десятичная система счисления (также называемый base-tenпозиционная система счисления и иногда называемый денар или десятичный ) является стандартной системой для обозначения целые и нецелые числа. Это расширение нецелых чисел индуистско-арабской системы счисления. Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной системой счисления.
Десятичное число, или просто десятичное, или случайно десятичное число, обычно относится к обозначению числа в десятичной системе счисления. Десятичные числа могут иногда определяться десятичным разделителем (обычно «.» Или «,» как в 25.9703 или 3,1415). Десятичный может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в «3.14 - приближение π к двум десятичным знакам».
Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, - это десятичные дроби. То есть дроби формы a / 10, где a - целое число, а n - неотрицательное целое .
. Десятичная система расширена до бесконечных десятичных знаков для представления любых вещественное число, используя бесконечную последовательность цифр после десятичного разделителя (см. Десятичное представление ). В этом контексте десятичные числа с конечным числом ненулевых знаков после десятичного разделителя иногда называют завершающими десятичными знаками. повторяющаяся десятичная дробь - это бесконечная десятичная дробь, которая после некоторого места бесконечно повторяет одну и ту же последовательность цифр (например, 5,123144144144144... = 5,123144). Бесконечное десятичное число представляет собой рациональное число тогда и только тогда, когда оно является повторяющимся десятичным числом или имеет конечное число ненулевых цифр.
Многие системы счисления древних цивилизаций использовали десять и его силу для представления чисел, возможно, потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать, используя пальцы. Примерами могут служить цифры брахми, греческие цифры, еврейские цифры, римские цифры и китайские цифры. Очень большие числа было трудно представить в этих старых системах счисления, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением индусско-арабской системы счисления для представления целых чисел. Эта система была расширена для представления некоторых нецелочисленных чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами, для формирования десятичной системы счисления.
Для записи чисел в десятичной системе используются десять десятичных цифр, десятичная метка, а для отрицательные числа, знак минус "-". Десятичные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; десятичный разделитель - точка "." во многих странах, а также запятую "," в других странах.
Для представления неотрицательного числа десятичная дробь состоит из
Если m>0, он Обычно предполагается, что первая цифра a m не равна нулю, но в некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева. Это не меняет значение, представленное десятичной дробью. Например, 3,14 = 03,14 = 003,14. Аналогично, если b n = 0, его можно удалить, и, наоборот, конечные нули могут быть добавлены без изменения представленного числа: например, 15 = 15,0 = 15,00 и 5,2 = 5,20 = 5,200. Иногда дополнительные нули используются для указания точности измерения. Например, 15,00 м может означать, что ошибка измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а 15 м может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров, а ошибка может превышать 10 см.
Для представления отрицательного числа знак минус ставится перед m.
Цифрой представляет собой число
целая часть или неотъемлемая часть десятичное число - это целое число, записанное слева от десятичного разделителя (см. также усечение ). Для неотрицательной десятичной дроби это наибольшее целое число, которое не больше десятичной дроби. Часть от десятичного разделителя справа - это дробная часть , которая равна разнице между числом и его целой частью.
Когда целая часть числа равна нулю, может возникнуть ситуация, обычно в вычислении, что целая часть не записывается (например,.1234 вместо 0.1234). В обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками пунктуации.
Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от его положения в числе. То есть десятичная система представляет собой позиционную систему счисления.
Числа, представленные десятичными числами, - это десятичные дроби (иногда называемые десятичными числа ), то есть рациональные числа, которые могут быть выражены как дробь, знаменатель которой представляет собой степень десяти. Например, цифры представляют дроби 8/10, 1489/100, 24/100000., 1 + 309/500 и 3 + 14159/100000. В более общем смысле десятичная дробь с n цифрами после разделителя представляет дробь со знаменателем 10, числитель которой является целым числом, полученным путем удаления разделителя.
Выраженные как полностью сокращенная дробь, десятичные числа - это те, знаменатель которых является произведением степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел
Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа, например для действительного числа π. Тем не менее, они позволяют аппроксимировать любое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичная дробь 3,14159 приближается к действительному π, меньше чем 10; поэтому десятичные дроби широко используются в науке, инженерии и в повседневной жизни.
