Число Декарта

В теории чисел число Декарта является нечетным числом, которое было бы нечетным совершенным числом, если бы одно из его составные факторы были простыми. Они названы в честь Рене Декарта, который заметил, что число D = 3⋅7⋅11⋅13⋅22021 = (3⋅1001) ⋅ (22⋅1001 - 1) = 198585576189 будет нечетное совершенное число, если бы только 22021 было простым числом, поскольку функция суммы делителей для D удовлетворяла бы, если бы 22021 было простым числом,

$\sigma \; (D)\; =\; (3\; 2\; +\; 3\; +\; 1)\; \cdot \; (7\; 2\; +\; 7\; +\; 1)\; \cdot \; (11\; 2\; +\; 11\; +\; 1)\; \cdot \; (13\; 2\; +\; 13\; +\; 1)\; \cdot \; (22021\; +\; 1)\; =\; (13)\; \cdot \; (3\; \cdot \; 19)\; \cdot \; (7\; \cdot \; 19)\; \cdot \; (3\; \cdot \; 61)\; \cdot \; (22\; \cdot \; 1001)\; =\; 3\; 2\; \cdot \; 7\; \cdot \; 13\; \cdot \; 19\; 2\; \cdot \; 61\; \cdot \; (22\; \cdot \; 7\; \cdot \; 11\; \cdot \; 13)\; =\; 2\; \cdot \; (3\; 2\; \cdot \; 7\; 2\; \cdot \; 11\; 2\; \cdot \; 13\; 2)\; \cdot \; (19\; 2\; \cdot \; 61)\; =\; 2\; \cdot \; (3\; 2\; \cdot \; 7\; 2\; \cdot \; 11\; 2\; \cdot \; 13\; 2)\; \cdot \; 22021\; =\; 2\; D,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; (\; D)\; =\; (3\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; (7\; ^\; \{2\}\; +\; 7\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; (11\; ^\; \{2\}\; +\; 11\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; (13\; ^\; \{2\}\; +\; 13\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; (22021\; +\; 1)\; =\; (13)\; \backslash \; cdot\; (3\; \backslash \; cdot\; 19)\; \backslash \; cdot\; (7\; \backslash \; cdot\; 19)\; \backslash \; cdot\; (3\; \backslash \; cdot\; 61)\; \backslash \; cdot\; (22\; \backslash \; cdot\; 1001)\; \backslash \backslash \; =\; 3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 7\; \backslash \; cdot\; 13\; \backslash \; cdot\; 19\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 61\; \backslash \; cdot\; (22\; \backslash \; cdot\; 7\; \backslash \; cdot\; 11\; \backslash \; cdot\; 13)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; (3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 11\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 13\; ^\; \{2\})\; \backslash \; cdot\; (19\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 61)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; (3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 11\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 13\; ^\; \{2\})\; \backslash \; cdot\; 22021\; =\; 2D,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где мы игнорируем тот факт, что 22021 - это составной (22021 = 19⋅61).

Число Декарта определяется как нечетное число n = m⋅p, где m и p являются взаимно простыми и 2n = σ (m) ⋅ (p + 1), откуда берется p как прайм-обман. Приведенный пример является единственным известным в настоящее время.

Если m - нечетное почти идеальное число, то есть σ (m) = 2m - 1 и 2m - 1 берется как простое «поддельное», тогда n = m⋅ (2m - 1) является числом Декарта, поскольку σ (n) = σ (m⋅ (2m - 1)) = σ (m) ⋅2m = (2m - 1) ⋅2m = 2n. Если бы 2m - 1 были простыми числами, n было бы нечетным совершенным числом.

• 1 Свойства
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Banks et al. показали в 2008 году, что если n - число Декарта без куба, не делимое на $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$, то n имеет более миллиона различных простых делителей.

• Число Эрдеша – Николя, другой тип почти идеального числа

1. ^В настоящее время единственными известными почти идеальными числами являются неотрицательные степени двойки, откуда единственное известное нечетное почти идеальное число - 2 = 1.

• Бэнкс, Уильям Д.; Güloğlu, Ahmet M.; Неванс, К. Уэсли; Саидак, Филип (2008). «Числа Декарта». В Де Конинк, Жан-Мари ; Гранвиль, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. На основе семинара CRM, Монреаль, Канада, 13-17 марта 2006 г. Протоколы и лекции по CRM. 46 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004.
• Клее, Виктор ; Вагон, Стан (1991). Старые и новые нерешенные проблемы геометрии плоскости и теории чисел. Математические изложения Дольчиани. 11 . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-315-9. Zbl 0784.51002.