Десятичное представление

редактировать

Выражение каждого действительного числа в виде последовательности цифр

A десятичное представление не- отрицательное вещественное число r - это выражение в форме последовательности из десятичных цифр, традиционно записываемых с одним разделителем

r = bkbk - 1… б 0. a 1 a 2…, {\ displaystyle r = b_ {k} b_ {k-1} \ ldots b_ {0}.a_ {1} a_ {2} \ ldots \,,}

{ \ displaystyle r = b_ {k} b_ {k-1} \ ldots b_ {0}.a_ {1} a_ {2} \ ldots \,,}

где k - a неотрицательное целое число и $b 0,…, bk, a 1, a 2,… {\ displaystyle b_ {0}, \ ldots, b_ {k}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle b_ {0}, \ ldots, b_ {k}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$ - целые числа в диапазоне 0,..., 9, которые называются цифрами представления.

Это выражение представляет бесконечную сумму

r = ∑ i = 0 k b i 10 i + ∑ i = 0 ∞ a i 10 i. {\ displaystyle r = \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} { 10 ^ {i}}}.}

{\ displaystyle r = \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i }} {10 ^ {i}}}.}

Последовательность $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ - цифр после точки - может быть конечной, и в этом случае отсутствующая предполагается, что цифры равны 0.

Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; он имеет два таких представления тогда и только тогда, когда одно имеет конечную бесконечную последовательность нулей, а другое - конечную бесконечную последовательность девяток. Некоторые авторы запрещают десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью девяток, поскольку это допускает взаимно однозначное соответствие между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями.

Целое число $∑ i = 0 kbi 10 i {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i } 10 ^ {i}}$ , обозначаемый 0 в оставшейся части этой статьи, называется целая часть r, а последовательность $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ представляет собой число

0. a 1 a 2… знак равно ∑ я знак равно 0 ∞ ai 10 я, {\ displaystyle 0.a_ {1} a_ {2} \ ldots = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ { i}} {10 ^ {i}}},}

{\ displaystyle 0.a_ {1} a_ {2} \ ldots = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}},}

которая называется дробной частью r.

Содержание

1 Конечные десятичные приближения
2 Неединственность десятичного представления и условные обозначения
3 Конечное десятичное представление
4 Повторяющееся десятичное представление
5 Преобразование в дробь
6 См. также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Конечные десятичные приближения

Любое действительное число может быть аппроксимировано с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечным десятичным представлением.

Предположим, $x ≥ 0 {\ displaystyle x \ geq 0}$ $x \ geq 0$ . Тогда для каждого целого числа $n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ существует конечное десятичное число $r n = a 0. a 1 a 2 ⋯ an {\ displaystyle r_ {n} = a_ {0}.a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}$ $r_ {n} = a_ {0}.a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}$ такой, что

rn ≤ x < r n + 1 10 n. {\displaystyle r_{n}\leq x

{\ displaystyle r_ {n} \ leq x <r_ {n} + {\ frac {1} {10 ^ {n}}}.}

Доказательство :

Пусть $rn = p 10 n {\ displaystyle r_ {n} = \ textstyle {\ frac {p} {10 ^ {n}}}}$ $r_ {n} = \ textstyle {\ frac {p} {10 ^ {n}}}$ , где $p = ⌊ 10 nx ⌋ {\ displaystyle p = \ lfloor 10 ^ {n} x \ rfloor}$ $p = \ lfloor 10 ^ {n} x \ rfloor$ . Тогда $p ≤ 10 n x < p + 1 {\displaystyle p\leq 10^{n}x$ $p \ leq 10 ^ {n} x <p + 1$ , и результат следует из деления всех сторон на $10 n {\ displaystyle 10 ^ {n}}$ $10 ^ {n}$ . (Тот факт, что $rn {\ displaystyle r_ {n}}$ $r_ {n}$ имеет конечное десятичное представление, легко установить.)

Неединственность десятичного представления и условные обозначения

Некоторые действительные числа $x {\ displaystyle x}$ $x$ имеют два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть равно 1.000... как 0,999... (где бесконечные последовательности завершающих нулей или девяток, соответственно, представлены как "..."). Обычно предпочтительным является десятичное представление без завершающих девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении $x {\ displaystyle x}$ $x$ бесконечная последовательность конечных 0, появляющихся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой. если $x {\ displaystyle x}$ $x$ - целое число.

Определенные процедуры построения десятичного разложения $x {\ displaystyle x}$ $x$ позволят избежать проблемы с завершающими девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: Учитывая $x ≥ 0 {\ displaystyle x \ geq 0}$ $x \ geq 0$ , мы сначала определяем $a 0 {\ displaystyle a_ {0 }}$ $a_ {0}$ (целая часть $x {\ displaystyle x}$ $x$ ) как наибольшее целое число, такое что $a 0 ≤ x {\ displaystyle a_ {0} \ leq x}$ ${\ displaystyle a_ {0} \ leq x}$ (т. е. $a 0 = ⌊ x ⌋ {\ displaystyle a_ {0} = \ lfloor x \ rfloor}$ ${\ displaystyle a_ {0} = \ lfloor x \ rfloor}$ ). Если $x = a 0 {\ displaystyle x = a_ {0}}$ ${\ displaystyle x = a_ {0}}$ процедура завершается. В противном случае для $(ai) i = 0 k - 1 {\ textstyle (a_ {i}) _ {i = 0} ^ {k-1}}$ ${\ textstyle (a_ {i}) _ {i = 0} ^ {k-1}}$ уже найдено, мы определяем $ak {\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ индуктивно должно быть наибольшим целым таким, что

