Восьмеричный

редактировать

Позиционная нотация Base-8 с использованием цифр 0–7

Системы счисления, биты и Код Грея
шестнадцатеричный	десятичный	окт	3	2	1	0	шаг
0шестнадцатеричный	00десятичный	00окт	0	0	0	0	g0
1шестнадцатеричный	01десятичный	01окт	0	0	0	1	h1
2hex	02dec	02oct	0	0	1	0	j3
3hex	03dec	03oct	0	0	1	1	i2
4hex	04dec	04oct	0	1	0	0	n7
5hex	05dec	05oct	0	1	0	1	m6
6hex	06dec	06oct	0	1	1	0	k4
7hex	07dec	07oct	0	1	1	1	l5
8шестнадцатеричный	08десятичный	10окт	1	0	0	0	vF
9шестнадцатеричный	09десятичный	11окт	1	0	0	1	uE
Aшестнадцатеричный	10десятичный	12окт	1	0	1	0	sC
Bhex	11dec	13oct	1	0	1	1	tD
Chex	12dec	14oct	1	1	0	0	o8
Dhex	13dec	15oct	1	1	0	1	p9
Ehex	14dec	16oct	1	1	1	0	rB
Fhex	15dec	17oct	1	1	1	1	qA

octalсистема счисления, или oct для краткости, является системой счисления с основанием -8 и использует цифры от от 0 до 7. Восьмеричные числа могут быть образованы из двоичных цифр. путем группирования последовательных двоичных цифр в группы по три (начиная с правого т). Например, двоичное представление для десятичного числа 74 - 1001010. Слева можно добавить два нуля: (00) 1 001 010, что соответствует восьмеричным цифрам 1 1 2, что дает восьмеричное представление 112.

В В десятичной системе каждый десятичный разряд представляет собой степень десяти. Например:

74 10 = 7 × 10 1 + 4 × 10 0 {\ displaystyle \ mathbf {74} _ {10} = \ mathbf {7} \ times 10 ^ {1} + \ mathbf {4} \ умножить на 10 ^ {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {74} _ {10} = \ mathbf {7} \ times 10 ^ {1} + \ mathbf {4} \ times 10 ^ {0}}

В восьмеричной системе каждое место представляет собой степень восьми. Например:

112 8 = 1 × 8 2 + 1 × 8 1 + 2 × 8 0 {\ displaystyle \ mathbf {112} _ {8} = \ mathbf {1} \ times 8 ^ {2} + \ mathbf {1} \ times 8 ^ {1} + \ mathbf {2} \ times 8 ^ {0}}

{\ mathbf {112}} _ {8} = {\ mathbf {1}} \ times 8 ^ {2} + {\ mathbf {1}} \ times 8 ^ {1} + {\ mathbf {2}} \ times 8 ^ {0}

Выполнив приведенное выше вычисление в знакомой десятичной системе, мы увидим, почему 112 в восьмеричной системе счисления равно 64 + 8. +2 = 74 в десятичной системе счисления.

Восьмеричная таблица умножения
×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

Содержание

1 Использование
- 1.1 Коренными американцами
- 1.2 Европейцами
- 1.3 В компьютерах
- 1.4 В авиации
2 Преобразование между основаниями
- 2.1 Преобразование десятичных чисел в восьмеричные
  - 2.1.1 Метод последовательного Евклидово деление на 8
  - 2.1.2 Метод последовательного умножения на 8
  - 2.1.3 Метод последовательного дублирования
- 2.2 Восьмеричное преобразование в десятичное
  - 2.2.1 Метод последовательного дублирования
- 2.3 Восьмеричное в двоичное преобразование
- 2.4 Двоичное преобразование в восьмеричное
- 2.5 Восьмеричное преобразование в шестнадцатеричное
- 2.6 Шестнадцатеричное преобразование в восьмеричное
3 Действительные числа
- 3.1 Дроби
- 3.2 Иррациональные числа
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Использование

коренными американцами

Язык юки в Калифорнии и Памейские языки в Мексике имеют восьмеричную систему, потому что говорящие считают, используя пробелы между een их пальцы, а не сами пальцы.

