Научная нотация - это способ выражения числа, которые слишком велики или слишком малы для удобной записи в десятичной форме. В Великобритании это может называться научная форма, стандартная индексная форма или стандартная форма . Эта нотация с десятичным основанием обычно используется учеными, математиками и инженерами, отчасти потому, что она может упростить некоторые арифметические операции. В научных калькуляторах это обычно называется режимом отображения «SCI».
Десятичное представление | Научное представление |
---|---|
2 | 2 × 10 |
300 | 3 × 10 |
4321,768 | 4,321768 × 10 |
-53000 | −5,3 × 10 |
6720000000 | 6,72 × 10 |
0,2 | 2 × 10 |
987 | 9,87 × 10 |
0,00000000751 | 7,51 × 10 |
В экспоненциальной нотации все числа записываются в форме
или m умноженных на десять в степени n, где показатель n - это целое число, а коэффициент m - любое действительное число. Целое число n называется порядком величины, а действительное число m называется мантиссой или мантиссой. Однако термин «мантисса» может вызвать путаницу, поскольку это название дробной части десятичного логарифма. Если значение отрицательное, то перед m стоит знак минус, как в обычной десятичной системе счисления. В нормализованной записи показатель степени выбирается так, чтобы абсолютное значение (модуль) мантиссы m было не менее 1, но меньше 10.
Десятичное число с плавающей запятой это компьютерная арифметическая система, тесно связанная с научным обозначением.
Любое данное действительное число может быть записано в форме m × 10 ^ во многих способами: например, 350 можно записать как 3,5 × 10 или 35 × 10 или 350 × 10.
В нормализованной научной нотации (называемой «стандартной формой» в Великобритании) показатель степени n выбирается таким образом, чтобы абсолютное значение m оставалось не меньше единицы, но меньше десяти (1 ≤ | м | <10). Таким образом, 350 записывается как 3,5 × 10. Эта форма позволяет легко сравнивать числа, так как показатель степени n дает число порядка величины. Это форма, которая требуется при использовании таблиц десятичных логарифмов. В нормализованной записи показатель степени n отрицателен для числа с абсолютным значением от 0 до 1 (например, 0,5 записывается как 5 × 10). 10 и показатель степени часто опускаются, когда показатель степени равен 0.
Нормализованная научная форма - это типичная форма выражения больших чисел во многих полях, за исключением ненормализованной формы, такой как инженерная нотация, желательно. Нормализованная научная нотация часто называется экспоненциальной нотацией - хотя последний термин является более общим и также применяется, когда m не ограничивается диапазоном от 1 до 10 (как, например, в инженерной нотации) и до оснований кроме 10 (например, 3,15 × 2 ^).
Инженерная нотация (часто называемая режимом отображения «ENG» на научных калькуляторах) отличается от нормализованной научной нотации тем, что показатель степени n ограничен кратным из 3 Следовательно, абсолютное значение m находится в диапазоне 1 ≤ | m | < 1000, rather than 1 ≤ |m| < 10. Though similar in concept, engineering notation is rarely called scientific notation. Engineering notation allows the numbers to explicitly match their corresponding Префиксы SI, что облегчает чтение и устное общение. Например, 12,5 × 10 м можно прочитать как «двенадцать целых пять десятых нанометров» и записать как 12,5 нм, в то время как его эквивалент в научной системе обозначений 1,25 × 10 м, вероятно, будет читаться как «одна точка два-пять умножить на десять. -восьмерка-отрицание ».
Значащая цифра - это цифра в числе, повышающая его точность. Сюда входят все ненулевые числа, нули между значащими цифрами и нули , обозначенные как значащие. Начальные и конечные нули не имеют значения, потому что они существуют только для того, чтобы показать масштаб числа. Таким образом, 1230400 обычно имеет пять значащих цифр: 1, 2, 3, 0 и 4; последние два нуля служат только в качестве заполнителей и не добавляют точности к исходному числу.
Когда число преобразуется в нормализованное экспоненциальное представление, оно уменьшается до числа от 1 до 10. Все значащие цифры остаются, но место, содержащее нули, больше не требуется. Таким образом, 1230400 станет 1,2304 × 10. Однако также существует вероятность того, что число может быть известно с точностью до шести или более значащих цифр, и в этом случае число будет показано (например) как 1,23040 × 10. Таким образом, дополнительным преимуществом научного обозначения является более четкое количество значащих цифр.