$a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + ⋯ + ak 10 k ≤ x. (*) {\ Displaystyle a_ {0} + {\ frac {a_ {1}} {10}} + {\ frac {a_ {2}} {10 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac { a_ {k}} {10 ^ {k}}} \ leq x. \ quad \ quad (*)}$ ${\ displaystyle a_ {0} + {\ frac {a_ {1}) } {10}} + {\ frac {a_ {2}} {10 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k}} {10 ^ {k}}} \ leq x. \ Quad \ quad (*)}$

Процедура завершается всякий раз, когда $ak {\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ найдено так, что равенство выполняется в $(∗) {\ displaystyle (*)}$ $(*)$ ; в противном случае он продолжается бесконечно, давая бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что $x = sup k {∑ i = 0 kai 10 i} {\ textstyle x = \ sup _ {k} \ {\ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ frac { a_ {i}} {10 ^ {i}}} \}}$ ${\ textstyle x = \ sup _ { k} \ {\ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}} \}}$ (обычно записывается как $x = a 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ {\ displaystyle x = a_ {0}.a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$ ${\ displaystyle x = a_ {0}.a_ { 1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$ ), где $a 1, a 2, a 3… ∈ {0, 1, 2,…, 9}, {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ ldots \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \},}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ ldots \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \},}$ и неотрицательное целое число $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ представлен в десятичной системе счисления. Эта конструкция расширяется до $x < 0 {\displaystyle x<0}$ $x <0$ путем применения описанной выше процедуры к $- x>0 {\ displaystyle -x>0}$ $-x>0$ и обозначая результирующее десятичное расширение $- a 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ { \ displaystyle -a_ {0}.a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$ ${\ displaystyle -a_ {0}. a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$ .

Конечное десятичное представление

Десятичное расширение неотрицательного действительного числа x заканчивается нулями ( или девятками) тогда и только тогда, когда x - рациональное число, знаменатель которого имеет форму 25, где m и n - неотрицательные целые числа.

Доказательство :

Если десятичное разложение x закончится нулями, или $x = ∑ я = 0 nai 10 i = ∑ i = 0 n 10 n - iai / 10 n {\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ { i}} {10 ^ {i}}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ {i} / 10 ^ {n}}$ $x = \ sum _ {я = 0 } ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ {i} / 10 ^ {n}$ для некоторого n, тогда знаменатель x имеет вид 10 = 25.

И наоборот, если знаменатель x имеет вид 25, $x = p 2 n 5 m = 2 m 5 np 2 n + m 5 n + m = 2 m 5 np 10 n + m {\ displaystyle x = {\ frac {p} {2 ^ {n} 5 ^ {m}}} = { \ frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {2 ^ {n + m} 5 ^ {n + m}}} = {\ frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} { 10 ^ {n + m}}}}$ $x = {\ frac {p} {2 ^ {n} 5 ^ {m}}} = {\ гидроразрыв {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {2 ^ {n + m} 5 ^ {n + m}}} = {\ frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {10 ^ {п + м}}}$ для некоторого p. Хотя x имеет форму $p 10 k {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {p} {10 ^ {k}}}}$ $\ textstyle {\ frac {p } {10 ^ {k}}}$ , $p = ∑ i = 0 n 10 iai {\ displaystyle p = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {i} a_ {i}}$ $p = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {i} a_ {i}$ для некоторого n. По $Икс = ∑ я знак равно 0 N 10 N - iai / 10 n = ∑ я = 0 nai 10 i {\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ { i} / 10 ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}}}$ $x = \ su m _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ {i} / 10 ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}}$ , x оканчивается на нули.

Повторяющиеся десятичные представления

Некоторые действительные числа имеют десятичные разложения, которые в конечном итоге превращаются в циклы, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

/3= 0,33333...

/7= 0,142857142857...

/185 = 7.1243243243...

Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему является рациональным числом (т.е. может быть альтернативно представлено как отношение целого числа и положительного целое число). Верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Преобразование в дробь

Каждое десятичное представление рационального числа может быть преобразовано в дробь, суммируя целые, неповторяющиеся и повторяющиеся части, как в примере ниже

± 8.123 4567 ¯ = ± (8 + 123 10 3 + 4567 (10 4 - 1) ⋅ 10 3) = ± 8123 (10000 - 1) + 4567 9999000 = ± 20306611 2499750 {\ displaystyle \ pm 8.123 {\ overline {4567}} = \ pm \ left (8 + {\ frac {123} {10 ^ {3}}} + {\ frac {4567} {(10 ^ {4} -1) \ cdot 10 ^ {3}}} \ right) = \ pm {\ frac {8123 \, (10000-1) +4567} {9999000}} = \ pm {\ frac {20306611} {2499750}}}

{\ displaystyle \ pm 8.123 {\ overline {4567}} = \ pm \ left (8 + {\ frac {123} {10 ^ {3}}} + { \ frac {4567} {(10 ^ {4} -1) \ cdot 10 ^ {3}}} \ right) = \ pm {\ frac {8123 \, (10000-1) +4567} {9999000}} = \ pm {\ frac {20306611} {2499750}}}

где показатель степени в знаменателях равен 3 (число неповторяющихся цифр после десятичной точки) и 4 (количество повторяющихся цифр). Если нет повторяющихся цифр, предположим, что существует постоянно повторяющийся 0, то есть $1,9 = 1,9 0 ¯ {\ displaystyle 1.9 = 1.9 {\ overline {0}}}$ ${\ displaystyle 1.9 = 1.9 {\ overline {0}}}$ .

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Эддисон-Уэсли.
Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления». квадиблок. Архивировано из оригинала на 2018-07-16. Проверено 16 июля 2018 г.