Европейцами

Было высказано предположение, что реконструированное протоиндоевропейское слово для «девяти» могло быть связано со словом PIE для «новых». На основании этого некоторые предположили, что протоиндоевропейцы использовали восьмеричную систему счисления, хотя свидетельств, подтверждающих это, мало.
В 1668 году Джон Уилкинс в Эссе к реальному персонажу, и философский язык предложил использовать основание 8 вместо 10, «потому что способ Дихотомии или Двучастия является наиболее естественным и легким видом деления, это Число способно на это вплоть до Объединения».
В 1716 году король Швеции Карл XII попросил Эмануэля Сведенборга разработать систему счисления на основе 64 вместо 10. Однако Сведенборг утверждал, что для людей с меньшим интеллектом чем король, такая большая база была бы слишком сложной, и вместо этого предложил 8 в качестве базы. В 1718 году Сведенборг написал (но не опубликовал) рукопись: «En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10» («Новая арифметика (или искусство счета), которая изменяется в цифре 8 вместо обычный у № 10 "). Числа 1-7 там обозначаются согласными l, s, n, m, t, f, u (v), а ноль - гласной o. Таким образом, 8 = "lo", 16 = "so", 24 = "no", 64 = "loo", 512 = "looo" и т. Д. Числа с последовательными согласными произносятся с гласными звуками между ними в соответствии со специальным правилом.
В статье The Gentleman's Magazine (Лондон), июль 1745 г., Хью Джонс предложил восьмеричную систему для британских монет, веса и меры. "Принимая во внимание, что разум и удобство указывают нам на единый стандарт для всех величин; который я назову грузинским стандартом; и он состоит только в том, чтобы разделить каждое целое число каждого вида на восемь равных частей, а каждую часть снова на 8 реальных или мнимых частиц, Насколько это необходимо. Ибо хотя все народы повсеместно считают десятками (первоначально это было связано с количеством цифр на обеих руках), тем не менее 8 - гораздо более полное и просторное число, поскольку оно делится на половины, четверти и половинки четвертей. (или единицы) без дроби, из которых десятичное деление невозможно... "В более позднем трактате о вычислении октав (1753) Джонс заключил:" Арифметика Октавы кажется наиболее подходящей для Природы вещей., и поэтому может быть названа естественной арифметикой в отличие от того, что сейчас используется, десятилетиями; которую можно считать искусственной арифметикой ».
В 1801 году Джеймс Андерсон критиковал французов за то, что они основывали метрическая система по десятичной арифметике. Он предложил основание 8, для которого он ввел термин восьмеричный. Его работа была задумана как развлекательная математика, но он предложил чисто восьмеричную систему мер и весов и заметил, что существующая система английских единиц уже была в значительной степени восьмеричной системой.
В середине 19 века Альфред Б. Тейлор пришел к выводу, что «наша восьмеричная система счисления с основанием 8, таким образом, вне всякого сравнения, является« наилучшей из возможных »для арифметической системы». Предложение включало графическое обозначение цифр и новые названия чисел, предлагая считать «un, du, the, fo, pa, se, ki, unty, unty-un, unty-du» и т. Д. с последовательными числами, кратными восьми, которые называются «unty, duty, thety, foty, paty, sety, kity и under». Так, например, число 65 (101 в восьмеричной системе) будет произноситься в восьмеричной системе счисления как under-un. Тейлор также переиздал некоторые из работ Сведенборга по восьмеричной системе в качестве приложения к цитированным выше публикациям.

