Войти
Sand Reckoner (Греческий : Ψαμμίτης, Псаммиты) труд Архимеда, древнегреческого математика 3 века до н.э., в котором он намеревался определить верхнюю границу количества песчинок которые вписываются в вселенную. Для этого ему пришлось оценить размер Вселенной в соответствии с современной моделью и изобрести способ говорить об очень больших числах. Труд, также известный на латыни как Archimedis Syracusani Arenarius Dimensio Circuli, в переводе насчитывающий около восьми страниц, адресован сиракузскому царю Гело II (сын Иеро II ) и, вероятно, является наиболее доступным произведением Архимеда; в каком-то смысле это первая исследовательско-пояснительная статья.
| Периоды и порядки с их интервалами в современных обозначениях | |||
|---|---|---|---|
| Период | Порядок | Интервал | log 10 интервала |
| 1 | 1 | (1,], где. единица второго порядка,. Ơ = 10 | (0, 8] |
| 2 | (Ơ, Ơ] | (8, 16] | |
| ·· · | |||
| k | (Ơ, Ơ] | (8k - 8, 8k] | |
| ··· | |||
| Ơ | (Ơ, Ƥ], где. единица второго периода,. Ƥ = Ơ = 10 | (8 × 10 - 8, 8 × 10]. = (799 999 992, 800 000 000] | |
| 2 | 1 | (Ƥ, ƤƠ] | (8 × 10, 8 × (10 + 1)]. = (800 000 000, 800 000 008] |
| 2 | (ƤƠ, ƤƠ] | (8 × (10 + 1), 8 × (10 + 2)] | |
| ··· | |||
| k | (ƤƠ, ƤƠ] | (8 × (10 + k - 1), 8 × (10 + k)] | |
| ··· | |||
| Ơ | (ƤƠ, ƤƠ]. = (ƤƠ, Ƥ] | (8 × (2 × 10 - 1), 8 × (2 × 10)]. = (1,6 × 10 - 8, 1,6 × 10]. = (1 599 999 992, 1 600 000 000] | |
| ··· | |||
| Ơ | 1 | (Ƥ, ƤƠ] | (8 × 10 × (10 - 1),. 8 × (10 × (10 - 1) + 1)]. = ( 79,999,999,200,000,000,. 79,999,999,200,000,008] |
| 2 | (ƤƠ, ƤƠ] | (8 × (10 × (10 - 1) + 1),. 8 × (10 × (10 - 1) + 2)] | |
| ··· | |||
| k | (ƤƠ, ƤƠ] | (8 × (10 × (10 - 1) + k - 1),. 8 × (10 × (10 - 1) + k)] | |
| ··· | |||
| Ơ | (ƤƠ, ƤƠ]. = (ƤƠ, Ƥ] | (8 × (2 × 10 - 1), 8 × ( 2 × 10)]. = (8 × 10 - 8, 8 × 10]. = (79,999,999,999,999,992,. 80,000,000,000,000,000] | |
Во-первых, Архимеду пришлось изобрести систему наименования больших чисел. Система счисления, использовавшаяся в то время, могла выражать числа до мириад (μυριάς - 10 000), и, используя само слово "мириады", можно немедленно расширить это понятие до именования всех чисел вплоть до мириадов мириадов ( 10). Архимед называл числа до 10 «первым порядком», а само 10 называл «единицей второго порядка». Затем множители этой единицы стали вторым порядком, до этой единицы потребовалось мириады раз, 10 · 10 = 10. Это стало «единицей третьего порядка», кратные которой были третьего порядка, и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом до бесчисленного множества раз до единицы 10-го порядка, то есть 
Сделав это, Архимед назвал определенные им приказы «приказами первого периода», и вызвал последний, 
Другой способ описания этого числа - единица, за которой следуют (краткая шкала ) восемьдесят квадриллионов (80 · 10) нулей.
Система Архимеда напоминает позиционную систему счисления с основанием 10, что примечательно тем, что древние греки использовали очень простую систему записи чисел, в которой использовалась 27 различных букв алфавита для единиц с 1 по 9, десятков с 10 по 90 и сотен от 100 до 900.
Архимед также открыл и доказал закон экспонент, 
Затем Архимед оценил верхнюю границу количества песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель из Аристарха Самосского. Оригинальная работа Аристарха утеряна. Однако эта работа Архимеда - одна из немногих сохранившихся ссылок на его теорию, согласно которой Солнце остается неподвижным, в то время как Земля вращается вокруг Солнца. По словам самого Архимеда:
Его [Аристарх] гипотезы состоят в том, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности круга, Солнце находится в середине орбиты и что сфера неподвижных звезд, расположенная примерно в том же центре, что и Солнце, настолько велика, что круг, по которому, по его предположениям, вращается Земля, имеет такую пропорцию к расстоянию между неподвижными звездами, как центр сферы относится к ее
Причина большого размера этой модели в том, что греки не могли наблюдать звездный параллакс с помощью имеющихся методов, что означает, что любой параллакс является чрезвычайно тонким и поэтому звезды должны быть расположены на большие расстояния от Земли (при условии, что гелиоцентризм верно).
