Система счисления

редактировать

Числа написаны в разных системах счисления. Эта статья посвящена выражению чисел символами. Чтобы узнать о различных типах чисел, см. Система счисления. Чтобы выразить числа словами, см. Цифры (лингвистика).

Системы счисления
Индусско-арабская система счисления
Западный арабский Восточно-арабский Бенгальский Деванагари Гуджарати Гурмукхи Одиа Сингальский Тамильский Малаялам телугу Каннада Дзонгка тибетский Балийский Бирманский Яванский Кхмерский Лаосский Монгольский Суданский Тайский
Восточная Азия
китайский язык Сучжоу Хоккиен Японский корейский язык вьетнамский Тангутский Счетные стержни
Американец
Чероки Кактовик (инупиак)
По алфавиту
Абджад Армянский Ryabhaa Кириллица Geʽez Грузинский Греческий иврит Роман
Бывший
Эгейское море Чердак Вавилонский Брахми Чувашский Цистерцианец Египтянин Этрусский Глаголица Харости майя Муиска Pentimal Руми Доисторический счет Подсчетные отметки Quipu
Позиционные системы по основанию
2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60
Нестандартные позиционные системы счисления
Биективная нумерация ( 1 ) Знаковое представление ( сбалансированное троичное ) смешанный ( факториал ) отрицательный Комплексно-базовая система ( 2 i ) Нецелое основание счисления ( φ ) Асимметричные системы счисления
Список систем счисления
v т е

Система счисления (или система счисления) - это система письма для выражения чисел; то есть математическое обозначение для представления чисел данного набора с использованием цифр или других символов согласованным образом.

Одна и та же последовательность символов может представлять разные числа в разных системах счисления. Например, «11» представляет собой число одиннадцать в десятичной системе счисления (используется в повседневной жизни), число три в двоичной системе счисления (используется в компьютерах ) и число два в унарной системе счисления (например, используется при подсчете баллов).

Число, которое представляет цифра, называется ее значением. Не все системы счисления могут представлять все числа, которые считаются в наши дни; например, у римских цифр нет нуля.

В идеале система счисления будет:

Представьте полезный набор чисел (например, все целые или рациональные числа )
Дайте каждому числу представленное уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
Отражайте алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Например, обычное десятичное представление дает каждому ненулевая натуральное число единственное представление в виде конечной последовательности из цифр, начиная с ненулевой цифры.

Системы счисления иногда называют системами счисления, но это название неоднозначно, поскольку оно может относиться к различным системам чисел, таким как система действительных чисел, система комплексных чисел, система p -адических чисел и т. Д. однако не являются темой данной статьи.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Основные системы счисления
2 Позиционные системы в деталях
3 Обобщенные целые числа переменной длины
4 См. Также
5 ссылки
6 Источники
7 Внешние ссылки

Основные системы счисления

Основная статья: Список систем счисления

Чаще всего используется десятичная система счисления. Индийским математикам приписывают разработку целочисленной версии, индуистско-арабской системы счисления. Арьябхата из Кусумапура разработал обозначение числовой стоимости в V веке, а столетие спустя Брахмагупта ввел символ нуля. Система медленно распространилась на другие окружающие регионы, такие как Аравия, из-за их коммерческой и военной деятельности с Индией. Математики Ближнего Востока расширили систему, включив в нее отрицательные степени 10 ( дроби ), как записано в трактате сирийского математика Абу-л-Хасана аль-Уклидиси в 952–953 гг., А запись десятичной точки была введена Синдом ибн Али, который также написал самый ранний трактат по арабским цифрам. Затем индуистско-арабская система счисления распространилась в Европе из-за торговли купцами, а цифры, используемые в Европе, называются арабскими цифрами, поскольку они узнали их от арабов.

Простейшая система счисления - это унарная система счисления, в которой каждое натуральное число представлено соответствующим количеством символов. Если, например, выбран символ /, то число семь будет представлено как ///////. Счетные метки представляют собой одну из таких систем, которые все еще широко используются. Унарная система полезна только для небольших чисел, хотя она играет важную роль в теоретической информатике. Гамма-кодирование Элиаса, которое обычно используется при сжатии данных, выражает числа произвольного размера с помощью унарного обозначения длины двоичного числа.

Унарная запись может быть сокращена путем введения различных символов для определенных новых значений. Очень часто это значения степени 10; так, например, если / обозначает единицу, - для десяти и + для 100, то число 304 может быть компактно представлено как +++ ////, а число 123 как + - - /// без необходимости в нуле. Это называется знаковой нотацией. Древняя египетская система счисления принадлежала к этому типу, а римская система счисления была модификацией этой идеи.