В компьютерах

Octal стал широко использоваться в вычислениях, когда такие системы, как UNIVAC 1050, PDP-8, ICL 1900 и мэйнфреймы IBM использовали 6-битный, 12-битный, 24-битные или 36-битные слова. Восьмеричный был идеальным сокращением двоичного кода для этих машин, потому что размер их слова делится на три (каждая восьмеричная цифра представляет три двоичных цифры). Таким образом, две, четыре, восемь или двенадцать цифр могут кратко отображать все машинное слово . Это также сокращает расходы, позволяя использовать трубки Никси, семисегментные дисплеи и калькуляторы для консолей оператора, где двоичные дисплеи были слишком сложными для использования., десятичные дисплеи требовали сложного оборудования для преобразования системы счисления, а шестнадцатеричные дисплеи требовали отображения большего количества цифр.

Однако все современные вычислительные платформы используют 16-, 32- или 64-битные слова, которые далее делятся на восьмибитные байты. В таких системах потребуется три восьмеричных цифры на байт, причем наиболее значимая восьмеричная цифра представляет две двоичные цифры (плюс один бит следующего значимого байта, если таковой имеется). Восьмеричное представление 16-битного слова требует 6 цифр, но наиболее значимая восьмеричная цифра представляет (весьма неэлегантно) только один бит (0 или 1). Это представление не дает возможности легко прочитать самый значимый байт, потому что он размазан по четырем восьмеричным цифрам. Таким образом, шестнадцатеричное число более широко используется в языках программирования сегодня, поскольку две шестнадцатеричные цифры точно определяют один байт. На некоторых платформах с размером слова степень двойки все еще есть подслова инструкций, которые легче понять, если они отображаются в восьмеричном формате; это включает семейство PDP-11 и Motorola 68000. Современная повсеместная архитектура x86 также относится к этой категории, но восьмеричное число используется редко на этой платформе, хотя некоторые свойства двоичного кодирования кодов операций становятся более очевидными при отображении в восьмеричном формате, например байт ModRM, который разделен на поля по 2, 3 и 3 бита, поэтому восьмеричные числа могут быть полезны при описании этих кодировок. До появления ассемблеров некоторые программисты вручную кодировали программы в восьмеричном формате; например, Дик Уиппл и Джон Арнольд написали Tiny BASIC Extended непосредственно в машинном коде, используя восьмеричный.

Octal иногда используется в вычислениях вместо шестнадцатеричного, возможно, наиболее часто в наше время в сочетании с правами доступа к файлам в системах Unix (см. chmod ). Его преимущество состоит в том, что он не требует дополнительных символов в виде цифр (шестнадцатеричная система имеет основание 16 и, следовательно, требует шести дополнительных символов помимо 0–9). Он также используется для цифровых дисплеев.

В языках программирования восьмеричные литералы обычно обозначаются множеством префиксов , включая цифру 0, буквы oили q, комбинация цифр и букв 0o, или символ или $. Согласно соглашению Motorola, восьмеричные числа имеют префикс @, тогда как маленькая (или заглавная) буква oили qдобавляется как постфикс следуя соглашению Intel. В Concurrent DOS, Multiuser DOS и REAL / 32, а также в DOS Plus и DR-DOS различные переменные среды, например $ CLS, $ ON, $ OFF, $ HEADER или $ FOOTER поддерживает запись восьмеричных чисел \ nnn, а DR-DOS DEBUG также использует \для префикса восьмеричных чисел.

Например, литерал 73 (с основанием 8) может быть представлен как 073, o73, q73, 0o73, \ 73, @ 73, 73, $ 73или 73oна разных языках.

Новые языки отказались от префикса 0, поскольку десятичные числа часто представляются с начальными нулями. Префикс qбыл введен, чтобы избежать ошибочного приема префикса oза ноль, а префикс 0oбыл введен, чтобы не начинать числовой литерал с буквенного символа. (например, oили q), так как это может привести к путанице литерала с именем переменной. Префикс 0oтакже следует модели, заданной префиксом 0x, используемым для шестнадцатеричных литералов в языке C ; он поддерживается Haskell, OCaml, Python начиная с версии 3.0, Raku, Ruby, Tcl версии 9, и он предназначен для поддержки ECMAScript 6 (префикс 0изначально обозначал базу 8 в JavaScript, но может вызвать путаницу, поэтому в ECMAScript 3 это не рекомендуется, а в ECMAScript 5 это исключено).