В научных измерениях принято записывать все точно известные цифры измерений и оценивать по крайней мере одну дополнительную цифру, если есть какая-либо информация доступны, чтобы наблюдатель мог сделать оценку. Результирующее число содержит больше информации, чем было бы без этой дополнительной цифры (ов), и его (или их) можно считать значащей цифрой, потому что оно передает некоторую информацию, ведущую к большей точности измерений и в совокупности измерений (добавляя их или умножая). их вместе).
Дополнительная информация о точности может быть передана с помощью дополнительных обозначений. Часто бывает полезно знать, насколько точны последние цифры. Например, принятое значение единицы элементарного заряда может быть правильно выражено как 1,6021766208 (98) × 10 C, что является сокращением для (1.6021766208 ± 0,0000000098) × 10 C.
Большинство калькуляторов и многие компьютерные программы дают очень большие и очень маленькие результаты в экспоненциальное представление, обычно вызываемое клавишей EXP(для экспоненты), EEX(для ввода экспоненты), EE, EX, Eили × 10в зависимости от поставщика и модель. Поскольку надстрочные экспоненты, такие как 10, не всегда могут быть удобно отображены, буква E (или e) часто используется для обозначения «умножения на десять в степени» (что будет записано как «× 10») и за ним следует значение показателя степени; другими словами, для любых двух действительных чисел m и n использование «mEn» будет указывать на значение m × 10. В этом случае символ e не связан с математической константой e или экспоненциальная функция e (путаница, которая маловероятна, если научная запись представлена заглавной E). Хотя E обозначает показатель степени, это обозначение обычно называют (научным) обозначением E, а не (научным) экспоненциальным обозначением. Использование нотации E облегчает ввод данных и удобочитаемость при текстовом общении, поскольку сводит к минимуму количество нажатий клавиш, позволяет избежать уменьшения размера шрифта и обеспечивает более простое и краткое отображение, но это не рекомендуется в некоторых публикациях.
6.022E23
(или 6.022e23
) эквивалентно 6.022 × 10, и 1.6 × 10 будет записано 1.6E -35
(например, Ada, Analytica, C /C ++, FORTRAN (начиная с FORTRAN II с 1958 года), MATLAB, Scilab, Perl, Java, Python, Lua, JavaScript и др.).6.022 23
, например, в Hewlett-Packard HP-25 ) или пара меньших и немного были использованы повышенные цифры, зарезервированные для экспоненты (например, 6.022
, например, в Commodore PR100 ).6.022 1023
.6.02486 '+ 23
, а некоторые варианты советского Алгола допускали использование кириллического символа «ю », например 6.022ю + 23.6.022E23
, 6.022e23
, 6.022 \ 23
или 6.022 1023
.6,022⏨23
. Он включен как U + 23E8 ⏨ ДЕСЯТИЧНЫЙ ЭКСПОНЕНТНЫЙ СИМВОЛ для использования в языках программирования Algol 60 и Algol 68.6.022 23
(или 6.022 23
).6.022 * ^ 23
(вместо этого E
обозначает математическую константу e ).Научная нотация также позволяет проводить более простые сравнения по порядку величины. Масса протона составляет 0,0000000000000000000000000016726 кг. Если записано как 1,6726 × 10 кг, легче сравнить эту массу с массой электрона, указанной ниже. порядок отношения значений масс может быть получено путем сравнения показателей вместо более подверженной ошибкам задачи подсчета ведущих нулей. В этом случае -27 больше, чем -31, и, следовательно, протон примерно на четыре порядка (в 10 000 раз) массивнее электрона.
Научная нотация также позволяет избежать недоразумений из-за региональных различий в определенных количественных показателях, таких как миллиард, что может означать 10 или 10.
В физике и астрофизике число порядков величины между двумя числами иногда называют «dex», сокращением «десятичной экспоненты» (см. fe Соотношения химического содержания ). Например, если два числа находятся в пределах 1 dex друг от друга, то отношение большего числа к меньшему меньше 10. Могут использоваться дробные значения, поэтому, если в пределах 0,5 dex, отношение меньше 10, и поэтому на.
В нормализованной экспоненциальной записи, в E-записи и в инженерной записи пробел (который в верстке может быть представлен пробелом нормальной ширины или тонким пробелом ), который разрешен только до и после «×» или перед «E», иногда опускается, хотя это не так часто делается перед алфавитным символом.
Преобразование числа в этих случаях означает преобразование числа в научную форму записи, преобразование обратно в десятичную форму или в изменить показательную часть уравнения. Ничто из этого не меняет фактического числа, только то, как оно выражено.
