Войти
Последняя теорема Ферма - это теорема теории чисел, первоначально сформулированная Пьером де Ферма в 1637 году и доказанная Эндрю Уайлсом в 1995 году. В формулировке теоремы используется целочисленный показатель n, превышающий 2. В столетия после первоначальной формулировки результата и перед его общим доказательством были разработаны различные доказательства для конкретных значений показателя n. Некоторые из этих доказательств описаны ниже, включая доказательство Ферма для случая n = 4, которое является ранним примером метода бесконечного спуска.
Последняя теорема Ферма утверждает, что никакие три натуральных числа ( a, b, c) не могут удовлетворять уравнению a n + b n = c n для любого целого значения n больше двух. (Для n, равного 1, уравнение является линейным уравнением и имеет решение для всех возможных a, b. Для n, равного 2, уравнение имеет бесконечно много решений, троек Пифагора. )
Решение ( a, b, c) для данного n приводит к решению для всех факторов n: если h является фактором n, то существует целое число g такое, что n = gh. Тогда ( a g, b g, c g) является решением для показателя h:
Поэтому, чтобы доказать, что уравнение Ферма не имеет ни одного решения для п gt; 2, достаточно, чтобы доказать, что он не имеет решений для п = 4 и для всех простых нечетных р.
Для любого такого нечетного показателя p каждое положительное целочисленное решение уравнения a p + b p = c p соответствует общему целочисленному решению уравнения a p + b p + c p = 0. Например, если (3, 5, 8) решает первое уравнение, затем (3, 5, −8) решает второе. И наоборот, любое решение второго уравнения соответствует решению первого. Второе уравнение иногда полезно, потому что оно делает симметрию между тремя переменными a, b и c более очевидной.
Если два из трех чисел ( a, b, c) можно разделить на четвертое число d, то все три числа делятся на d. Например, если a и c делятся на d = 13, то b также делится на 13. Это следует из уравнения
Если правая часть уравнения делится на 13, то левая сторона также делится на 13. Пусть г представляют собой наибольший общий делитель в виде, б, и с. Тогда ( a, b, c) можно записать как a = gx, b = gy и c = gz, где три числа ( x, y, z) попарно взаимно просты. Другими словами, наибольший общий делитель (НОД) каждой пары равен одному
Если ( a, b, c) является решением уравнения Ферма, то также и ( x, y, z), поскольку уравнение
следует уравнение
Попарно взаимно простое решение ( x, y, z) называется примитивным решением. Поскольку каждое решение уравнения Ферма может быть сведено к примитивному решению путем деления на их наибольший общий делитель g, Великую теорему Ферма можно доказать, продемонстрировав, что примитивных решений не существует.
Целые числа можно разделить на четные и нечетные, на те, которые без остатка делятся на два, и на те, которые не делятся на два. Четные целые числа - это...− 4, −2, 0, 2, 4, а нечетные целые числа - это −3, −1, 1, 3,... Свойство того, является ли целое число четным (или нет), известный как его паритет. Если два числа четные или оба нечетные, они имеют одинаковую четность. Напротив, если один четный, а другой нечетный, у них разная четность.
Сложение, вычитание и умножение четных и нечетных целых чисел подчиняются простым правилам. Сложение или вычитание двух четных чисел или двух нечетных чисел всегда дает четное число, например, 4 + 6 = 10 и 3 + 5 = 8. И наоборот, сложение или вычитание нечетного и четного числа всегда является нечетным, например, 3 + 8 = 11. Умножение двух нечетных чисел всегда нечетное, но умножение четного числа на любое число всегда четное. Нечетное число в степени всегда нечетное, а четное число в степени всегда четное.
В любом примитивном решении ( x, y, z) уравнения x n + y n = z n одно число четное, а два других нечетные. Все они не могут быть равными, иначе они не были бы взаимно простыми; их всех можно было разделить на двоих. Однако все они не могут быть нечетными, поскольку сумма двух нечетных чисел x n + y n никогда не является нечетным числом z n. Следовательно, хотя бы одно число должно быть четным и хотя бы одно число должно быть нечетным. Отсюда следует, что третье число тоже нечетное, потому что сумма четного и нечетного числа сама по себе нечетная.