Восьмеричные числа, которые используются в некоторых языках программирования (C, Perl, PostScript …) для текстового / графического представления байтовых строк, когда некоторые байтовые значения (не представлены в кодовая страница, не графическая, имеющая особое значение в текущем контексте или иным образом нежелательная) должна быть экранирована как \ nnn. Восьмеричное представление может быть особенно удобно с байтами не-ASCII UTF-8, которые кодируют группы из 6 бит, и где любой начальный байт имеет восьмеричное значение \ 3nn, а любой байт продолжения имеет восьмеричное значение \ 2nn.

Octal также использовалось для с плавающей запятой в Ferranti Atlas (1962), Burroughs B5500 (1964), Burroughs B5700 (1971), Burroughs B6700 (1971) и Burroughs B7700 (1972).

В авиации

Транспондеры в самолетах передают код , выраженный в виде четырехзначного числа, при запросе наземным радаром. Этот код используется для различения разных самолетов на экране радара.

Преобразование между основанием

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Метод последовательного евклидова деления на 8

Чтобы преобразовать целые десятичные числа в восьмеричное, разделите исходное число на максимально возможную степень 8 и разделить остатки на последовательно меньшие степени 8, пока степень не станет 1. Восьмеричное представление формируется частными, записанными в порядке, генерируемом алгоритмом. Например, чтобы преобразовать 125 10 в восьмеричное:

125 = 8 × 1 + 61

61 = 8 × 7 + 5

5 = 8 × 5 + 0

Следовательно, 125 10 = 175 8.

Другой пример:

900 = 8 × 1 + 388

388 = 8 × 6 + 4

4 = 8 × 0 + 4

4 = 8 × 4 + 0

Следовательно, 900 10 = 1604 8.

Метод последовательного умножения на 8

Для преобразования десятичной дроби в восьмеричный, умножить на 8; целая часть результата - это первая цифра восьмеричной дроби. Повторите процесс с дробной частью результата, пока она не станет нулевой или находится в пределах допустимых ошибок.

Пример: преобразование 0,1640625 в восьмеричное:

0,1640625 × 8 = 1,3125 = 1 + 0,3125

0,3125 × 8 = 2,5 = 2 + 0,5

0,5 × 8 = 4,0 = 4 + 0

Следовательно, 0,1640625 10 = 0,124 8.

Эти два метода можно комбинировать для обработки десятичных числа с целой и дробной частями, используя первую для целой части, а вторую - для дробной части.

Метод последовательного дублирования

Чтобы преобразовать целые десятичные числа в восьмеричные, поставьте перед числом "0". Выполните следующие шаги, пока цифры остаются с правой стороны системы счисления: удвойте значение слева от системы счисления, используя восьмеричные правила, переместите точку счисления на одну цифру вправо, а затем поместите удвоенное значение под текущим значение так, чтобы точки системы счисления совпадали. Если перемещенная точка системы счисления пересекает цифру 8 или 9, преобразуйте ее в 0 или 1 и добавьте перенос к следующей левой цифре текущего значения. Добавьте восьмерично эти цифры слева от системы счисления и просто опустите эти цифры вправо без изменений.

Пример:

0,4 9 1 8 десятичное значение +0 --------- 4,9 1 8 +1 0 -------- 6 1,1 8 +1 4 2 -------- 7 5 3.8 +1 7 2 6 -------- 1 1 4 6 6. восьмеричное значение

Восьмеричное преобразование в десятичное

Чтобы преобразовать число k в десятичное, используйте формулу, которая определяет его представление по основанию 8:

k = ∑ i = 0 n (ai × 8 i) {\ displaystyle k = \ sum _ {i = 0} ^ { n} \ left (a_ {i} \ times 8 ^ {i} \ right)}

k = \ sum _ {{i = 0 }} ^ {n} \ left (a_ {i} \ times 8 ^ {i} \ right)

В этой формуле a i - это преобразовываемая отдельная восьмеричная цифра, где i - позиция цифра (считая от 0 до самой правой цифры).