Еще более полезными являются системы, в которых используются специальные сокращения для повторения символов; например, используя первые девять букв алфавита для этих сокращений, где A означает «одно вхождение», B «два вхождения» и так далее, можно написать C + D / для числа 304. Эта система используется при написании китайских цифр и других восточноазиатских цифр на основе китайского. Система счисления английского языка относится к этому типу («триста [и] четыре»), как и системы счисления других разговорных языков, независимо от того, какие письменные системы они приняли. Однако во многих языках используются комбинации основ и другие особенности, например 79 во французском - soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9), а в валлийском - pedwar ar bymtheg thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20)) или (несколько архаично) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 - 1). По-английски можно было бы сказать «четыре балла меньше одного», как в знаменитом Геттисбергском обращении, где «87 лет назад» обозначалось как «четыре балла и семь лет назад».

Более элегантной является позиционная система, также известная как обозначение места. Опять же, работая с основанием 10, используются десять разных цифр 0,..., 9, а позиция цифры используется для обозначения степени десяти, на которую должна быть умножена цифра, как в 304 = 3 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1 или, точнее, 3 × 10 ² + 0 × 10 ¹ + 4 × 10 ⁰. Ноль, который не нужен в других системах, имеет здесь решающее значение, чтобы иметь возможность «пропустить» мощность. Индусско-арабская система счисления, которая возникла в Индии и сейчас используется во всем мире, представляет собой позиционную систему с основанием 10.

Арифметика в позиционных системах намного проще, чем в более ранних аддитивных; кроме того, аддитивные системы нуждаются в большом количестве различных символов для различных степеней 10; позиционной системе нужно всего десять различных символов (при условии, что она использует основание 10).

Позиционная десятичная система в настоящее время повсеместно используется в человеческом письме. Основание 1000 также используется (хотя и не повсеместно) путем группирования цифр и рассмотрения последовательности из трех десятичных цифр как одной цифры. Это значение общепринятого обозначения 1 000 234 567, используемого для очень больших чисел.

В компьютерах основные системы счисления основаны на позиционной системе с основанием 2 ( двоичная система счисления ) с двумя двоичными цифрами, 0 и 1. Позиционные системы, полученные путем группировки двоичных цифр по трем ( восьмеричная система счисления ) или четырем ( шестнадцатеричная система счисления). система ). Для очень больших целых чисел используется основание 2 ³² или 2 ⁶⁴ (группировка двоичных цифр по 32 или 64, длина машинного слова ), как, например, в GMP.

В некоторых биологических системах используется унарная система кодирования. Унарные числа, используемые в нейронных цепях, ответственных за воспроизведение пения птиц. Ядром мозга певчих птиц, которое играет роль как в обучении, так и в производстве пения птиц, является HVC ( высокий вокальный центр ). Командные сигналы для разных нот в пении птиц исходят из разных точек HVC. Это кодирование работает как пространственное кодирование, которое является эффективной стратегией для биологических цепей из-за присущей ему простоты и надежности.

Цифры, используемые при написании чисел цифрами или символами, можно разделить на два типа, которые можно назвать арифметическими цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и геометрическими цифрами (1, 10, 100, 1000, 10000...) соответственно. В знаковых системах используются только геометрические числа, а в позиционных системах используются только арифметические числа. Система знаковых значений не нуждается в арифметических числах, потому что они образуются путем повторения (за исключением ионной системы ), а позиционная система не нуждается в геометрических цифрах, потому что они образуются по позиции. Однако в разговорной речи используются как арифметические, так и геометрические числа.

В некоторых областях информатики используется модифицированная позиционная система с основанием k, называемая биективной нумерацией, где цифры 1, 2,..., k ( k ≥ 1) и ноль представлены пустой строкой. Это устанавливает взаимное соответствие между набором всех таких строк цифр и набором неотрицательных целых чисел, избегая неединственности, вызванной ведущими нулями. Биективная система счисления по основанию k также называется k -адической нотацией, не путать с p -адическими числами. Биективное основание 1 такое же, как унарное.

Подробно о позиционных системах

См. Также: Позиционное обозначение

В позиционной базе б системы счисления (с Ь на натуральное число больше 1, известный как поразрядной ), б основных символов (или цифр), соответствующих первому б натуральных чисел, включая нуль используются. Для создания остальных цифр используется положение символа на рисунке. Символ в последней позиции имеет собственное значение, и при движении влево его значение умножается на b.

Например, в десятичной системе счисления (основание 10) число 4327 означает ( 4 × 10 ³) + ( 3 × 10 ²) + ( 2 × 10 ¹) + ( 7 × 10 ⁰), отмечая, что 10 ⁰ = 1..

В общем, если b является основанием, число записывается в системе счисления с основанием b, выражая его в форме a n b ⁿ + a n - 1 b ^{n - 1} + a n - 2 b ^{n - 2} +... + a 0 b ⁰ и записать пронумерованные цифры a n a n - 1 a n - 2... a 0 в порядке убывания. Цифры представляют собой натуральные числа от 0 до b - 1 включительно.