Основная теорема арифметики состояний, что любое натуральное число может быть записано только один путь (однозначно) как произведение простых чисел. Например, 42 равно произведению простых чисел 2 × 3 × 7, и никакое другое произведение простых чисел не равно 42, за исключением тривиальных перестановок, таких как 7 × 3 × 2. Это уникальное свойство факторизации является основой, на которой строится большая часть теории чисел.
Одним из следствий этого уникального свойства факторизации является то, что если p- я степень числа равна произведению, например
и если u и v взаимно просты (не имеют общих делителей), то u и v сами являются p- й степенью двух других чисел, u = r p и v = s p.
Однако, как описано ниже, в некоторых системах счисления нет уникальной факторизации. Этот факт привел к провалу общего доказательства Великой теоремы Ферма, проведенного Ламе в 1847 году.
Со времен Софи Жермен Великая теорема Ферма была разделена на два случая, которые доказываются отдельно. Первый случай (случай I) - показать, что не существует примитивных решений ( x, y, z) уравнения x p + y p = z p при условии, что p не делит произведение xyz. Второй случай (случай II) соответствует условию, что p действительно делит произведение xyz. Поскольку x, y и z попарно взаимно просты, p делит только одно из трех чисел.
Портрет Пьера де Ферма. Сохранилось только одно математическое доказательство Ферма, в котором Ферма использует технику бесконечного спуска, чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может равняться квадрату целого числа. Этот результат известен как теорема Ферма о прямоугольном треугольнике. Как показано ниже, его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение
не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, этого достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма для случая n = 4, поскольку уравнение a 4 + b 4 = c 4 можно записать как c 4 - b 4 = ( a 2) 2. Альтернативные доказательства случая n = 4 были разработаны позже Френклем де Бесси, Эйлером, Кауслером, Барлоу, Лежандром, Шописом, Теркемом, Бертраном, Лебегом, Пепином, Тафельмахером, Гильбертом, Бендцем, Гамбиоли, Кронекером, Бангом, Соммером, Боттари, Рычлик, Нутцхорн, Кармайкл, Хэнкок, Вринчану, Грант и Перелла, Барбара и Долан. Для одного доказательства бесконечным спуском см. Бесконечный спуск # Неразрешимость r 2 + s 4 = t 4.
Доказательство Ферма показывает, что ни один прямоугольный треугольник с целыми сторонами не может иметь площадь, равную квадрату. Пусть прямоугольный треугольник имеет стороны ( u, v, w), площадь которых равнаУФ/2и, в силу теоремы Пифагора, U 2 + v 2 = ш 2. Если бы площадь была равна квадрату целого числа s
давая
Добавление u 2 + v 2 = w 2 к этим уравнениям дает
что может быть выражено как
Умножение этих уравнений вместе дает
Но, как доказал Ферма, не может быть целочисленного решения уравнения
из которых это частный случай с z = ( u 2 - v 2), x = w и y = 2 s.
Первый шаг доказательства Ферма - разложить левую часть на множители
Поскольку x и y взаимно просты (это можно предположить, потому что в противном случае множители можно было бы сократить), наибольший общий делитель x 2 + y 2 и x 2 - y 2 равен либо 2 (случай A), либо 1 (случай B). Теорема доказывается отдельно для этих двух случаев.
В этом случае и x, и y нечетные, а z четные. Поскольку ( y 2, z, x 2) образуют примитивную пифагорову тройку, их можно записать
где d и e взаимно просты и d gt; e gt; 0. Таким образом,
который дает другое решение ( d, e, xy), которое меньше (0 lt; d lt; x). Как и раньше, должна быть нижняя граница размера решений, в то время как этот аргумент всегда дает меньшее решение, чем любое заданное, и, таким образом, исходное решение невозможно.
В этом случае два фактора взаимно просты. Поскольку их произведение представляет собой квадрат z 2, каждый из них должен быть квадратом.
Числа s и t оба нечетные, так как s 2 + t 2 = 2 x 2, четное число, и поскольку x и y не могут быть четными одновременно. Следовательно, сумма и разность s и t также являются четными числами, поэтому мы определяем целые числа u и v как
Поскольку s и t взаимно просты, u и v также взаимно просты ; только один из них может быть четным. Поскольку y 2 = 2 uv, ровно один из них четный. Для иллюстрации пусть u будет четным; тогда числа можно записать как u = 2 m 2 и v = k 2. Поскольку ( u, v, x) образуют примитивную пифагорову тройку
они могут быть выражены через меньшие целые числа d и e, используя формулу Евклида
Поскольку u = 2 m 2 = 2 de и поскольку d и e взаимно просты, они сами должны быть квадратами, d = g 2 и e = h 2. Это дает уравнение
Решение ( g, h, k) является другим решением исходного уравнения, но меньшего размера (0 lt; g lt; d lt; x). Применение той же процедуры к ( g, h, k) даст другое решение, еще меньшего размера и т. Д. Но это невозможно, поскольку натуральные числа нельзя бесконечно сокращать. Следовательно, исходное решение ( x, y, z) было невозможно.