Пример: преобразовать 764 8 в десятичное:

764 8 = 7 × 8 + 6 × 8 + 4 × 8 = 448 + 48 + 4 = 500 10

Для двузначных восьмеричных чисел этот метод сводится к умножению первой цифры на 8 и добавлению второй цифры для получения общей суммы.

Пример: 65 8 = 6 × 8 + 5 = 53 10

Метод последовательного дублирования

Чтобы преобразовать восьмеричные числа в десятичные, добавьте к числу префикс «0. ". Выполните следующие шаги, пока цифры остаются с правой стороны системы счисления: удвойте значение слева от системы счисления, используя десятичные правила, переместите точку счисления на одну цифру вправо, а затем поместите удвоенное значение под текущим значение так, чтобы точки системы счисления совпадали. Вычтите десятичные числа те цифры слева от системы счисления и просто опустите эти цифры вправо без изменений.

Пример:

0,1 1 4 6 6 восьмеричное значение -0 ----------- 1,1 4 6 6-2 ---------- 9,4 6 6 - 1 8 ---------- 7 6,6 6 - 1 5 2 ---------- 6 1 4,6 - 1 2 2 8 --------- - 4 9 1 8. десятичное значение

Восьмеричное преобразование в двоичное

Чтобы преобразовать восьмеричное в двоичное, замените каждую восьмеричную цифру ее двоичным представлением.

Пример: преобразование 51 8 в двоичное:

58= 101 2

18= 001 2

Следовательно, 51 8 = 101001 2.

двоичное в восьмеричное преобразование

Процесс обратный предыдущему алгоритму. Двоичные цифры сгруппированы по тройкам, начиная с младшего разряда и переходя влево и вправо. Добавьте начальные нули (или конечные нули справа от десятичной точки), чтобы заполнить последнюю группу из трех, если необходимо. Затем замените каждое трио эквивалентной восьмеричной цифрой.

Например, преобразовать двоичное 1010111100 в восьмеричное:

001	010	111	100
1	2	7	4

Следовательно, 1010111100 2 = 1274 8.

Преобразование двоичного числа 11100.01001 в восьмеричное:

011	100	.	010	010
3	4	.	2	2

Следовательно, 11100.01001 2 = 34.22 8.

Восьмеричное преобразование в шестнадцатеричное

Преобразование выполняется в два этапа с использованием двоичного кода в качестве промежуточной базы. Восьмеричное число преобразуется в двоичное, а затем двоичное в шестнадцатеричное, цифры группируются по четыре, каждая из которых соответствует шестнадцатеричной цифре.

Например, преобразовать восьмеричное число 1057 в шестнадцатеричное:

в двоичное:

1	0	5	7
001	000	101	111

, затем в шестнадцатеричный:

0010	0010	1111
2	2	F

Следовательно, 1057 8 = 22F 16.

преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

шестнадцатеричное В восьмеричное преобразование сначала преобразуют шестнадцатеричные цифры в 4-битные двоичные значения, а затем перегруппируют двоичные биты в 3-битные восьмеричные цифры.

Например, чтобы преобразовать 3FA5 16:

в двоичное:

3	F	A	5
0011	1111	1010	0101

затем в восьмеричное:

0	011	111	110	100	101
0	3	7	6	4	5

Следовательно, 3FA5 16 = 37645 8.

