Номер такси

В анекдоте от Г. Х. Харди, больной Шриниваса Рамануджан (рисунок) развил идею номеров такси.

В математике n-й номер такси, обычно обозначаемый Ta (n) или Taxicab (n), также называемый n-м числом Харди – Рамануджана, определяется как наименьшее целое число, которое может быть выражено как сумма двух положительных целочисленных кубов различными способами. Самый известный номер такси: 1729 = Ta (2) = 1 + 12 = 9 + 10.

Название произошло из беседы примерно 1919 года с участием математиков Г. Х. Харди и Шриниваса Рамануджан. Как сказал Харди:

Я помню, как однажды я пошел к нему [Рамануджану], когда он лежал больным в Патни. Я ехал в такси № 1729 и заметил, что номер кажется довольно скучным, и что я надеюсь, что это не плохой знак. «Нет, - ответил он, - это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух [положительных] кубиков двумя разными способами».

• 1 История и определение
• 2 Известные номера такси
• 3 Верхние границы номеров такси
• 4 Номера такси Cubefree
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Впервые эта концепция была упомянута в 1657 году Бернаром Френиклем де Бесси, который опубликовал число Харди – Рамануджана Ta (2) = 1729. Этот конкретный пример 1729 года стал известен в начале 20 века. рассказом о Шринивасе Рамануджане. В 1938 г. Г. Х. Харди и Э. М. Райт доказал, что такие числа существуют для всех положительных целых n, и их доказательство легко превращается в программу для генерации таких чисел. Однако доказательство не делает никаких заявлений о том, являются ли сгенерированные таким образом числа минимально возможными, и, следовательно, его нельзя использовать для нахождения фактического значения Ta (n).

Номера такси после 1729 года были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получил Ta (3) в 1957 году. Э. Розенштиль, Дж. А. Дардис и CR Rosenstiel обнаружили Ta ​​(4) в 1989 году. Дж. А. Дардис обнаружил Ta (5) в 1994 году, и это было подтверждено Дэвидом В. Wilson в 1999 году. Ta (6) был объявлен Уве Холлербахом в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 года после публикации Calude et al. что давало 99% -ную вероятность того, что число действительно было Ta (6). Верхние границы для Ta (7) - Ta (12) были найдены Кристианом Бойером в 2006 году.

Ограничение слагаемых положительными числами необходимо, поскольку разрешение отрицательных чисел позволяет получить больше (и меньшие) экземпляры чисел, которые могут быть выражены как суммы кубов n различными способами. Понятие номера такси было введено, чтобы учесть альтернативные, менее строгие определения такого рода. В некотором смысле указание двух слагаемых и степеней трех также является ограничительным; обобщенный номер такси позволяет этим значениям быть отличными от двух и трех соответственно.

На данный момент известны следующие 6 номеров такси:

$Ta\; \; (1)\; =\; 2\; =\; 1\; 3\; +\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\; \}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (1)\; =\; 2\; =\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$Ta\; \; (2)\; =\; 1729\; =\; 1\; 3\; +\; 12\; 3\; =\; 9\; 3\; +\; 10\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (2)\; =\; 1729\; =\; 1\; ^\; \{3\}\; +\; 12\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 9\; ^\; \{3\}\; +\; 10\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$Ta\; \; (3)\; =\; 87539319\; =\; 167\; 3\; +\; 436\; 3\; =\; 228\; 3\; +\; 423\; 3\; =\; 255\; 3\; +\; 414\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (3)\; =\; 87539319\; =\; 167\; ^\; \{3\}\; +\; 436\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 228\; ^\; \{3\}\; +\; 423\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 255\; ^\; \{3\}\; +\; 414\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