Леонард Эйлер по Джакоб Эмануэль Хандманн. Ферма послал письма, в которых он упомянул случай, когда n = 3 в 1636, 1640 и 1657 году. Эйлер послал письмо, в котором он представил доказательство случая, в котором n = 3, Гольдбаху 4 августа 1753 года. Эйлер имел полное и чистое элементарное доказательство в 1760. случай п = 3 было доказано Эйлера в 1770 независимых доказательств были опубликованы несколько других математиков, в том числе Kausler, Лежандра, Calzolari, Ламе, Тэт, Гюнтер, Gambioli, Krey, Rychlík, Stockhaus, Кармайкл, ван дер Корпут, Туэ и Дуарте.
| Дата | результат / доказательство | опубликовано / не опубликовано | Работа | имя |
|---|---|---|---|---|
| 1621 | никто | опубликовано | Латинская версия Диофант «S Arithmetica | Баше |
| около 1630 г. | только результат | не опубликовано | примечание на полях в Арифметике | Ферма |
| 1636, 1640, 1657 | только результат | опубликовано | буквы n = 3 | Ферма |
| 1670 | только результат | опубликовано | примечание на полях в Арифметике | Сын Ферма Самуэль опубликовал « Арифметику» с примечанием Ферма. |
| 4 августа 1753 г. | только результат | опубликовано | письмо к Гольдбаху | Эйлер |
| 1760 | доказательство | не опубликовано | полное и чистое элементарное доказательство | Эйлер |
| 1770 | доказательство | опубликовано | неполное, но элегантное доказательство в Elements of Algebra | Эйлер |
Как и Ферма для случая n = 4, Эйлер использовал технику бесконечного спуска. Доказательство предполагает решение ( x, y, z) уравнения x 3 + y 3 + z 3 = 0, где три ненулевых целых числа x, y и z попарно взаимно просты и не все положительны. Один из трех должен быть четным, а два других - нечетными. Без ограничения общности z можно считать четным.
Поскольку x и y нечетные, они не могут быть равны. Если x = y, то 2 x 3 = - z 3, откуда следует, что x четно; противоречие.
Поскольку x и y нечетные, их сумма и разность - четные числа.
где ненулевые целые числа u и v взаимно просты и имеют разную четность (одно четное, другое нечетное). Поскольку x = u + v и y = u - v, отсюда следует, что
Поскольку u и v имеют противоположную четность, u 2 + 3 v 2 всегда является нечетным числом. Следовательно, поскольку z четно, u четно, а v нечетно. Поскольку u и v взаимно просты, наибольший общий делитель 2 u и u 2 + 3 v 2 равен либо 1 (случай A), либо 3 (случай B).
В этом случае два множителя - z 3 взаимно просты. Это означает, что три не делит u и что два множителя представляют собой кубы двух меньших чисел, r и s.
Поскольку u 2 + 3 v 2 нечетно, s тоже. Важная лемма показывает, что если s нечетно и удовлетворяет уравнению s 3 = u 2 + 3 v 2, то его можно записать в терминах двух целых чисел e и f
так что
u и v взаимно просты, поэтому e и f также должны быть взаимно просты. Поскольку u четно, а v нечетно, e четно, а f нечетно. С
Множители 2 e, ( e –3 f) и ( e +3 f) взаимно просты, поскольку 3 не может делить e: если бы e делилось на 3, то 3 делило бы u, нарушая обозначение u и v как взаимно простых. Поскольку три множителя в правой части взаимно просты, они должны по отдельности равняться кубам меньших целых чисел.
что дает меньшее решение k 3 + l 3 + m 3 = 0. Следовательно, по аргументу бесконечного спуска исходное решение ( x, y, z) было невозможно.