Во-первых, переместите десятичный разделитель на достаточное количество раз, чтобы поместить значение числа в желаемый диапазон, от 1 до 10 для нормализованного представления. Если десятичная дробь была перемещена влево, добавьте × 10
; вправо, × 10
. Чтобы представить число 1,230,400 в нормализованном экспоненциальном представлении, десятичный разделитель будет перемещен на 6 цифр влево и добавлен × 10
, в результате получится 1,2304 × 10. У числа -0,0040321 десятичный разделитель сдвинулся бы на 3 цифры вправо вместо влево и в результате дал бы -4,0321 × 10.
Для преобразования числа из научного представления в десятичное, сначала удалите × 10
в конце, затем сдвиньте десятичный разделитель на n цифр вправо (положительное n) или левое (отрицательное n). Десятичный разделитель числа 1,2304 × 10 сместился бы на 6 цифр вправо и стал бы 1,230,400, а при -4,0321 × 10 его десятичный разделитель сдвинулся бы на 3 цифры влево и составил бы -0,0040321.
Преобразование между различными представлениями одного и того же числа в научной нотации с разными экспоненциальными значениями достигается путем выполнения противоположных операций умножения или деления на степень десяти над мантиссой и вычитания или сложения единицы на показательной части. Десятичный разделитель в мантиссе сдвигается на x разрядов влево (или вправо), а x прибавляется к экспоненте (или вычитается из нее), как показано ниже.
Для двух чисел в экспоненциальном представлении
и
Умножение и деление выполняются с использованием правил для операций с возведением в степень :
и
Вот некоторые примеры:
и
Сложение и вычитание требует числа, которые должны быть представлены с использованием одной и той же экспоненциальной части, так что мантиссу можно просто добавить или вычесть:
Затем добавьте или вычтите значения:
Пример:
В то время как основание десять равно обычно используется для научных обозначений, могут использоваться и степени других оснований, следующая из наиболее часто используемых оснований - 2.
Например, в экспоненциальной системе счисления с основанием 2 число 1001 b в двоичном (= 9 d) записывается как 1.001 b × 2 d или 1,001 b × 10 b с использованием двоичных чисел (или короче 1,001 × 10, если двоичный контекст очевиден). В обозначении E это записывается как 1.001 b E11 b (или короче: 1.001E11) с буквой E, которая теперь обозначает «умножить на два (10 b) к власти »здесь. Чтобы лучше отличить этот показатель с основанием 2 от показателя с основанием 10, показатель с основанием 2 иногда также обозначается буквой B вместо E, сокращенное обозначение, первоначально предложенное Брукхейвенской национальной лабораторией в 1968 году, как в 1.001 b B11 b (или короче: 1.001B11). Для сравнения, то же самое число в десятичном представлении : 1,125 × 2 (с использованием десятичного представления) или 1,125B3 (с использованием десятичного представления). Некоторые калькуляторы используют смешанное представление для двоичных чисел с плавающей запятой, где показатель степени отображается как десятичное число даже в двоичном режиме, поэтому приведенное выше становится 1,001 b × 10 b или короче 1,001B3.
Это тесно связано с представлением с основанием 2 с плавающей запятой, обычно используемым в компьютерной арифметике, и использованием двоичных префиксов МЭК (например, 1B10 для 1 × 2 (киби ), 1B20 для 1 × 2 (меби ), 1B30 для 1 × 2 (гиби ), 1B40 для 1 × 2 (Теби )).
Подобно B (или b), буквы H (или h) и O (или o, или C) иногда также используются для обозначения умножения на 16 или 8 в степени, как в 1,25 = 1,40 h × 10 h = 1,40H0 = 1,40h0, или 98000 = 2,7732 o × 10 o = 2,7732o5 = 2,7732C5.
Еще одно похожее соглашение для обозначения экспонент с основанием 2 - это использование буквы P (или p, для «степени»). В этой нотации значение всегда должно быть шестнадцатеричным, тогда как показатель всегда должен быть десятичным. Эта нотация может быть получена реализациями семейства функций printf в соответствии со спецификацией C99 и (Single Unix Specification ) IEEE Std 1003.1 Стандарт POSIX при использовании спецификаторов преобразования% a или% A. Начиная с C ++ 11, C ++ функции ввода-вывода могут также анализировать и распечатывать P-нотацию. Между тем, эта нотация была полностью принята языковым стандартом начиная с C ++ 17. Apple Swift также поддерживает его. Это также требуется стандартом двоичных чисел с плавающей запятой IEEE 754-2008. Пример: 1.3DEp42 представляет 1.3DE h × 2.
Инженерная нотация может рассматриваться как научная нотация с основанием 1000.
Искать научная нотация в Викисловаре, бесплатный словарь. |