$Ta\; \; (4)\; =\; 6963472309248\; =\; 2421\; 3\; +\; 19083\; 3\; =\; 5436\; 3\; +\; 18948\; 3\; =\; 10200\; 3\; +\; 18072\; 3\; =\; 13322\; 3\; +\; 16630\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (\; 4)\; =\; 6963472309248\; =\; 2421\; ^\; \{3\}\; +\; 19083\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 5436\; ^\; \{3\}\; +\; 18948\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 10200\; ^\; \{3\}\; +\; 18072\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 13322\; ^\; \{3\}\; +\; 16630\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$Ta\; \; (5)\; =\; 48988659276962496\; =\; 38787\; 3\; +\; 365757\; 3\; =\; 107839\; 3\; +\; 362753\; 3\; =\; 205292\; 3\; +\; 342952\; 3\; =\; 221424\; 3\; +\; 336588\; 3\; =\; 231518\; 3\; +\; 331954\; 3\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (5)\; =\; 48988659276962496\; =\; 38787\; ^\; \{3\}\; +\; 365757\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 107839\; ^\; \{3\}\; +\; 362753\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 205292\; ^\; \{3\}\; +\; 342952\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 221424\; ^\; \{3\}\; +\; 336588\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 231518\; ^\; \{3\}\; +\; 331954\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$Ta\; \; (6)\; =\; 24153319581254312065344\; =\; 582162\; 3\; +\; 28906206\; 3\; =\; 3064173\; 3\; +\; 28894803\; 3\; =\; 8519281\; 3\; +\; 28657487\; 3\; =\; 16218068\; 3\; +\; 27093208\; 3\; =\; 17492496\; 3\; +\; 26590452\; 3\; =\; 18289922\; 3\; +\; начало\; 26224366\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (6)\; =\; 24153319581254312065344\; =\; 582162\; ^\; \{3\}\; +\; 28906206\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 3064173\; ^\; \{3\}\; +\; 28894803\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 8519281\; ^\; \{3\}\; +\; 28657487\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 16218068\; ^\; \{3\}\; +\; 27093208\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 17492496\; ^\; \{3\}\; +\; 26590452\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 18289922\; ^\; \{3\}\; +\; 26224366\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для следующих номеров такси известны верхние границы:

$Ta\; \; (7)\; \le \; 24885189317885898975235988544\; =\; 2648660966\; 3\; +\; 1847282122\; 3\; =\; 2685635652\; 3\; +\; 1766742096\; 3\; =\; 2736414008\; 3\; +\; 1638024868\; 3\; =\; 2894406187\; 3\; +\; 860447381\; 3\; =\; 2915734948\; 3\; +\; 459531128\; 3\; =\; 2918375103\; 3\; +\; 309481473\; 3\; =\; 2919526806\; 3\; +\; 58798362\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (7)\; \backslash \; leq\; 24885189317885898975235988544\; =\; 2648660966\; ^\; \{3\}\; +\; 1847282122\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2685635652\; ^\; \{32074\; ^\; 1766\; 3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2736414008\; ^\; \{3\}\; +\; 1638024868\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2894406187\; ^\; \{3\}\; +\; 860447381\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2915734948\; ^\; \{3\}\; +\; 459531128\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2918375103\; ^\; \{3\}\; +\; 309481473\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 2919526806\; ^\; \{3\}\; +\; 58798362\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}$

$Ta\; \; (8)\; \le \; 50974398750539071400590819921724352\; =\; 299512063566\; 3\; +\; 299512063566\; 3\; =\; 336379942682\; 3\; +\; 234604829494\; 3\; =\; 341075727804\; 3\; +\; 224376246192\; 3\; =\; 347524579016\; 3\; +\; 208029158236\; 3\; =\; 367589585749\; 3\; +\; 109276817387\; 3\; =\; 370298338396\; 3\; +\; 58360453256\; 314\; \{3706338396\; \backslash \; 3146336303\_3147\_37063383963\; \}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (8)\; \backslash \; leq\; 50974398750539071400590819921724352\; =\; 299512063576\; ^\; \{3\}\; +\; 288873662876\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 336379942682\; ^\; \{3\}\; +\; 23460482949\; 50974398750539071400590819921724352\; =\; 299512063576\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 336379942682\; ^\; \{3\}\; +\; 23460482949\; amp;\; 224376246192\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 347524579016\; ^\; \{3\}\; +\; 208029158236\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 367589585749\; ^\; \{3\}\; +\; 109276817387\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 370298338396\; ^\; \{3\}\; +583\; 60453256\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 370633638081\; ^\; \{3\}\; +\; 39304147071\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 370779904362\; ^\; \{3\}\; +\; 7467391974\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

