Четвертая степень

редактировать

В арифметике и алгебре четвертая степень числа n является результатом умножения четырех экземпляров числа n вместе. Итак:

n = n × n × n × n

Четвертые степени также образуются путем умножения числа на его куб. Кроме того, это квадраты квадратов.

Последовательность четвертых степеней целых чисел (также известных как биквадраты или тессерактические числа ):

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000,... (последовательность A000583 в OEIS )

Содержание

1 Свойства
2 Уравнения, содержащие четвертую степень
3 См. Также
4 Ссылки

Свойства

Последние две цифры четвертой степени целого числа в сенарном или десятичном могут быть легко показано (например, путем вычисления квадратов возможных последних двух цифр квадратных чисел) ограничено только восемью возможными числами в сенарии и только двенадцатью возможными числами в десятичной системе.

В сенаре

, если число заканчивается на 0, его четвертая степень оканчивается на $00 {\ displaystyle 00}$ ${\ displaystyle 00}$ (фактически на $0000 {\ displaystyle 0000}$ ${\ displaystyle 0000}$ )
, если число заканчивается на 1 или 5, оно s четвертая степень оканчивается на $01 {\ displaystyle 01}$ ${\ displaystyle 01}$ , $21 {\ displaystyle 21}$ $21$ или $41 {\ displaystyle 41}$ ${\ displaystyle 41}$
, если число заканчивается на 2 или 4, его четвертая степень оканчивается на $04 {\ displaystyle 04}$ ${\ displaystyle 04}$ , $24 {\ displaystyle 24}$ $24$ или $44 {\ displaystyle 44}$ ${\ displaystyle 44}$
, если число заканчивается на 3, его четвертая степень оканчивается на $13 {\ displaystyle 13}$ $13$ (фактически на $0213 {\ displaystyle 0213}$ ${\ displaystyle 0213}$ )

в десятичной

, если число заканчивается на 0, его четвертая степень оканчивается на $00 {\ displaystyle 00}$ ${\ displaystyle 00}$ (фактически на $0000 {\ displaystyle 0000}$ ${\ displaystyle 0000}$ )
, если число заканчивается на 1, 3, 7 или 9, его четвертая степень заканчивается в $01 {\ displaystyle 01}$ ${\ displaystyle 01}$ , $21 {\ displaystyle 21}$ $21$ , $41 {\ displaystyle 41}$ ${\ displaystyle 41}$ , $61 {\ displaystyle 61}$ ${\ displaystyle 61}$ или $81 {\ displaystyle 81}$ ${\ displaystyle 81}$
если число заканчивается на 2, 4, 6 или 8, его четвертая степень заканчивается на $16 {\ displaystyle 16}$ $16$ , $36 {\ displaystyle 36}$ $36$ , $56 {\ displaystyle 56 }$ ${\ displaystyle 56}$ , $76 {\ displaystyle 76}$ ${\ displaystyle 76}$ или $96 {\ displaystyle 96}$ $96$
, если число заканчивается на 5, его четыре Степень h оканчивается на $25 {\ displaystyle 25}$ $25$ (фактически на $0625 {\ displaystyle 0625}$ ${\ displaystyle 0625}$ )

Эти двенадцать возможностей могут быть удобно выражены как 00, e1, o6 или 25 где o - нечетная цифра, а e - четная цифра.

Каждое положительное целое число может быть выражено как сумма не более 19 четвертых степеней; каждое достаточно большое целое число может быть выражено как сумма не более 16 четвертых степеней (см. проблему Варинга ).

Ферма знал, что четвертая степень не может быть суммой двух других четвертых степеней (n = 4 случай из Великой теоремы Ферма ; см. право Ферма теорема треугольника ). Эйлер предположил, что четвертая степень не может быть записана как сумма трех четвертых, но 200 лет спустя, в 1986 году, Элкис опроверг это утверждение следующим образом:

20615673 4 = 18796760 4 + 15365639 4 + 2682440 4. {\ displaystyle 20615673 ^ {4} = 18796760 ^ {4} + 15365639 ^ {4} + 2682440 ^ {4}.}

{ \ displaystyle 20615673 ^ {4} = 18796760 ^ {4} + 15365639 ^ {4} + 2682440 ^ {4}.}

Elkies показал, что существует бесконечно много других контрпримеров для четвертой степени, некоторые из которых:

2813001 4 = 2767624 4 + 1390400 4 + 673865 4 {\ displaystyle 2813001 ^ {4} = 2767624 ^ {4} + 1390400 ^ {4} + 673865 ^ {4}}

{\ displaystyle 2813001 ^ {4} = 2767624 ^ {4} + 1390400 ^ {4} + 673865 ^ {4}}

(Аллан МакЛауд)

8707481 4 = 8332208 4 + 5507880 4 + 1705575 4 {\ displaystyle 8707481 ^ {4} = 8332208 ^ {4} + 5507880 ^ {4} + 1705575 ^ {4}}

{\ displaystyle 8707481 ^ {4} = 8332208 ^ {4} + 5507880 ^ {4} + 1705575 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

12197457 4 = 11289040 4 + 8282543 4 + 5870000 4 {\ displaystyle 12197457 ^ {4} = 11289040 ^ {4} + 8282543 ^ {4} + 5870000 ^ {4}}

{\ displaystyle 12197457 ^ {4} = 11289040 ^ {4} + 8282543 ^ {4} + 5870000 ^ {4}}

(DJ Бернштейна)

16003017 4 = 14173720 4 + 12552200 4 + 4479031 4 {\ displaystyle 16003017 ^ {4} = 14173720 ^ {4} + 12552200 ^ {4} + 4479031 ^ {4}}

{\ displaystyle 16003017 ^ {4} = 14173720 ^ {4} + 12552200 ^ {4} + 4479031 ^ {4}}

( DJ Bernstein)

16430513 4 = 16281009 4 + 7028600 4 + 3642840 4 {\ displaystyle 16430513 ^ {4} = 16281009 ^ {4} + 7028600 ^ {4} + 3642840 ^ {4}}

{\ displaystyle 16430513 ^ {4} = 16281009 ^ {4} + 7028600 ^ {4} + 3642840 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

422481 4 = 414560 4 + 217519 4 + 95800 4 {\ displaystyle 422481 ^ {4} = 414560 ^ {4} + 217519 ^ {4} + 95800 ^ {4}}

{\ displaystyle 422481 ^ {4} = 414560 ^ {4} + 217519 ^ {4} + 95800 ^ {4}}

(R Огер Фрай, 1988)

638523249 4 = 630662624 4 + 275156240 4 + 219076465 ​​4 {\ displaystyle 638523249 ^ {4} = 630662624 ^ {4} + 275156240 ^ {4} + 219076465 ​​^ {4}}

{\ displaystyle 638523249 ^ {4 } = 630662624 ^ {4} + 275156240 ^ {4} + 219076465 ​​^ {4}}

(Allan MacLeod, 1998)

Уравнения, содержащие четвертую степень

Уравнения четвертой степени, которые содержат четвертую степень (но не более высокую) полином, равны Теорема Абеля – Руффини, уравнения высшей степени, имеющие общее решение с использованием радикалов.

См. Также

Ссылки

^Цитируется в Мейриньяк, Жан-Шарль (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм одинаковых мощностей: лучшие известные решения». Проверено 17 июля 2017 года.

Вайсштейн, Эрик У. «Биквадратное число». MathWorld.