Вещественные числа

Дроби

Из-за того, что множители только два, многие восьмеричные дроби имеют повторяющиеся цифры, хотя они, как правило, довольно просты:

Десятичное основание. Простое число коэффициенты основания: 2, 5. Простые множители единицы ниже основания: 3. Простые множители единицы над основанием: 11. Другие простые множители: 7 13 17 19 23 29 31			Восьмеричное основание . Простые множители основания: 2. Простые множители единицы ниже основания: 7. Простые множители единицы над основанием: 3. Другие простые множители: 5 13 15 21 23 27 35 37
Дробь	Простые множители. знаменателя	Позиционное представление	Позиционное представление	Простые множители. знаменателя	Дробь
1/2	2	0,5	0,4	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2525... = 0. 25	3	1/3
1/4	2	0,25	0,2	2	1/4
1/5	5	0,2	0.1463	5	1/5
1/6	2, 3	0,1 6	0,1 25	2, 3	1/6
1/7	7	0.142857	0.1	7	1/7
1 / 8	2	0,125	0,1	2	1/10
1/9	3	0.1	0.07	3	1/11
1/10	2, 5	0,1	0,0 6314	2, 5	1/12
1/11	11	0.09	0.0564272135	13	1/13
1/12	2, 3	0,08 3	0,0 52	2, 3	1/14
1/13	13	0.076923	0.0473	15	1/15
1/14	2, 7	0,0 714285	0,0 4	2, 7	1/16
1/15	3, 5	0,0 6	0.0421	3, 5	1/17
1/16	2	0,0625	0,04	2	1/20
1/17	17	0.0588235294117647	0.03607417	21	1/21
1/18	2, 3	0,0 5	0,0 34	2, 3	1/22
1/19	19	0.052631578947368421	0.032745	23	1/23
1/20	2, 5	0,05	0,0 3146	2, 5	1/24
1/21	3, 7	0.047619	0.03	3, 7	1/25
1/22	2, 11	0,0 45	0,0 2721350564	2, 13	1/26
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.02620544131	27	1/27
1/24	2, 3	0,041 6	0,0 25	2, 3	1/30
1/25	5	0,04	0.02436560507534121727	5	1/31
1/26	2, 13	0,0 384615	0,0 2354	2, 15	1/32
1/27	3	0.037	0.022755	3	1 / 33
1/28	2, 7	0,03 571428	0,0 2	2, 7	1/34
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.0215173454106475626043236713	35	1/35
1 / 30	2, 3, 5	0,0 3	0,0 2104	2, 3, 5	1/36
1/31	31	0.032258064516129	0.02041	37	1/37
1/32	2	0,03125	0,02	2	1/40

Иррациональные числа

В таблице ниже приведены расширения некоторых распространенных иррациональных чисел в десятичной и восьмеричной системе.

Число	Позиционное представление
Число	Десятичное	Восьмеричное
√2 (длина диагонали единицы квадрата )	1.414213562373095048...	1,3240 4746 3177 1674...
√3 (длина диагонали единицы куб )	1,732050807568877293...	1,5666 3656 4130 2312...
√5 (длина диагонали прямоугольника 1 × 2 )	2.236067977499789696...	2,1706 7363 3457 7224...
φ (phi, золотое сечение = (1 + √5) / 2)	1.618033988749894848...	1.4743 3571 5627 7512...
π (пи, число отношение окружности к диаметру окружности)	3,141592653589793238462643. 383279502884197169399375105...	3,1103 7552 4210 2643...
e (основание натурального логарифма )	2,718281828459045235...	2,5576 0521 3050 5355...

См. также

Форматы компьютерной нумерации
Восьмеричные игры, система нумерации игр, используемая в комбинаторной теории игр
Split octal, 16-битное восьмеричное представление, используемое Heath Company, DEC и другими.
Squawk code, 12-битное восьмеричное представление кода Гиллхэма
Syllabic octal, восьмеричное представление 8-битные слоги, используемые English Electric

Ссылки

Внешние ссылки

Octomatics - это система счисления, обеспечивающая простые визуальные вычисления в восьмеричном.
Восьмеричный преобразователь выполняет двунаправленное преобразование восьмеричной системы в десятичную.

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100