В этом случае наибольший общий делитель 2 u и u 2 + 3 v 2 равен 3. Это означает, что 3 делит u, и можно выразить u = 3 w через меньшее целое число w. Так как u делится на 4, то и w делится ; следовательно, w также четно. Поскольку u и v взаимно просты, v и w взаимно просты. Следовательно, ни 3, ни 4 не делят v.
Подставляя u на w в уравнение для z 3, получаем
Поскольку v и w взаимно просты и 3 не делит v, то 18 w и 3 w 2 + v 2 также взаимно просты. Следовательно, поскольку их продукт является кубом, каждый из них является кубом меньших целых чисел, r и s.
По лемме выше, поскольку s нечетно и его куб равен числу в форме 3 w 2 + v 2, его также можно выразить через меньшие взаимно простые числа e и f.
Краткий расчет показывает, что
Таким образом, e нечетно, а f четно, потому что v нечетно. Тогда выражение для 18 w принимает вид
Поскольку 3 3 делит r 3, мы получаем, что 3 делит r, поэтому ( r / 3) 3 является целым числом, равным 2 f ( e + f) ( e - f). Поскольку e и f взаимно просты, то же самое можно сказать о трех множителях 2 f, e + f и e - f ; следовательно, каждый из них является кубом меньших целых чисел, k, l и m.
что дает меньшее решение k 3 + l 3 + m 3 = 0. Следовательно, по аргументу бесконечного спуска исходное решение ( x, y, z) было невозможно.
Портрет Петра Густава Лежена Дирихле. 
Карикатура на Адриана-Мари Лежандра (единственный сохранившийся его портрет). Последняя теорема Ферма для n = 5 утверждает, что никакие три взаимно простых целых числа x, y и z не могут удовлетворять уравнению
Это было доказано ни самостоятельно, ни совместно с Дирихле и Лежандра около 1825. Альтернативные доказательства были разработаны Гаусс, Лебегом, Ламэ, Gambioli, Werebrusow, Rychlik, ван - дер - Корпута и Terjanian.
Доказательство Дирихле для n = 5 разделено на два случая (случаи I и II), определенные Софи Жермен. В случае I показатель 5 не делит произведение xyz. В случае II 5 делит xyz.
| Дата | случай I / II | дело II (i / ii) | имя |
|---|---|---|---|
| 1823 г. | случай I | Софи Жермен | |
| Июль 1825 г. | случай II | дело II (i) | Дирихле |
| Сентябрь 1825 г. | дело II (ii) | Legendre | |
| после сентября 1825 г. | Дирихле | ||
Случай A для n = 5 может быть немедленно доказан теоремой Софи Жермен, если вспомогательное простое число θ = 11. Более методическое доказательство состоит в следующем. По малой теоремы Ферма,
и поэтому
Это уравнение заставляет два из трех чисел x, y и z быть эквивалентными по модулю 5, что можно увидеть следующим образом: поскольку они неделимы на 5, x, y и z не могут равняться 0 по модулю 5 и должны равняться одному из четыре возможности: ± 1 или ± 2. Если бы все они были разными, два были бы противоположностями, и их сумма по модулю 5 была бы равна нулю (что подразумевает вопреки предположению этого случая, что другой будет 0 по модулю 5).
Без ограничения общности, x и y можно обозначить как два эквивалентных числа по модулю 5. Из этой эквивалентности следует, что
Однако из уравнения x ≡ y (mod 5) также следует, что
Объединение двух результатов и деление обеих частей на x 5 приводит к противоречию.
Таким образом, случай A для n = 5 доказан.
Случай n = 7 был доказан Габриэлем Ламе в 1839 году. Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 году Виктором-Амеде Лебегом, а еще более простые доказательства были опубликованы Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 годах. Альтернативные доказательства были разработаны Теофилем Пепеном. и Эдмон Майе.
Последняя теорема Ферма также была доказана для показателей n = 6, 10 и 14. Доказательства для n = 6 были опубликованы Кауслером, Туэ, Тафельмахером, Линдом, Капферером, Свифтом и Бреушем. Аналогичным образом, Дирихле и Терджанян доказали случай n = 14, а Капферер и Бреуш доказали случай n = 10. Строго говоря, в этих доказательствах нет необходимости, поскольку эти случаи следуют из доказательств для n = 3, 5 и 7, соответственно. Тем не менее, рассуждение этих доказательств четной экспоненты отличается от их аналогов для нечетной экспоненты. Доказательство Дирихле для n = 14 было опубликовано в 1832 году, до доказательства Ламе 1839 года для n = 7.