$Ta\; \; (9)\; \le \; 136897813798023990395783317207361432493888\; =\; 41632176837064\; 3\; +\; 40153439139764\; 3\; =\; 46756812032798\; 3\; +\; 32610071299666\; 3\; =\; 47409526164756\; 3\; +\; 31188298220688\; 3\; =\; 48305916483224\; 3\; +\; 28916052994804\; 3\; =\; 51094952419111\; 3\; +\; 15189477616793\; 3\; =\; 51471469037044\; 3\; +\; 8112103002584\; 3\; =\; 51518075693259\; 3\; +\; 5463276442869\; 3\; =\; 51530042142656\; 3\; +\; 4076877805588\; 3\; =\; 51538406706318\; 3\; +\; 1037967484386\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; operatorname\; \{Ta\}\; (9)\; \backslash \; leq\; 136897813798023990395783317207361432493888\; =\; 41632176837064\; ^\; \{3\; \}\backslash \; 401534391397668\; \{3\}\; +\; 401534391397668\; \{3\; \}\backslash \; 400.\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 47409526164756\; ^\; \{3\}\; +\; 31188298220688\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 48305916483224\; ^\; \{3\}\; +\; 28916052994804\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 51094952419111\; ^\; \{3\}\; +\; 1518947761679\; \backslash \; =\; 51471469037044\; ^\; \{3\}\; +\; 8112103002584\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 51518075693259\; ^\; \{3\}\; +\; 5463276442869\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; 51530042142656\; ^\; \{3\}\; +\; 4076877805588\; ^\; \{3\}\; \backslash \; 563\; \{3\}\; +\; 1037967484386\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{mat\; RIX\}\}\}$

$Та ⁡ (10) ≤ 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 3 + 15137846555691028 3 = 17627318136364846 3 + 12293996879974082 3 = 17873391364113012 3 + 11757988429199376 3 = 18211330514175448 3 + 10901351979041108 3 = 19262797062004847 3 + 5726433061530961 3 = 19404743826965588 3 + 3058262831974168 3 = 19422314536358643 3 + 2059655218961613 3 = 19426825887781312 3 + 1536982932706676 3 = 19429379778270560 3 + 904069333568884 3 = 19429979328281886 3 + 391313741613522 3 {\ displaystyle {\ начинают {матрица} \ OperatorName {Та} (10) \ Leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 ^ {3 } + 15137846555691028 ^ {3} \\ = 17627318136364846 ^ {3} + 12293996879974082 ^ {3} \\ = 17873391364113012 ^ {3} + 11757988429199376 ^ {3} \\ 137 {3} \\ 147 {3} \\ 147 3} \\ = 19262797062004847 ^ {3} + 5726433061530961 ^ {3} \\ = 19404743826965588 ^ {3} + 3058262831974168 ^ {3} \\ = 19422314536358643 ^318} \ 2059 = 19426825887781312 ^ {3} +15369829327 06676 ^ {3} \\ = 19429379778270560 ^ {3} + 904069333568884 ^ {3} \\ = 19429979328281886 ^ {3} + 391313741613522 ^ {3} \ end {matrix}}}$

$Ta ⁡ (11) ≤ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = 11410505395325664056 3 + +11005214445987377356 3 = 12815060285137243042 3 + 8937735731741157614 3 = 12993955521710159724 3 + 8548057588027946352 3 = 13239637283805550696 3 + 7925282888762885516 3 = 13600192974314732786 3 + 6716379921779399326 3 = 14004053464077523769 3 + 4163116835733008647 3 = 14107248762203982476 3 + 2223357078845220136 3 = 14120022667932733461 3 + 1497369344185092651 3 = 14123302420417013824 3 + 1117386592077753452 3 = 14125159098802697120 3 + 657258405504578668 3 = 14125594971660931122 3 + 284485090153030494 3 {\ displaystyle {\ начинают {матрица} \ OperatorName {Та} (11) \ Leq 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = +11410505395325664056 ^ {3} + +11005214445987377356 ^ {3 } \\ = 12815060285137243042 ^ {3} + 8937735731741157614 ^ {3} \\ = 12993955521710159724 ^ {3} +8548057 588027946352 ^ {3} \\ = 13239637283805550696 ^ {3} + 7925282888762885516 ^ {3} \\ = 13600192974314732786 ^ {3} + 6716379921779399326 ^ {3} \\ 1640} {3} \\ 1640} {3} \\ 1640} {3} \\ 1640} {3} \\ 1640} {3} \\ 1640} {3} \\ 16408 \\ = 14107248762203982476 ^ {3} + 2223357078845220136 ^ {3} \\ = 14120022667932733461 ^ {3} + 1497369344185092651 ^ {3} \\ = 141233024\20417013824 ^ {3} ^ {3} + 657258405504578668 ^ {3} \\ = +14125594971660931122 ^ {3} + 284485090153030494 ^ {3} \ конец {матрица}}}$

