райт, Э.М. (1980). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
• Уитстон, К. (1854 г.), «Об образовании степеней из арифметических прогрессий», Труды Лондонское королевское общество, 7: 145–151, doi :10.1098/rspl.1854.0036.