Если текст (например, этот) обсуждает несколько оснований, и если существует двусмысленность, основание (само представленное в базе 10) добавляется в нижнем индексе справа от числа, например: основание числа. Если не указано иное в контексте, числа без нижнего индекса считаются десятичными.

Используя точку для разделения цифр на две группы, можно также записывать дроби в позиционной системе. Например, цифра 10,11 с основанием 2 обозначает 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 1 × 2 ⁻¹ + 1 × 2 ⁻² = 2,75.

В общем, числа в системе с основанием b имеют вид:

{\ displaystyle (a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ {0}.c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ cdots) _ {b} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} b ^ {- k}.}

(a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ {0}.c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ cdots) _ {b} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} b ^ {- k}.

Числа b ^k и b ^{- k} - веса соответствующих цифр. Положение к является логарифмом соответствующего веса ш, т. Наивысшая использованная позиция близка к порядку величины числа. ${\ displaystyle k = \ log _ {b} w = \ log _ {b} b ^ {k}}$ $k = \ log _ {b} w = \ log _ {b} b ^ {k}$

Количество отметок, необходимых в унарной системе счисления для описания веса, было бы w. В позиционной системе количество цифр, необходимых для его описания, равно только для k ≥ 0. Например, для описания веса 1000 необходимы четыре цифры, потому что. Количество цифр необходимо описать положение находится (в положениях 1, 10, 100,... только для простоты в примере десятичного). ${\ Displaystyle к + 1 = \ журнал _ {b} ш + 1}$ ${\ Displaystyle к + 1 = \ журнал _ {b} ш + 1}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} 1000 + 1 = 3 + 1}$ $\ log _ {10} 1000 + 1 = 3 + 1$ ${\ displaystyle \ log _ {b} k + 1 = \ log _ {b} \ log _ {b} w + 1}$ $\ log _ {b} k + 1 = \ log _ {b} \ log _ {b} w + 1$

{\ displaystyle {\ begin {array} {l | rrrrrrr} {\ text {Position}} amp; 3 amp; 2 amp; 1 amp; 0 amp; -1 amp; -2 amp; \ cdots \\\ hline {\ text {Weight}} amp; b ^ {3} amp; b ^ {2} amp; b ^ {1} amp; b ^ {0} amp; b ^ {- 1} amp; b ^ {- 2} amp; \ cdots \\ {\ text {Digit}} amp; a_ {3} amp; a_ {2} amp; a_ {1} amp; a_ {0} amp; c_ {1} amp; c_ {2} amp; \ cdots \\\ hline {\ text {Десятичный вес примера}} amp; 1000 amp; 100 amp; 10 amp; 1 amp; 0.1 amp; 0.01 amp; \ cdots \\ {\ text {Пример десятичной цифры}} amp; 4 amp; 3 amp; 2 amp; 7 amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \ end {array}} }

{\ displaystyle {\ begin {array} {l | rrrrrrr} {\ text {Position}} amp; 3 amp; 2 amp; 1 amp; 0 amp; -1 amp; -2 amp; \ cdots \\\ hline {\ text {Weight}} amp; b ^ {3} amp; b ^ {2} amp; b ^ {1} amp; b ^ {0} amp; b ^ {- 1} amp; b ^ {- 2} amp; \ cdots \\ {\ text {Digit}} amp; a_ {3} amp; a_ {2} amp; a_ {1} amp; a_ {0} amp; c_ {1} amp; c_ {2} amp; \ cdots \\\ hline {\ text {Десятичный вес примера}} amp; 1000 amp; 100 amp; 10 amp; 1 amp; 0.1 amp; 0.01 amp; \ cdots \\ {\ text {Пример десятичной цифры}} amp; 4 amp; 3 amp; 2 amp; 7 amp; 0 amp; 0 amp; \ cdots \ end {array}} }

Число имеет завершающее или повторяющееся расширение тогда и только тогда, когда оно рационально ; это не зависит от базы. Число, оканчивающееся на одной базе, может повторяться в другой (таким образом, 0,3 10 = 0,0100110011001... 2). Иррациональное число остается апериодическим (с бесконечным числом неповторяющихся цифр) во всех целочисленных основаниях. Таким образом, например, по основанию 2 π = 3,1415926... 10 может быть записано как апериодическое число 11,001001000011111... 2.

Полагая overscores, п, или точки, N, выше общих цифр соглашение используется для представления повторяющихся рациональные разложения. Таким образом:

14/11 = 1,272727272727... = 1. 27 или +321,3217878787878... = 321,321 78.