$Та ⁡ (12) ≤ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = +33900611529512547910376 3 + +32696492119028498124676 3 = +38073544107142749077782 3 + 3 = +26554012859002979271194 +38605041855000884540004 3 + 3 = +25396279094031028611792 +39334962370186291117816 3 + 3 = +23546015462514532868036 +40406173326689071107206 3 + 3 = +19954364747606595397546 +41606042841774323117699 3 + 3 = +12368620118962768690237 +41912636072508031936196 3 + 3 = 6605593881249149024056 +41950587346428151112631 3 + 4448684321573910266121 3 = +41960331491058948071104 3 + 3319755565063005505892 3 = +41965847682542813143520 3 + 1952714722754103222628 3 = +41965889731136229476526 3 + 1933097542618122241026 3 = +41967142660804626363462 3 + +845205202844653597674 3 {\ displaystyle {\ начинают {матрица} \ OperatorName {Та} (12) \ Leq 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = +33900611529512547910376 ^ { 3} + 32696492119028498124676 ^ {3} \\ = 38073544107142749077782 ^ {3} + 26554012859002979271194 ^ {3} \\ = 38605041855000884540004 ^ {3} + 25396279094086=38605041855000884540004 ^ {3} + 25396279094086hl=ruhl=ru {3} \\ = 40406173326689071107206 ^ {3} + 19954364747606595397546 ^ {3} \\ = 41606042841774323117699 ^ {3} + 12368620118962768690237 ^ {3} \\ 0 3} = 41950587346428151112631 ^ {3} + 4448684321573910266121 ^ {3} \\ = 41960331491058948071104 ^ {3} + 3319755565063005505892 ^ {3} \\ = 419657228OO05 (г. 3} +193 3097542618122241026 ^ {3} \\ = 41967142660804626363462 ^ {3} + 845205202844653597674 ^ {3} \ end {matrix}}}$

Более строгая проблема такси требует, чтобы номер такси cubefree, что означает, что он не делится ни на один куб, кроме 1. Когда номер T такси без кубов записывается как T = x + y, числа x и y должны быть взаимно простыми. Среди перечисленных выше номеров такси Ta (n) только Ta (1) и Ta (2) являются номерами такси без куба. Наименьший номер такси без куба с тремя изображениями был обнаружен Полом Войтой (не опубликовано) в 1981 году, когда он был аспирантом. Это

15170835645

= 517 + 2468

= 709 + 2456

= 1733 + 2152.

Обнаружен наименьший номер такси без куба с четырьмя изображениями. Стюарт Гаскойн и независимо Дункан Мур в 2003 году. Это

1801049058342701083

= 92227 + 1216500

= 136635 + 1216102

= 341995 + 1207602

= 600259 + 1165884

(последовательность A080642 в OEIS ).

• 1729 (число)
• Диофантово уравнение
• Гипотеза Эйлера о сумме мощностей
• Обобщенное число такси
• Гипотеза Била
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Пруэ –Задача Тэрри – Эскотта
• Четверка Пифагора
• Суммы трех кубов
• Суммы степеней, список связанных гипотез и теорем

• G. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел, 3-е изд., Oxford University Press, Лондон и Нью-Йорк, 1954, Thm. 412.
• Дж. Пиявка, Некоторые решения диофантовых уравнений, Proc. Camb. Фил. Soc. 53, 778–780, 1957.
• Э. Розенштиль, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенштиль, Четыре наименьших решения в различных положительных целых числах диофантовых уравнений = x + y = z + w = ​​u + v = m + n, Bull. Inst. Математика. Appl., 27 (1991) 155–157; MR 1125858, онлайн.
• Дэвид Уилсон, Пятый номер такси 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), онлайн. (Уилсон не знал о предыдущем открытии Та (5) Дж. А. Дардисом в 1994 году, когда писал это.)
• Д. Дж. Бернштейн, Перечисление решений для p (a) + q (b) = r (c) + s (d), Mathematics of Computing 70, 233 (2000), 389–394.
• C. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин: В чем ценность Taxicab (6) ?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), стр. 1196–1203

• Сообщение Рэндалла Л. Рэтбана в 2002 году в списке рассылки теории чисел
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. Харан, Брэди (ред.). 1729: номер такси или номер Харди-Рамануджана. Numberphile.
• Такси и другая математика в Эйлере
• Сингх, Саймон. Харан, Брэди (ред.). «Номера такси в Футураме». Numberphile.