Число Гранвилля

редактировать

В математике, в частности теория чисел, числа Гранвилля являются продолжением совершенных чисел.

Содержание

1 Множество Гранвилля
2 Общие свойства
- 2.1 S-дефицит числа
- 2.2 S-совершенные числа
- 2.3 S-избыточные числа
3 Примеры
4 Ссылки

Множество Гранвилля

В 1996 году Эндрю Гранвиль предложил следующую конструкцию set $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ :

Пусть

1 ∈ S {\ displaystyle 1 \ in {\ mathcal {S} }}

{\ displaystyle 1 \ in {\ mathcal {S}}}

и для всех

n ∈ N, n>1 {\ displaystyle n \ in {\ mathbb {N}}, \; n>1}

n\in {\mathbb {N} },\;n>1

let

n ∈ S {\ displaystyle n \ in {\ mathcal {S}}}

{\ displaystyle n \ in {\ mathcal {S}}}

если:

∑ d ∣ n, d < n, d ∈ S d ≤ n {\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid {п}, \; d <n, \; d \ in {\ mathcal {S}}} d \ leq {n}}

Число Гранвилля является элементом из $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , для которого выполняется равенство, т.е. оно равно сумме собственных делителей, которые также находятся в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ . Числа Гранвилля также называются $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенными числами.

Общие свойства

Элементы $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ может быть k-deficient, k-perfect или k-abundant. В частности, 2-совершенные числа являются правильным подмножеством $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ .

S-неполных чисел

чисел, соответствующих Строгая форма неравенства в приведенном выше определении известна как $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -дефицитные числа. То есть $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -дефицитные числа - это натуральные числа, сумма делителей которых в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ строго меньше, чем они сами:

∑ d ∣ n, d < n, d ∈ S d < n {\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid {n}, \; d <n, \; d \ in {\ mathcal {S}}} d <{n}}

S-совершенные числа

Числа, удовлетворяющие равенству в приведенном выше определении, известны как $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ - идеальные числа. То есть $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенные числа - это натуральные числа, которые равны сумме их делителей в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ . Первые несколько $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенных чисел:

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336,... (последовательность A118372 в OEIS )

Каждое идеальное число также является $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенно. Однако есть числа, такие как 24, которые $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенные, но не идеальные. Единственное известное $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -совершенное число с тремя различными простыми множителями - это 126 = 2 · 3 · 7.

S- обильные числа

Числа, которые нарушают неравенство в приведенном выше определении, известны как $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -изобильные числа. То есть $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -обильные числа - это натуральные числа, сумма делителей которых в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ строго больше, чем они сами:

∑ d ∣ n, d < n, d ∈ S d>n {\ displaystyle \ sum _ {d \ mid {n}, \; d {n}}

\sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d>{n}

Они принадлежат к дополнению к $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ . Первые несколько $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -обильных чисел:

12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104,... (последовательность A181487 в OEIS )

Примеры

Каждый недостающий номер и каждое совершенное число находится в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , потому что ограничение суммы делителей на элементы $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ либо уменьшает сумму делителей, либо оставляет ее без изменений. Первое натуральное число, которое не входит в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ - наименьшее обильное число, равное 12. Следующие два обильных числа, 18 и 20, также не входят в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}} }$ ${\ mathcal {S}}$ . Однако четвертое обильное число, 24, находится в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , потому что сумма его собственных делителей в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ :

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

Другими словами, 24 много, но не $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ - избыточно, потому что 12 отсутствует в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ . Фактически, 24 - это $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ -perfect - это наименьшее число, которое равно $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}. }$ ${\ mathcal {S}}$ - идеально, но не идеально.

Наименьшее нечетное избыточное число, которое находится в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , равно 2835, а наименьшая пара последовательных чисел, не входящих в $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ - это 5984 и 5985.

Ссылки