Если b = p - простое число, можно определить числа с основанием p, расширение которых влево никогда не прекращается; они называются p -адическими числами.

Обобщенные целые числа переменной длины

Более общим является использование смешанной системы счисления (здесь написано с прямым порядком байтов ), например для и т. Д. ${\ Displaystyle а_ {0} а_ {1} а_ {2}}$ $а_ {0} а_ {1} а_ {2}$ ${\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {1} b_ {2}}$ $a_ {0} + a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {1} b_ {2}$

Это используется в punycode, одним из аспектов которого является представление последовательности неотрицательных целых чисел произвольного размера в виде последовательности без разделителей, «цифр» из набора 36: a – z и 0–9, представляющие 0–25 и 26–35 соответственно. Цифра ниже порогового значения означает, что это самая старшая цифра, следовательно, конец числа. Пороговое значение зависит от позиции в номере. Например, если пороговое значение для первой цифры равно b (т.е. 1), то a (т.е. 0) отмечает конец числа (у него только одна цифра), поэтому в числах, состоящих из более чем одной цифры, диапазон составляет только b –9 (1–35), поэтому вес b 1 равен 35 вместо 36. Предположим, что пороговые значения для второй и третьей цифр равны c (2), тогда третья цифра имеет вес 35 b 2, определяемый из

${\ displaystyle (99b) _ {pc} + 1 = 35 + 35b_ {1} + b_ {1} b_ {2} + 1 = (bcca) _ {pc} = 1 + 2b_ {1} + 2b_ {1} b_ {2} \ поэтому b_ {2} = 1 + 35-2 = 34, \ b_ {1} b_ {2} = 1190 {\ text {,}}}$ ${\ displaystyle (99b) _ {pc} + 1 = 35 + 35b_ {1} + b_ {1} b_ {2} + 1 = (bcca) _ {pc} = 1 + 2b_ {1} + 2b_ {1} b_ {2} \ поэтому b_ {2} = 1 + 35-2 = 34, \ b_ {1} b_ {2} = 1190 {\ text {,}}}$

с нижним индексом pc, относящимся к описанному коду, и мы имеем следующую последовательность:

a (0), ba (1), ca (2),.., 9a (35), bb (36), cb (37),.., 9b (70), bca (71),.., 99a (1260), bcb (1261),.., 99b (2450).

В отличие от обычной системы счисления, здесь есть числа вроде 9b, где 9 и b представляют собой 35; тем не менее, представление уникально, потому что ac и aca не допускаются - первое a завершит число.

В более общем смысле, если t n является порогом для n -ой цифры, это легко показать. ${\ displaystyle b_ {n + 1} = 36-t_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n + 1} = 36-t_ {n}}$

Гибкость в выборе пороговых значений позволяет проводить оптимизацию в зависимости от частоты появления чисел различного размера.

Случай, когда все пороговые значения равны 1, соответствует биективной нумерации, где нули соответствуют разделителям чисел с ненулевыми цифрами.

Смотрите также

0,999... - каждый ненулевой завершающий десятичный разделитель имеет два равных представления

использованная литература

^ Дэвид Юджин Смит; Луи Чарльз Карпински (1911). Индусско-арабские цифры. Джинн и компания.
^ Чоудхури, Арнаб. Разработка эффективного умножителя с использованием DBNS. Журналы ГИАП. ISBN 978-93-83006-18-2.
^ Fiete, IR; Сын, HS (2007). «Нейросетевые модели производства, обучения и кодирования птичьего пения». In Squire, L.; Олбрайт, Т.; Блум, Ф.; Gage, F.; Спитцер, Н. Новая энциклопедия неврологии.

Источники

Жорж Ифра. Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3.
Д. Кнут. Искусство программирования. Том 2, 3-е изд. Аддисон-Уэсли. С. 194–213, «Позиционные системы счисления».
А.Л. Кребер (Альфред Луи Кребер) (1876–1960), Справочник индейцев Калифорнии, Бюллетень 78 Бюро американской этнологии Смитсоновского института (1919)
Дж. П. Мэллори и Д. К. Адамс, Энциклопедия индоевропейской культуры, издательство Fitzroy Dearborn Publishers, Лондон и Чикаго, 1997.
Ханс Дж. Ниссен; Питер Дамеров; Роберт К. Инглунд (1993). Архаическая бухгалтерия: раннее письмо и методы экономического управления на древнем Ближнем Востоке. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-58659-5.
Шмандт-Бессера, Дениз (1996). Как возникла письменность. Техасский университет Press. ISBN 978-0-292-77704-0.
Заславский, Клавдия (1999). Африка имеет значение: количество и образец в африканских культурах. Чикаго Ревью Пресс. ISBN 978-1-55652-350-2.

внешние ссылки

СМИ, связанные с системами счисления на Викискладе?