Согласно Архимеду, Аристарх не указывал, насколько далеко звезды были от Земли. Поэтому Архимеду пришлось сделать следующие допущения:
Это предположение можно также выразить, сказав, что звездный параллакс, вызванный движением Земли по своей орбите, равен солнечному параллаксу, вызванному движением вокруг Земли. Задайте соотношение:
Чтобы получить верхнюю границу, Архимед сделал следующие предположения относительно своих размеры:
Затем Архимед пришел к выводу, что диаметр Вселенной не превышает 10 стадий (в современных единицах измерения, около 2 световых лет ), и что для этого потребуется не более 10 песчинок, чтобы заполнить его. Таким образом, каждая песчинка в мысленном эксперименте Архимеда имела бы приблизительно 19 мкм (0,019 мм) в диаметре.
Архимед утверждает, что сорок семян мака, положенных рядом, равнялись бы одному греческому дактилю (ширине пальца), который был приблизительно 19 мм. (3/4 дюйма) в длину. Поскольку объем представляет собой куб линейного размера («Поскольку было доказано, что сферы имеют тройное соотношение диаметров друг к другу»), то сфера диаметром в один дактиль будет содержать (используя нашу текущую систему счисления) 40, или 64000 семян мака.
Затем он заявил (без доказательств), что каждое маковое зерно может содержать мириады (10 000) песчинок. Умножив эти две цифры, он предложил 640 000 000 как количество гипотетических песчинок в сфере диаметром в один дактиль.
Чтобы упростить дальнейшие вычисления, он округлил 640 миллионов до одного миллиарда, отметив только, что первое число меньше второго, и, следовательно, количество песчинок, вычисленное впоследствии, будет превышать фактическое количество песчинок. зерна. Напомним, что мета-цель Архимеда в этом эссе заключалась в том, чтобы показать, как вычислять с помощью того, что ранее считалось невероятно большими числами, а не просто точно рассчитать количество песчинок во Вселенной.
Греческий стадион имел длину 600 греческих футов, и каждая ступня была длиной 16 дактилей, так что на стадионе было 9600 дактилей. Архимед округлил это число до 10 000 (бесчисленное множество), чтобы упростить вычисления, еще раз отметив, что полученное число будет превышать реальное количество песчинок.
Куб 10 000 - это триллион (10); и умножение миллиарда (количество песчинок в дактильной сфере) на триллион (количество дактильных сфер в сфере стадиона) дает 10, количество песчинок в сфере стадиона.
Архимед подсчитал, что Вселенная Аристархии имеет диаметр 10 стадий, поэтому во Вселенной должно быть (10) стадионов-сфер, или 10. Умножение 10 на 10 дает 10, количество песчинок. в аристархической вселенной.
Следуя оценке Архимеда о несметном количестве (10 000) песчинок в маковом семени; 64000 семян мака в дактиль-сфере; длина стадиона - 10 000 дактилей; и принимая 19 мм за ширину дактиля, диаметр типичной песчинки Архимеда составил бы 18,3 мкм, что сегодня мы бы назвали зерном ила. В настоящее время самая мелкая песчинка имеет диаметр 50 мкм.
Архимед проделал несколько интересных экспериментов и вычислений на этом пути. Один из экспериментов заключался в оценке углового размера Солнца, видимого с Земли. Метод Архимеда особенно интересен, поскольку он учитывает конечный размер зрачка глаза, и поэтому может быть первым известным примером экспериментирования в психофизике, разделе психологии, имеющем дело с механика человеческого восприятия, развитие которой обычно приписывают Герману фон Гельмгольцу. Другое интересное вычисление учитывает солнечный параллакс и разные расстояния между наблюдателем и Солнцем, независимо от того, просматривается ли он из центра Земли или с поверхности Земли на восходе солнца. Это может быть первое известное вычисление, имеющее дело с солнечным параллаксом.
Есть некоторые, царь Гелон, которые думают, что количество песка бесконечно велико; и я имею в виду под песком не только то, что существует вокруг Сиракуз и остальной части Сицилии, но также и то, что можно найти во всех регионах, будь то населенные или необитаемые. Опять же, есть такие, кто, не считая его бесконечным, все же думает, что не было названо число, которое было бы достаточно большим, чтобы превысить его величину. И ясно, что те, кто придерживается этой точки зрения, если они вообразили массу, состоящую из песка, в других отношениях равную массе Земли, включая в нее все моря и впадины Земли, заполненные до высоты, равной до самой высокой из гор, было бы во много раз дальше от признания того, что можно выразить любое число, превышающее количество взятого таким образом песка.
Но я постараюсь показать вам с помощью геометрических доказательств, которым вы сможете следовать, что из чисел, названных мной и данных в работе, которую я послал Зевксиппу, некоторые превышают не только количество песка, равного по величине Земле, засыпанной описанным способом, но также и массы, равной по величине вселенной.
— Archimedis Syracusani Arenarius Dimensio Circuli