Точнее, для каждого действительного числа x и любого положительного целого числа n есть два десятичных знака L и u, с не более чем n цифрами после десятичной метки, так что L ≤ x ≤ u и (u - L) = 10.
Очень часто числа получаются в результате измерения. Поскольку измерения обычно связаны с некоторой ошибкой измерения с известной верхней границей, результат измерения хорошо представлен десятичной дробью с n цифрами после десятичной метки, как только Абсолютная погрешность измерения ограничена сверху числом 10. На практике результаты измерений часто приводятся с определенным количеством цифр после десятичной точки, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же десятичное число, цифра 0,080 предполагает измерение с ошибкой менее 0,001, а цифра 0,08 указывает на абсолютную ошибку, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может составлять, например, 0,0803 или 0,0796 (см. Также значащие цифры ).
Для действительного числа x и целого n ≥ 0 пусть [x] n обозначает (конечное) десятичное раскрытие наибольшего числа, не превышающего x, которое имеет ровно n цифр после десятичного знака. Пусть d i обозначает последнюю цифру [x] i. Несложно увидеть, что [x] n может быть получено путем добавления d n справа от [x] n – 1. Таким образом, мы имеем
и разность [x] n – 1 и [x] n составляет
который либо равен 0, если d n = 0, либо становится произвольно малым, когда n стремится к бесконечности. Согласно определению limit, x является пределом [x] n, когда n стремится к бесконечности. Это записывается как или
который называется бесконечным десятичным разложением числа x.
И наоборот, для любого целого числа [x] 0 и любой последовательности цифр (бесконечное) выражение [x] 0.d1d2... d n... является бесконечным десятичным разложением действительного числа x. Это расширение уникально, если ни все d n равны 9, ни все d n равны 0 для достаточно большого n (для всех n больше некоторого натурального числа N).
Если все d n для n>N равны 9 и [x] n = [x] 0.d1d2... d n, предел последовательности - десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, отличной от 9, например: d N, на d N + 1, и заменой всех последующих девяток на 0 ( см. 0,999... ).
Любая такая десятичная дробь, т. Е. D n = 0 для n>N, может быть преобразована в эквивалентное ей бесконечное десятичное разложение путем замены d N на d N - 1 и замена всех последующих 0 на 9 (см. 0.999... ).
Таким образом, каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное расширение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных разложения, одно из которых содержит только нули после некоторого места, что получается с помощью приведенного выше определения [x] n, а другое содержит только 9 секунд после некоторого места, что получается путем определения [x] n как наибольшего числа, которое меньше x, имеющего ровно n цифр после десятичного знака.
Длинное деление позволяет вычислить бесконечное десятичное разложение рационального числа. Если рациональное число является десятичной дробью, деление в конечном итоге прекращается, образуя десятичное число, которое может быть продолжено до бесконечности путем добавления бесконечного количества нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последующие остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность цифр должна бесконечно повторяться в частном. То есть у одного есть повторяющаяся десятичная дробь. Например,
И наоборот, каждая в конечном итоге повторяющаяся последовательность цифр является бесконечным десятичным разложением рационального числа. Это является следствием того факта, что повторяющаяся часть десятичного представления фактически является бесконечным геометрическим рядом, сумма которого будет равна рациональному числу. Например,
Самая современная компьютер аппаратные и программные системы обычно используют двоичное представление внутри (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650, используется десятичное представление внутри). Для внешнего использования специалистами по компьютерам это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричных или шестнадцатеричных системах.
Однако для большинства целей двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или из них для представления или ввода от человека; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном виде. (123.1, например, записывается как таковая в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не могут точно закодировать это число.)
И компьютерное оборудование, и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными для хранения десятичные значения и арифметика. Часто эта арифметика выполняется с данными, которые закодированы с использованием некоторого варианта двоично-десятичного числа, особенно в реализациях базы данных, но используются другие десятичные представления (включая десятичное число с плавающей запятой, например как и в более новых версиях стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой ).
Десятичная арифметика используется в компьютерах, поэтому десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются для такая же длина точности. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, когда для целей бухгалтерского учета требуются целые числа, кратные наименьшей денежной единице. Это невозможно в двоичной системе, поскольку отрицательные степени не имеет конечного двоичного дробного представления и, как правило, невозможно для умножения (или деления). См. Арифметика произвольной точности для точных вычислений.
Многие древние культуры рассчитывали числа, основанные на десяти, иногда утверждаемые из-за того, что человеческие руки обычно имеют десять пальцев / цифр. Стандартизированные веса, используемые в цивилизации долины Инда (c.3300–1300 гг. До н.э.), были основаны на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, а их стандартизированный правитель - правитель Мохенджо-Даро - был разделен на десять равных частей. Египетские иероглифы, свидетельствующие о том, что примерно с 3000 г. до н.э., использовали чисто десятичную систему. как и критские иероглифы (c.1625-1500 гг. до н.э.) минойцев, числительные которых тесно связаны с египетской моделью. Десятичная система была передана последовательным культурам бронзового века Греции, включая линейное письмо A (ок. 18 век до н.э. - 1450 г. до н.э.) и линейное письмо B ( ок. 1375−1200 гг. до н.э.) - в системе счисления классической Греции также использовались степени десяти, включая римские цифры, промежуточное основание числа 5. В частности, эрудит Архимед (ок. 287–212 гг. До н. Э.) Изобрел десятичную позиционную систему в своем Sand Reckoner, которая была основана на 10, и позже заставила немецкого математика Карла Фридриха Гаусса сетовать на то, что высот наука достигла бы уже в его дни, если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия. Хеттские иероглифы (с 15 века до н.э.) также были строго десятичными.
Некоторые нематематические. в древних текстах, таких как Веды, датируемых 1900–1700 гг. до н. э., используются десятичные дроби и математические десятичные дроби.
Египетские иератические числа, числа греческого алфавита, т. Цифры еврейского алфавита, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры брахми - все это непозиционные десятичные системы, требующие большого количества символов. Например, египетские цифры использовали разные символы от 10, от 20 до 90, 100, от 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000, до 10000. Самой ранней позиционной десятичной системой в мире была китайская стержневое исчисление.
Самая ранняя позиционная десятичная система в мире. Вертикальная форма верхнего ряда. Горизонтальная форма нижнего рядаДесятичные дроби были впервые разработаны и использовались китайцами в конце 4 века до нашей эры, а затем распространились на Ближний Восток, а оттуда в Европу. Письменные китайские десятичные дроби были непозиционными. Однако подсчет долей стержней был позиционным.
Цинь Цзюшао в своей книге Математический трактат в девяти разделах (1247) обозначил 0,96644 как
Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика Абу'л-Хасана аль-Уклидиси, написанной в 10 веке. Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, предвосхищая Саймона Стевина, но не разработал никаких обозначений для их представления. Персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке. Аль Хорезми ввел дробь в исламские страны в начале 9 века; китайский автор утверждал, что его представление дробей было точной копией традиционной китайской математической дроби из Сунцзи Суаньцзин. Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась аль-Уклидиси и аль-Каши в его работе «Арифметический ключ».
Предшественник современной европейской десятичной системы счисления был введен Саймоном Стевин в 16 веке.
В Индии появился метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов. В нескольких индийских языках используется простая десятичная система. Многие индоарийские и дравидийские языки имеют числа от 10 до 20, выраженные в регулярном порядке добавления к 10.
Венгерский язык также использует простую десятичную систему. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как «tizenegy» буквально «один на десять»), как и числа между 20 и 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцать»).
Простая десятичная система ранжирования со словом для каждого порядка (10 十, 100 百, 1000, 10 000), в которой 11 выражается как десять-один, а 23 - как два-десять-три, и 89 345 выражается как 8 (десять тысяч) 万 9 (тысяча) 千 3 (сто) 百 4 (десятки) 5 встречается в китайском и в вьетнамском с несколькими неровности. Японский, корейский и тайский импортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой чисел есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и декад. Например, в английском языке 11 - это «одиннадцать», а не «десять-один» или «один-подросток».
языки инков, такие как кечуа и аймара, имеют почти прямую десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с одним, а 23 как два-десять с тремя.
Некоторые психологи предполагают, что неправильность английских названий цифр может затруднить счет детей.
Некоторые культуры используют или использовали другие основы чисел.